Slide Método dos Deslocamentos Pt5-2022 1

TC036 - Mecânica das Estruturas II Prof. Marcos Arndt 3. Método dos Deslocamentos – Parte 5 Exemplo 5: Utilizando o Método dos Deslocamentos determine o diagrama de momentos fletores do pórtico hiperestático abaixo com rigidez à flexão EI. Considere as barras inextensíveis (axialmente rígidas). 𝛽10 = 0 + 12 42 12 = +16 𝑘𝑁. m 𝛽20 = − 3 10 4 8 − 12 4 2 = −39 𝑘𝑁 𝐾11 = 4𝐸𝐼 4 + 3𝐸𝐼 6 + 3𝐸𝐼 4 = + 9𝐸𝐼 4 𝑘𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 𝐾21 = − 6𝐸𝐼 42 + 0 + 3𝐸𝐼 42 = − 3𝐸𝐼 16 𝑘𝑁 𝑟𝑎𝑑 𝐾12 = − 6𝐸𝐼 42 + 3𝐸𝐼 42 = − 3𝐸𝐼 16 𝑘𝑁. 𝑚 𝑚 𝐾22 = 12𝐸𝐼 43 + 3𝐸𝐼 43 + 3𝐸𝐼 43 = 18𝐸𝐼 64 = 9𝐸𝐼 32 𝑘𝑁 𝑚 𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 = 0 𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 = 0 16 + 9𝐸𝐼 4 𝐷1 − 3𝐸𝐼 16 𝐷2 = 0 −39 − 3𝐸𝐼 16 𝐷1 + 9𝐸𝐼 32 𝐷2 = 0 16 −39 + 𝐸𝐼 9 4 − 3 16 − 3 16 9 32 𝐷1 𝐷2 = 0 0 𝑑1 = 4,71 𝑑2 = 141,80 𝑑𝑖 = 𝐸𝐼𝐷𝑖 𝐷1 = 4,71 𝐸𝐼 rad 𝐷2 = 141,80 𝐸𝐼 𝑚 16 −39 + 9 4 − 3 16 − 3 16 9 32 𝑑1 𝑑2 = 0 0 - Diagrama de momentos fletores na convenção de sinais do método: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝐷1 + 𝑀2𝐷2 𝐷1 = 4,71/𝐸𝐼 𝐷2 = 141,80/𝐸𝐼 - Diagrama de momentos fletores final: M [kNm] -66.8 0 0 +46.6 -32.5 +2.4 +30.1 0 66,8 32,5 2,4 46,6 30,1 20 66.8 24 M [kNm] Exemplo 6: Utilizando o Método dos Deslocamentos determine o diagrama de momentos fletores da viga hiperestática abaixo. Considere as barras inextensíveis (axialmente rígidas). A variação de temperatura provoca uma deformação axial na viga. Mas, como essa deformação não está confinada (apenas um apoio prende o deslocamento na direção horizontal), a variação axial de temperatura não provoca esforços normais e é desprezada. Caso 0 - Devido ao carregamento: 𝛽10 𝑝 = − 3 40 6 16 + 3 40 6 16 = 0 𝑘𝑁𝑚 Caso 0 - Devido à temperatura: 𝛽10 𝑇 = −3𝐸𝐼𝛼 (0 − 50) 2 0,6 + 3𝐸𝐼𝛼 (0 − 50) 2 0,6 = 0 𝑘𝑁𝑚 Caso 0 - Devido ao recalque: 𝛽10 𝜌 = 0 + 3 𝐸𝐼 62 0,03 = +250 𝑘𝑁𝑚 Caso 0: 𝛽10 = 𝛽10 𝑝 + 𝛽10 𝑇 + 𝛽10 𝜌 = 0 + 0 + 250 = +250 𝑘𝑁𝑚 Caso 1: 𝐾11 = 3𝐸𝐼 6 + 3𝐸𝐼 6 = 𝐸𝐼 = 105 𝑘𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 𝛽10 + 𝐾11𝐷1 = 0 250 + 100000 𝐷1 = 0 100000 𝐷1 = −250 𝐷1 = −2,50 10−3 𝑟𝑎𝑑 - Diagrama de momentos fletores na convenção de sinais do método: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝐷1 𝐷1 = −2,5 10−3𝑟𝑎𝑑 Caso 1 M (kN.m) Caso 0 - Diagrama de momentos fletores final: M (kN.m)