Slide Método das Forças Pt3-2021 2

TC036 - Mecânica das Estruturas II Prof. Marcos Arndt 2. Método das Forças – Parte 3 2.4 Estruturas Hiperestáticas Sujeitas a Recalques de Apoio – Método das Forças Em estruturas hiperestáticas, recalques diferenciados provocam deformações e esforços internos. No Método das Forças: Caso 0 : Sistema Principal sujeito à recalques de apoio Portanto, os termos de carga 𝛿𝑖0 serão deslocamentos no S.P., na direção do hiperestático Xi, devidos aos recalques de apoio. Do PTV: 𝛿𝑖0 = − ෍ 𝑅𝑖𝜌0 Reação de apoio na direção do recalque 𝜌0 provocada por Xi = 1 (caso i) Se na estrutura atuarem simultaneamente carregamento externo e recalque, aplicando a superposição dos efeitos teremos: Carregamento externo: Recalque: Logo: Portanto, para obtermos os hiperestáticos quando atuam recalques e carregamento externo, basta considerarmos sua atuação simultânea no caso 0, através da expressão: 𝛿0 + 𝛿 𝑋𝑐 = 0 𝛿𝑟 + 𝛿 𝑋𝑟 = 0 𝛿0 + 𝛿𝑟 + 𝛿 𝑋𝑐 + 𝛿 𝑋𝑟 = 0 𝛿0 + 𝛿𝑟 + 𝛿 𝑋𝑐 + 𝑋𝑟 = 0 𝛿𝑖0 = න 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝜒 𝑄𝑖𝑄0 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑇𝑖𝑇0 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 − ෍ 𝑅𝑖𝜌0 Exemplo 4: Utilizando o Método das Forças determine os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal do pórtico hiperestático abaixo, com EI = 105 kN.m2. Despreze a contribuição da energia de deformação para o efeito de cisalhamento e para o efeito do esforço normal. 𝑔𝑒𝑥𝑡 = 2 𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0 𝑔 = 2 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 - Termos de carga: - Coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝑖0 = − ෍ 𝑅𝑖𝜌0 SP Caso 0 M0 EI 2EI EI 1 cm 2 cm 1e-03 rad Caso 1 MI -1.0 1.0 kNm 1.0 kNm -1.0 1/6 kN 1/6 kN Caso 2 M2 -1.0 1.0 kNm 1.0 kNm 1/3 kN 1/6 kN 1/3 kN 𝛿10 = − ෍ 𝑅1𝜌0 = − 0 −0,02 + 1 6 −0,01 + 1 10−3 Caso 1 M1 𝛿10 = 6,67 10−4𝑟𝑎𝑑 Caso 0 M0 Convenção de Sinais 𝛿20 = − ෍ 𝑅2𝜌0 = − 1 3 −0,02 + − 1 6 −0,01 + (−1) 10−3 𝛿20 = 0,006 𝑟𝑎𝑑 = 60 10−4𝑟𝑎𝑑 Caso 0 M0 Convenção de Sinais Caso 2 M2 𝛿11 = න 𝑀1𝑀1 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 −1 −1 3 + 1 2𝐸𝐼 1 3 −1 (−1) 6 + 1 𝐸𝐼 0 𝛿11 = 4 𝐸𝐼 = 4 105 = 0,4 10−4𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 Caso 1 M1 Caso 2 M2 𝛿12 = න 𝑀1𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 1 2 −1 1 3 + 1 2𝐸𝐼 1 6 −1 (−1) 6 + 1 𝐸𝐼 0 𝛿12 = − 1 𝐸𝐼 = − 1 105 = −0,1 10−4 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 Caso 1 M1 Caso 2 M2 𝛿21 = න 𝑀2𝑀1 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 𝛿12 𝛿21 = − 1 𝐸𝐼 = −0,1 10−4 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 𝛿22 = න 𝑀2𝑀2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 1 3 1 1 3 + 1 2𝐸𝐼 1 3 −1 (−1) 6 + 1 𝐸𝐼 1 3 1 1 3 𝛿22 = 3 𝐸𝐼 = 3 105 = 0,3 10−4𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 6,67 10−4 + 0,4 10−4𝑋1 − 0,1 10−4𝑋2 = 0 60 10−4 − 0,1 10−4𝑋1 + 0,3 10−4𝑋2 = 0 x 105 4𝑋1 − 𝑋2 = −66,67 −𝑋1 + 3𝑋2 = −600 𝑋1 = −72,73 𝑘𝑁𝑚 𝑋2 = −224,25 𝑘𝑁𝑚 - Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝑋1 + 𝑀2𝑋2 𝑋1 = −72,73 𝑘𝑁𝑚 𝑋2 = −224,25 𝑘𝑁𝑚 Caso 1 M1 Caso 2 M2 M (kN.m) - Diagrama de esforços cortantes: Q (kN) - Diagrama de esforços normais: N (kN) Exemplo 5: Utilizando o Método das Forças determine o diagrama de momento fletor do pórtico hiperestático abaixo, com E = 108 kN/m2 e I = 10-3 m4 . Despreze a contribuição da energia de deformação para o efeito de cisalhamento e para o efeito do esforço normal. 