Lista 1 - Módulo 2 - 2024-1

THAT UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Sal SETOR DE CIENCIAS EXATAS | = y UFPR DEPARTAMENTO DE MATEMATICA DMAT - UFPR Lista 1 - Médulo 2 - CM311 1. Encontre os pontos criticos da fungao dada: x—-1 2 (a) f(x) = 203 — 32? —362 (b) [= sa (c) f(x) = a4? (x —4) (d) f(x) =2 cos x + sen2a (e) f(x) = a7 e 3* 2. Encontre os valores maximo e minimo globais da funcao f dada, no intervalo J dado. (a) f(z) =2a9-—32?-12%41, I=|-2,3] 1 (b) f(x) =a+4+ 7 I = (0.2, 4| (c) f(z) =2cosa+sen2a, I= [0,7/2| (d) f(z)=2e"", T=[-1,4] (ec) f(z) =n (a? +a4+1), I= [-1,1] (f) f(a) =a? -a8 +2, IF=[-1,] (g) f(a) =e" te", T= [0,1 (h) f(z) =aVx—a2?, I=(0,1| 3. Dada a funcao f(x) = 14+ (a — a)”, determine e classifique os pontos criticos de f no caso em que: (a)n =2 (b) n=3 (c)n=4 4. Nos itens abaixo, verifique que a funcao f dada satisfaz as hipdteses do TVM no intervalo dado, e entao, encontre todos os pontos x* que satisfazem a conclusao do TVM. (a) f(a) =2a?-3a+1, I= (0,2| (b) f(z) =e", T= [0,3] 5. Mostre que a equacao 27+ cos x = 0 tem exatamente uma raiz real. 6. Mostre que a equacao x° — 152 +c = 0 tem, no maximo, uma raiz no intervalo [- 2, 2]. 7. Admita que as funcoes f e g sejam continuas em la, b| e derivaveis em (a, b). Admita também que f(a) = g(a) e que f’(x) < g/(x) paraa <x <b. Prove que f(b) < g(b). 1 8. Mostre que /l+a” <1+ a para todo x > 0. 9. Considere o seguinte grafico: y 0 / 2 4 6 \ 8 x determine as abscissas x dos pontos de inflexao de f considerando que (a) o gr´afico acima ´e o gr´afico de f ; (b) o gr´afico acima ´e o gr´afico de f′ ; (c) o gr´afico acima ´e o gr´afico de f′′ . 10. O gr´afico da derivada f′ de uma fun¸c˜ao cont´ınua f ´e mostrado abaixo. (a) Em que intervalos f ´e crescente? E onde ´e decrescente? (b) Para quais valores de x a fun¸c˜ao f tem um m´aximo local? E um m´ınimo local? (c) Em que intervalos a concavidade do gr´afico de f ´e voltada para cima? E onde ´e voltada para baixo? (d) Determine as abscissas x dos pontos de inflex˜ao de f. (e) Supondo que f(0) = 0, dˆe um esbo¸co do gr´afico de f . 11. Para cada fun¸c˜ao f nos itens abaixo, determine: (i) todas as retas ass´ıntotas; (ii) os intervalos onde a fun¸c˜ao ´e crescente e onde ´e decrescente; (iii) os valores m´aximos locais e os valores m´ınimos locais; (iv) os intervalos de mesma concavidade e os pontos de inflex˜ao; (v) um esbo¸co do gr´afico. (a) f(x) = 1 + 1 x − 1 x2 (b) f(x) = √ x2 + 1 − x (c) f(x) = e−x2 (d) f(x) = ln(1− ln x) Respostas 8 1. (a) vw, =-2e2, =3; (b) a, =Oear, =2; (c)2,=0,2,= 7 e2,=4; 2 (d)x=nr (nEZ); (ce) %, =O0ex,= > 3 2 (a) F(-1)=8, F2)=-19—(b) #02) =5.2, F)=2 (©) F(n/6) = SVB, F(x/2)=0 1 3 (a) f2) =2/ve, F-)=-1/¥e — (e) FA) = mB, F(-F) =m 7 3 6 /3 3 6 /3 osy)-2+ ay. sly) -2-848 () f 5 + 25 V5 f 5 25 V 5 3 3V3 (g) (I) sete, f(z m2) = 29429 — (h) F(Z) = wae f(0) =0= f() 3. (a) =a: ponto de minimo global (b) x =a: ponto de inflexao (c) e =a: ponto de minimo global 1, ,1 “6 4. (a) c* =1 (b) r= —>In[e(l—e )| 5. Use o TVI para garantir que a equacao tem ao menos uma raiz no intervalo [- m, 1). Admita que existam 2 raizes 7, e %,, com x, < X,, e use a conclusao do Teorema de Rolle no intervalo [z,, 2, | para gerar uma contradicao. (Observe que a derivada da funcgao 2+ cos x nunca se anula!) 6. Proceda como na questao anterior. 7. Aplique o TVM 4 fungao h(x) = f(x) — g(x). 1 8. Faca f(x) = V1 4+ 2, g(x) = gre utilize o resultado da questao anterior considerando |a, b] = [0, al, onde a > 0 é um numero qualquer. 9. (a) 3e5 (b) 2,4e6 (c) le7 10. (a) f é crescente nos intervalos (0, 2) ; (4, 6) e (8, +00); f é decrescente em (2, 4) e (6, 8) (b) f assume maximo local em « = 2e x =6; f assume minimo local em x =4e 4 =8 (c) Concavidade voltada para cima nos intervalos (3, 6) e (6, +00) ; concavidade voltada para baixo no intervalo (0, 3) (d) 3 (e) Esbogo do grafico de f: y 0 2 4 6 8 * 11. (a) (i) Reta assintota vertical: x=0; Reta assfntota horizontal: y = 1 (ii) Crescente em (0, 2) ; decrescente em (—oo, 0) eem (2, +00) 5 (iii) Valor maximo local (e global): f(2) = 7 (iv) Concavidade para cima em (3, +00) ; concavidade para baixo em (— co, 0) eem (0,3) ; ponto de inflexao: (3, +) (a) (v) Esbogo do grafico de f: (b) (v) Esboco do grafico de f: “Y (2,5/4) —~_ Jel ee y 0 2 3 Xx 1 0 x (b) (i) Reta assintota horizontal: y = 0 (ii) Decrescente em (—00, +00) ; (iii) Nenhum (iv) Concavidade para cima em (—o0, +00) : (c) (i) Reta assintota horizontal: y = 0 (ii) Crescente em (—00, 0) ; decrescente em (0, +00) : (iii) Valor maximo local (e global): f(0) =1; (iv) Concavidade para cima em (—oo, —1/V/2) e em (1/2, +00), concavidade para baixo em (— 1/V/2,1/\/2) ; pontos de inflexao: (+1//2, e~ 1/2) (c) (v) Esbogo do grafico de f : (d) (v) Esboco do grafico de f: y \ x=0 x=e y | 1 (1, 0) | 0 x | | -| 0 1 x | (d) (i) Retas assintota verticais: = 0 ex =e; (ii) Decrescente em (0, e) ; (iii) Nenhum (iv) Concavidade para cima em (0, 1) e concavidade para baixo em (1, e); ponto de inflexao: (1, 0)