Slide Funções de Várias Variáveis-2023 1

Exercícios Estude a diferenciabilidade das seguintes funções nos pontos indicados: 1 Seja f(x, y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2x - 3y}{x + y} & \text{se} \ (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{se} \ (x, y) = (0, 0) \end{array} \right. no ponto (0, 0). 2 Seja f(x, y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^4}{x^2 + y^2} & \text{se} \ (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{se} \ (x, y) = (0, 0) \end{array} \right. no ponto (0, 0). 3 Seja f(x, y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{y^3}{x^2 + y^2} & \text{se} \ (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{se} \ (x, y) = (0, 0) \end{array} \right. no ponto (0, 0). UFPR CM202 Plano tangente Definição Seja z = f(x, y) uma função diferenciável em (x_0, y_0). O plano de equação: z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0) \underbrace{\hspace{30mm}}_{T(x, y)} é chamado de plano tangente ao gráfico da função f no ponto (x_0, y_0, f(x_0, y_0)) UFPR CM202 Observações sobre o plano tangente Podemos usar o plano tangente como uma aproximação (por um polinômio de grau 1) ao gráfico de f numa vizinhança (bola) do ponto (x_0, y_0). f(x, y) \approx T(x, y) ; \forall (x, y) \text{ próximo de } (x_0, y_0). O plano tangente ao gráfico da função f no ponto x_0, y_0, f(x_0, y_0) é perpendicular à direção do vetor: \vec{n}(x_0, y_0) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), -1\right) UFPR CM202 Derivada Defini¸c˜ao (Derivadas segundo um vector): Seja f : Dom(f ) ⊂ Rn −→ R e P0 ∈ int(Dom(f )) ent˜ao D⃗vf (P0) = lim λ→0 f (P0 + λ⃗v) − f (P0) λ||⃗v|| representa a derivada direcional de f segundo o vector ⃗v no ponto P0 (no caso do limite existir). Interpreta¸c˜oes: D⃗vf (P0) indica o declive da recta tangente ao gr´afico de f no ponto P0 que tem a direc¸c˜ao do vector ⃗v. D⃗vf (P0) indica a taxa de varia¸c˜ao, ou seja, a quantidade de varia¸c˜ao por unidade na direc¸c˜ao de ⃗v, de f no ponto P0. UFPR CM202 Derivada Verifica-se: \(D_{\vec{u}}f(P_0) = \tan \beta\) UFPR CM202 Derivada \[\frac{f(P_0 + \lambda \vec{u}) - f(P_0)}{\lambda \|\vec{u}\|} = \frac{-\{f(P_0) - f(P_0 + \lambda \vec{u})\}}{\lambda \|\vec{u}\|} = -\tan \theta\] Aplicando limite quando \(\lambda \to 0\), obtemos : \(D_{\vec{u}}f(P_0) = -\tan \alpha = \tan \beta\) UFPR CM202 Exemplo Nos exercícios 1 a 3, encontre a derivada direcional no ponto P_0 na direção do vetor \(\vec{v}\), nos seguintes casos: 1. \(D_{\vec{v}}f(P_0)\) para \(f(x,y) = x^2y\), \(\vec{v} = (2, 1)\) e \(P_0 = (1, 0)\). 2. a derivada direccional de \(f(x,y) = x^2\sin(2y)\), segundo o vector \(\vec{v} = (3, -4)\) no ponto \(P_0 = (1, \frac{\pi}{2})\). 3. a derivada direccional de \[ f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2xy}{x^2+y^2} & \text{se}\ (x,y) \neq (0,0)\\ 0 & \text{se}\ (x,y) = (0,0) \end{array} \right. \] seguindo o vector \(\vec{v} = (1,1)\) no ponto \(P_0 = (0,0)\). UFPR CM202 Derivada Defini¸c˜ao (Derivadas Parciais): ´As derivadas direccionais segundo os vectores da base can´onica de Rn, chamam-se derivadas parciais. No caso de n=2... os vectores da base can´onica s˜ao ⃗i = (1, 0) e ⃗j = (0, 1). UFPR CM202 Derivada Chama-se derivada