𝑔𝑒𝑥𝑡 = 1 𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0 𝑔 = 1 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 - Termos de carga: - Coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝑖0 = න 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 − ෍ 𝑅𝑖𝜌0 SP Caso 0 M0 50.0 kN 50.0 kN 3 m 100 100 2 m 0.06 m Caso 1 MI -1 -1 X1 = 1 kN.m 0.3 kN 0.3 kN 𝛿10 = න 𝑀1𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 − ෍ 𝑅1𝜌0 Caso 1 M1 𝛿10 = − 250 105 − 0,002 = −4,5 10−3𝑟𝑎𝑑 Caso 0 M0 Convenção de Sinais 𝛿10 = 1 𝐸𝐼 1 2 100 −1 2 + 1 2 100 −1 3 + 0 − − 1 3 −0,006 𝛿11 = න 𝑀1𝑀1 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 −1 −1 2 + 1 𝐸𝐼 1 3 −1 (−1) 3 + 1 𝐸𝐼 0 𝛿11 = 3 𝐸𝐼 = 3 105 = 3 10−5𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 Caso 1 M1 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 −4,5 10−3 + 3 10−5𝑋1 = 0 x 105 −450 + 3𝑋1 = 0 𝑋1 = 150 𝑘𝑁𝑚 3𝑋1 = 450 - Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝑋1 𝑋1 = 150 𝑘𝑁𝑚 Caso 0 M0 M (kN.m) Caso 1 M1 2.5 Estruturas Hiperestáticas Sujeitas a Variações de Temperatura – Método das Forças Em estruturas hiperestáticas as variações térmicas provocam deformações e esforços internos. No Método das Forças: Caso 0 : Sistema Principal sujeito à variação térmica. Portanto, os termos de carga 𝛿𝑖0 serão deslocamentos no S.P., na direção do hiperestático Xi, devidos às variações de temperatura. Do PTV: 𝛿𝑖0 = 𝛼∆𝑇𝐶𝐺 න 𝑁𝑖𝑑𝑥 + 𝛼 ∆𝑇𝑖 − ∆𝑇𝑠 ℎ න 𝑀𝑖 𝑑𝑥 Área do diagrama 𝑀𝑖 Área do diagrama 𝑁𝑖 Portanto, pelo Princípio da Superposição dos Efeitos, para obtermos os hiperestáticos quando atuam variação de temperatura, recalques e carregamento externo simultaneamente, basta considerarmos sua atuação simultânea no caso 0, através da expressão: 𝛿𝑖0 = න 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝜒 𝑄𝑖𝑄0 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑇𝑖𝑇0 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 + − ෍ 𝑅𝑖𝜌0 + 𝛼∆𝑇𝐶𝐺 න 𝑁𝑖𝑑𝑥 + 𝑔𝑇 න 𝑀𝑖 𝑑𝑥 Temperatura Recalque Carregamento 𝑔𝑇 = 𝛼 ∆𝑇𝑑𝑖𝑟 − ∆𝑇𝑒𝑠𝑞 ℎ 𝑔𝑇 = 𝛼 ∆𝑇𝑖 − ∆𝑇𝑠 ℎ Expressões gerais do Método das Forças: - Termos de carga: - Coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑁𝑖𝑁𝑗 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝑗 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑇𝑖𝑇𝑗 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝛿𝑖0 = න 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝜒 𝑄𝑖𝑄0 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑇𝑖𝑇0 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 + − ෍ 𝑅𝑖𝜌0 + 𝛼∆𝑇𝐶𝐺 න 𝑁𝑖𝑑𝑥 + 𝑔𝑇 න 𝑀𝑖 𝑑𝑥 Exemplo 6: Para a viga mostrada abaixo, pede-se o diagrama de momentos fletores utilizando o Método das Forças. Despreze a contribuição da energia de deformação para o efeito de cisalhamento. 