Slide Método dos Deslocamentos Pt2-2022 1

Caso 1: D1 = 1 (2EI/L) a’6 (4EI/L) a’6 (4EI/L) a’3 (2EI/L) a’3 (6EI/L2) a’6 (6EI/L2) a’6 (6EI/L2) a’3 (6EI/L2) a’3 6000 8000 4000 12000 K11 K21 K11 = + 20x103 kNm/rad K21 = + 4x103 kNm/rad +6000 +12000 +8000 +4000 0 0 M1 [kNm/rad] Caso 2: D2 = 1 (2EI/L) a’6 (4EI/L) a’6 (4EI/L) a’3 (2EI/L) a’3 (6EI/L2) a’6 (6EI/L2) a’6 (6EI/L2) a’3 (6EI/L2) a’3 24000 4000 12000 8000 K12 K22 K12 = + 4x103 kNm/rad K22 = + 32x103 kNm/rad 0 0 +4000 +8000 +24000 +12000 M2 [kNm/rad] 12 kN/m 4 m 6 m 2 m Deslocabilidades: D1 D2 Sistema Hipergeométrico: Caso 1: 𝐾11 = 4𝐸𝐼 4 + 4𝐸𝐼 6 + 0 = 5𝐸𝐼 3 = 20000 𝑘𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 𝐾21 = 0 + 2𝐸𝐼 6 + 0 = 𝐸𝐼 3 = 4000 𝑘𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 Caso 2: 𝐾12 = 0 + 2𝐸𝐼 6 + 0 = 𝐸𝐼 3 = 4000 𝑘𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 = 𝐾21 𝐾22 = 0 + 4𝐸𝐼 6 + 4𝐸𝐼 2 = 8𝐸𝐼 3 = 32000 𝑘𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 = 0 𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 = 0 20 + 20000 𝐷1 + 4000 𝐷2 = 0 −32 + 4000 𝐷1 + 32000 𝐷2 = 0 20000𝐷1 + 4000𝐷2 = −20 4000𝐷1 + 32000𝐷2 = 32 𝐷1 = −1,231 10−3 𝑟𝑎𝑑 𝐷2 = 1,154 10−3 𝑟𝑎𝑑 - Diagrama de momentos fletores na convenção de sinais do método: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝐷1 + 𝑀2𝐷2 𝐷1 = −1,231 10−3𝑟𝑎𝑑 𝐷2 = 1,154 10−3𝑟𝑎𝑑 Caso 1 Caso 2 M (kN.m) Caso 0 - Diagrama de momentos fletores final: M (kN.m) Exemplo 2: Utilizando o Método dos Deslocamentos determine o diagrama de momentos fletores do pórtico hiperestático. As duas barras têm o mesmo material com módulo de elasticidade E e a mesma seção transversal, cuja relação entre a área A e o momento de inércia I é dada por A/I = 2 m–2. 10 kN 6 m 4 m Deslocabilidades D1 D2 D3 Sistema Hipergeométrico (SH) 1 2 3 Caso 0: 𝛽10 = −10 𝑘𝑁 𝛽20 = + 6 𝑘𝑁 𝛽30 = 0 𝑘𝑁𝑚 Caso 1: 𝐾11 = 12𝐸𝐼 43 + 𝐸𝐴 6 = 12𝐸𝐼 64 + 𝐸2𝐼 6 = 25𝐸𝐼 48 𝑘𝑁 𝑚 𝐾21 = 0 + 0 = 0 𝑘𝑁 𝑚 𝐾31 = 6𝐸𝐼 42 + 0 = 6𝐸𝐼 16 = 3𝐸𝐼 8 𝑘𝑁. 𝑚 𝑚 Caso 1: D1 = 1 K11 K21 K31 (12EI/L^3)d2 (6EI/L^2)d2 (6EI/L^2)d1 (12EI/L^3)d1 (EA/L)d1 (EA/L)d1 0 0 +6EI/L^2 +6EI/L^2 M1 Caso 2: 𝐾12 = 0 + 0 = 0 𝑘𝑁 𝑚 = 𝐾21 𝐾22 = 𝐸𝐴 4 + 12𝐸𝐼 63 = 𝐸2𝐼 4 + 12𝐸𝐼 216 = 5𝐸𝐼 9 𝑘𝑁 𝑚 𝐾32 = 0 + 6𝐸𝐼 62 = 𝐸𝐼 6 𝑘𝑁. 𝑚 𝑚 Caso 2: D2 = 1 K12 K22 K32 (6EI/L^2)d1 (6EI/L^2)d2 (12EI/L^3)d3 (12EI/L^3)d2 (EA/L)d2 (EA/L)d1 0 0 +6EI/L^2 +6EI/L^2 M2 Caso 3: 𝐾13 = 6𝐸𝐼 42 + 0 = 6𝐸𝐼 16 = 3𝐸𝐼 8 𝑘𝑁 𝑟𝑎𝑑 = 𝐾31 𝐾23 = 0 + 6𝐸𝐼 62 = 𝐸𝐼 6 𝑘𝑁 𝑟𝑎𝑑 = 𝐾32 𝐾33 = 4𝐸𝐼 4 + 4𝐸𝐼 6 = 5𝐸𝐼 3 𝑘𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 Caso 3: K_{23} D_{3} = 1 K_{13} D_{3} = 1 K_{33} (4EI/L) d^{c}_{6} (6EI/L^2) d^{c}_{6} (2EI/L) d^{c}_{6} (6EI/L^2) d_{3} (4EI/L) d_{3} (2EI/L) d_{3} (6EI/L^2) d_{3} 4EI/6 4EI/4 2EI/6 2EI/4 M_{3} 𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 + 𝐾13𝐷3 = 0 𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 +𝐾23 𝐷3 = 0 𝛽30 + 𝐾31𝐷1 + 𝐾32𝐷2 +𝐾33 𝐷3 = 0 −10 + 25𝐸𝐼 48 𝐷1 + 0𝐷2 + 3𝐸𝐼 8 𝐷3 = 0 6 + 0𝐷1 + 5𝐸𝐼 9 𝐷2 + 𝐸𝐼 6 𝐷3 = 0 0 + 3𝐸𝐼 8 𝐷1 + 𝐸𝐼 6 𝐷2 + 5𝐸𝐼 3 𝐷3 = 0 −10 6 0 + 𝐸𝐼 25/48 0 3/8 0 5/9 1/6 3/8 1/6 5/3 𝐷1 𝐷2 𝐷3 = 0 0 0 𝑑1 = 22,087 𝑑2 = −9,597 𝑑3 = −4,010 −10 6 0 + 25/48 0 3/8 0 5/9 1/6 3/8 1/6 5/3 𝑑1 𝑑2 𝑑3 = 0 0 0 𝑑𝑖 = 𝐸𝐼𝐷𝑖 𝐷1 = 22,087 𝐸𝐼 𝑚 𝐷2 = − 9,597 𝐸𝐼 𝑚 𝐷3 = − 4,010 𝐸𝐼 𝑟𝑎𝑑 - Diagrama de momentos fletores na convenção de sinais do método: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝐷1 + 𝑀2𝐷2 + 𝑀3𝐷3 𝐷1 = 22,87/𝐸𝐼 𝐷2 = −9,597/𝐸𝐼 𝐷3 = −4,010/𝐸𝐼 - Diagrama de momentos fletores final: +4.3 -4.3 -2.9 +6.3 4.3 2.9 6.3 M [kNm]