parcial de f em rela¸c˜ao a x no ponto P0(x0, y0) a derivada direcional segundo o vector −→i = (1, 0)). ∂f ∂x (x0, y0) = lim λ→0 f ((x0, y0) + λ−→i ) − f (x0, y0) λ = lim λ→0 f ((x0, y0) + λ(1, 0)) − f (x0, y0) λ = lim λ→0 f ((x0 + λ, y0)) − f (x0, y0) λ UFPR CM202 tan β = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) curva: z = f(x, y_0) função de variável x \vec{i} = (1, 0) β x_0 y_0 z = f(x, y) P_0 Derivada Chama-se derivada parcial de f em rela¸c˜ao a y no ponto P0(x0, y0) a derivada direcional segundo o vector ⃗j = (0, 1) ∂f ∂x (x0, y0) = lim λ→0 f ((x0, y0) + λ−→j ) − f (x0, y0) λ = lim λ→0 f ((x0, y0) + λ(0, 1)) − f (x0, y0) λ = lim λ→0 f ((x0, y0 + λ)) − f (x0, y0) λ UFPR CM202 tan θ = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) curva: z = f(x_0, y) função da variável y \vec{j} = (0, 1) x_0 y_0 z = f(x, y) P_0 θ Derivada Observa¸c˜ao Por tanto, segue-se da defini¸c˜ao da derivada parcial: Para calcular ∂f ∂x (xo, yo), fixamos y = yo em z = f (x, y) e calculamos a derivada da fun¸c˜ao g(x) = f (x, xo) em xo, ou seja, g ′(xo) = ∂f ∂x (xo, yo). Para calcular ∂f ∂y (xo, yo), fixamos x = xo em z = f (x, y) e calculamos a derivada da fun¸c˜ao h(y) = f (xo, y) em yo, ou seja, h ′(yo) = ∂f ∂y (xo, yo). UFPR CM202 Exercicios: Cálcule \begin{enumerate} \item \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) e \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) onde f(x, y) = x^2y + 2e^{xy}. \item as derivadas parciais de f(x, y) = 2e^x + x \sin(3y) + x. \item \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1), \frac{\partial f}{\partial y}(1, 1), \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) onde f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} \text{ se } (x, y) \neq (0, 0) \\\ 0 \text{ se } (x, y) = (0, 0) \end{cases} \item as derivadas parciais de f nos pontos (0,2) e (0,0) onde: f(x, y) = \begin{cases} \frac{4}{x^2+y^2} \text{ se } x^2 + y^2 > 4 \\\ e^{y-x} \text{ se } x^2 + y^2 \leq 4 \end{cases} \end{enumerate} Derivada Defini¸c˜ao Seja A um conjunto aberto contido no dom´ınio de f e k ∈ N. Uma fun¸c˜ao f diz-se de classe C k em A se e s´o se f admite derivadas at´e `a ordem k (inclusive) em A cont´ınuas e escreve-se f ∈ C k(A) Teorema (Schwarz/Clairaut) Se z = f (x, y) ´e de classe C 2, ent˜ao suas derivadas mistas s˜ao iguais, isto ´e, ∂2f ∂x∂y = ∂2f ∂y∂x UFPR CM202 Derivada Observa¸c˜ao Como consequˆencia do teorema anterior, podemos observar que se f ∈ C 3 temos: fxxy = fxyx = fyxx, fxyy = fyxy = fyyx para uma fun¸c˜ao f de classe C 4 temos fxyxy = fxyyx = fxxyy, e assim por diante. UFPR CM202 Exercicios: 1 Confirme que o teorema se verifica no exercício anterior. 2 Seja f(x,y) = { xy(x^2-y^2)/x^2+y^2 se (x,y) ≠ (0,0) 0 se (x,y) = (0,0) Calcule ∂f/∂x(x,y) e ∂f/∂y(x,y). Calcule ∂^2f/∂x∂y(0,0) e ∂^2f/∂y∂x(0,0). 