𝑔𝑒𝑥𝑡 = 1 𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0 𝑔 = 1 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 - Termos de carga: - Coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑁𝑖𝑁𝑗 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝑖0 = න 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝜒 𝑄𝑖𝑄0 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑇𝑖𝑇0 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 + − ෍ 𝑅𝑖𝜌0 + 𝛼∆𝑇𝐶𝐺 න 𝑁𝑖𝑑𝑥 + 𝑔𝑇 න 𝑀𝑖 𝑑𝑥 Caso (0) – Solicitações externas isoladas no SP 12 kN/m -12 ºC 6 m 0.072 m 54 36 kN 36 kN -0.012 m M0 [kNm] (provocado somente pela força uniformemente distribuída) Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP X1 = 1 1/6 1/6 VA1 = +1/6 VBI = -1/6 6 m N1 = 0 M1 x X1 𝛿10 = න 𝑁1𝑁0 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀1𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 − ෍ 𝑅1𝜌0 + 𝛼∆𝑇𝐶𝐺 න 𝑁1𝑑𝑥 + 𝑔𝑇 න 𝑀1 𝑑𝑥 Caso 1 𝛿10 = − 108 105 − 0,002 + 60 10−5 Caso 0 Convenção de Sinais 𝛿10 = 1 105 1 3 54 −1 6 − − 1 6 −0,012 + 10−5 −12 − 0 0,6 −1 6 2 𝛿10 = −248 10−5𝑟𝑎𝑑 𝛿11 = න 𝑁1𝑁1 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀1𝑀1 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 1 3 −1 −1 6 𝛿11 = 2 𝐸𝐼 = 2 105 = 2 10−5𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 Caso 1 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 −248 10−5 + 2 10−5𝑋1 = 0 2 10−5𝑋1 = 248 10−5 𝑋1 = 124 𝑘𝑁. 𝑚 - Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝑋1 𝑋1 = 124 𝑘𝑁𝑚 Caso 0 Caso 1 Exemplo 7: Para o pórtico plano abaixo, pede-se o diagrama de momentos fletores utilizando o Método das Forças. Considere que as barras do pórtico podem se deformar axialmente somente para a solicitação de variação de temperatura. Para os efeitos do carregamento aplicado, do recalque de apoio e do hiperestático despreze a energia de deformação axial e de cisalhamento. 𝑔𝑒𝑥𝑡 = 1 𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0 𝑔 = 1 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 - Termos de carga: - Coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝑖0 = න 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 − ෍ 𝑅𝑖𝜌0 + 𝛼∆𝑇𝐶𝐺 න 𝑁𝑖𝑑𝑥 + 𝑔𝑇 න 𝑀𝑖 𝑑𝑥 Caso (0) - Solicitações externas isoladas no SP Configuracao deformada 10 kN/m 20 °C A B 30 30 0.003 m pΔ0 = -0.003 m (provocado somente pela força uniformemente distribuída) M0 [kNm] 45 Caso (1) - Hiperestático X1 isolado no SP 1 X1=1 M1 = -1/6 1 N1 = 0 VAI = +1/6 VBI = -1/6 × X1 -1 𝛿10 = න 𝑀1𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 − ෍ 𝑅1𝜌0 + 𝛼∆𝑇𝐶𝐺 න 𝑁1𝑑𝑥 + 𝑔𝑇 න 𝑀1 𝑑𝑥 Caso 1 𝛿10 = − 45 104 + 0,0005 − 100 10−5 Caso 0 Convenção de Sinais 𝛿10 = 1 2 104 1 3 45 −1 6 − 1 6 −0,003 + 0 + 33,333 10−5 −1 6 2 𝛿10 = −50 10−4 𝑟𝑎𝑑 𝑔𝑇 = 10−5 20 − 0 0,6 = 33,333 10−5 𝑚−1 ∆𝑇𝐶𝐺 = 10 ℃ 𝛿11 = න 𝑀1𝑀1 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 −1 −1 3 + 1 3 −1 −1 6 + 0 𝛿11 = 5 𝐸𝐼 = 5 2 104 = 2,5 10−4𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 Caso 1 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 −50 10−4 + 2,5 10−4 𝑋1 = 0 2,5 10−4 𝑋1 = 50 10−4 𝑋1 = 20 𝑘𝑁. 𝑚 - Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝑋1 Caso 0 Caso 1 𝑋1 = 20 𝑘𝑁𝑚