3 Seja f(x,y) = { xy^2/x^2+y^2 se (x,y) ≠ (0,0) 0 se (x,y) = (0,0) Calcule ∂f/∂x(x,y) e ∂f/∂y(x,y). Calcule ∂^2f/∂x∂y(0,0) e ∂^2f/∂y∂x(0,0). C´alculo diferencial e integral de varias vari´aveis Juan Carlos Vila Bravo Universidade Federal do Paran´a UFPR CM202 Diferenciabilidade Parte I Fun¸coes de v´arias vari´aveis f : Rn −→ R UFPR CM202 Diferenciabilidade Assim como a diferenciabilidade de uma fun¸c˜ao de uma vari´avel est´a ligada `a existˆencia da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao, a diferenciabilidade de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis ficaria ligado a existˆencia do plano tangente ao gr´afico de uma fun¸c˜ao. UFPR CM202 Diferenciabilidade Definição (1) Seja f : Df ⊂ R^2 ⟶ R e (x0,y0) ∈ int(Df). Diz-se que f é diferenciável em (x0,y0) se, e só se Existem constantes reais a e b tais que lim (x,y)→(x0,y0) E(x,y)/√(x−x0)^2+(y−y0)^2 = 0. (1) Onde E(x,y) = f(x,y) − T(x,y) e T(x,y) = f(x0,y0) + a (x−x0) + b (y−y0) Observação Usando a definição de limite na equação (1), obtemos: Dado \varepsilon > 0, existe um \delta = \delta(\varepsilon) > 0 tal que: se 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta, então |E(x,y)| < \varepsilon \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} Dai concluímos que E(x,y) \approx 0, logo o gráfico de z = f(x,y) e o gráfico do plano z = T(x,y) são quase iguais "nas proximidades" do ponto (x_0, y_0, f(x_0,y_0)). Observação Fazendo \Delta x = x - x_0 e \Delta y = y - y_0 na definição (1), obtemos a seguinte definição equivalente de diferenciabilidade Definição (2) Seja f : D_f \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} e (x_0,y_0) \in int(D_f). Diz-se que f é diferenciável em (x_0, y_0) se Existem constantes reais a e b tais que lim_{(\Delta x,\Delta y) \rightarrow (0,0)} \frac{E(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = 0. Onde E(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - T(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) e T(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0) + a \Delta x + b \Delta y Diferenciabilidade Propriedades das fun¸c˜oes diferenciaveis UFPR CM202 Ou seja, Se f não é contínua em P_0 \Rightarrow f não é diferenciável em P_0 Se \nexists D_{\vec{u}}f(P_0) para algum vetor de direção \vec{u} em P_0. Em particular as derivadas parciais de primeira ordem \Rightarrow f não é diferenciável em P_0 Diferenciabilidade A equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f no ponto (x0, y0, f (x0, y0)) pode ser escrita, em nota¸c˜ao do produto escalar, da seguinte forma: ⃗n(x0, y0) · (x − x0, y − y0, z − f (x0, y0)) = 0 A reta que pasa por (x0, y0, f (x0, y0)) e ´e paralela ao vetor ⃗n(x0, y0) ´e chamada de reta normal ao gr´afico da fun¸c˜ao f no ponto (x0, y0, f (x0, y0)), e sua equa¸c˜ao ´e dada por: (x, y, z) = (x0, y0, f (x0, y0)) + t⃗n(x0, y0), t ∈ R UFPR CM202 Diferenciabilidade Plano tangente no ponto \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\) z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x-x_0) + f_y(x_0, y_0)(y-y_0) T_{(x,y)} vetor normal do plano \vec{n}(x_0, y_0) = (f_x(P_0), f_y(P_0), -1) \vec{n} (x_0, y_0) z = f(x, y) x_0 y_0 P_0 Reta normal no ponto \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\) (x, y, z) = (x_0, y_0, f(x_0, y_0)) + \lambda \vec{n}(x_0, y_0) UFPR CM202 Diferenciabilidade Exerc´ıcio: Determine o plano tangente: 1 ao gr´afico da fun¸c˜ao f (x, y) = 2x2 + y 2 em P=(1,1,3). 2 `a superf´ıcie de equa¸c˜ao z − 2x2 − 4y 2 = 0 em P=(1,2,18). 3 `a superf´ıcie de equa¸c˜ao z = 1 − x2 em P=(0,0,1). 4 Encontre os valores de m e n de tal forma que o plano mx + ny + z = −1 seja tangente ao paraboloide z = x2 + 2y 2 + 2 no ponto Po(1, 1, 5). 5 Considere a superficie S : 2x2 − y 2 + 2xz + 10 = 0. Determine os pontos de S nos quais o plano tangente a S ´e paralelo ao plano tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao z = x2 + y 2 no ponto P(1, 1, 2). 6 Encontre o ponto na superf´ıcie S : x2 + y 2 − 6y + z = 3 onde o plano tangente ´e horizontal. 7 Determine uma equa¸c˜ao do plano tangente e uma equa¸c˜ao da reta normal ao gr´afico de f (x, y, z) = cos(πx) − x2y + exz + yz = 4 no ponto Po(0, 1, 2). 8 Ache a reta tangente `a interse¸c˜ao das superf´ıcies S1 : z = x2 + y 2, e S2 : 4x2 + y 2 + z2 = 9 no ponto Po(−1, 1, 2). UFPR CM202 Diferenciabilidade Definição Seja f : D_f \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} e P_0 \in \text{int}(D_f). Define-se o gradiente de f no ponto P_0 por: \nabla f(P_0) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(P_0), \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(P_0)\right) Exercício: Calcule \nabla f(1, 2) onde f(x, y) = y\ln(x) + xy^2. UFPR CM202 Diferenciabilidade Aplicação do gradiente Derivada direcional Se f : D_f \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} é diferenciável em P_0 \in \text{int}(D_f) e \vec{u} é um vector de \mathbb{R}^n então a derivada direcional de f em P_0 na direção de \vec{u} é dada por D_{\vec{u}}f(P_0) = \nabla f(P_0) \cdot \frac{\vec{u}}{||\vec{u}||} onde \cdot significa produto interno. Exercicios: Calcule 1 A derivada de f(x, y) = x^2 e^{-2y} no ponto P_0(2, 0), segundo o vector \vec{u} = (1, 2). 2 A derivada de f(x, y) = 3x^2 - 2y^2 no ponto P_0(-2, 1), na direção de A(\frac{-3}{4}, 0) para B(0, 1). 3 Determine a taxa de variação de f(x, y) = 2x^2 + 3xy - 2y^2 no ponto P_0(1, -2) na direção do ponto dado à origem. UFPR CM202 Diferenciabilidade Observa¸c˜ao A derivada direcional de f no ponto P0 na dire¸c˜ao do vector ⃗u: D⃗uf (P0) = ∇f (P0) · ⃗u ||⃗u|| = ∥∇f (P0)∥ cos(α) onde α ´e o menor ˆangulo formado pelos vectores ∇f (P0) e ⃗u. UFPR CM202 Portanto, se f é uma função diferenciável em P₀ tal que ∇f(P₀) ≠ 0̸. Então : 1. Dᵤ⃗f(P₀) é nula quando u⃗ e ∇f(P₀) são perpendiculares. 2. Dᵤ⃗f(P₀) é máxima quando α = 0, ou seja, quando ∇f(P₀) e u⃗ são dois vectores com a mesma direcção e sentido, e o seu valor é ‖∇f(P₀)‖. Assim a direcção de crescimento máximo (máximo positivo) de f é dada por ∇f(P₀). 3. Dᵤ⃗f(P₀) é mínima quando α = π, ou seja, quando ∇f(a⃗) e u⃗ são dois vectores com a mesma direcção e sentidos contrários, e o seu valor é −‖∇f(P₀)‖. Assim a direcção de crescimento mínimo (máximo negativo) de f é dada por −∇f(P₀). UFPR CM202 Diferenciabilidade Exerc´ıcios 1 Seja f (x, y) = 2x2y + exy uma fun¸c˜ao diferenci´avel no seu dom´ınio. a Determine o gradiente de f no ponto (1,0) e represente-o graficamente. b Calcule D⃗uf (1, 0), onde ⃗u = (1, 1). c Determinar um vector unit´ario ⃗u de modo que D⃗uf (−1, 0) = 1 2. d Qual o valor m´aximo da derivada direccional de f no ponto (1, 1)? 2 Considere o campo escalar f (x, y) = ex2+y − 2xy. 2a Calcule as fun¸c˜oes derivadas parciais de primeira ordem de f e justifique que f ∈ C 1(R2). 2b Determine os vectores segundo o qual a taxa de varia¸c˜ao de f no ponto (1,-1) ´e nula. 3 Considere o campo escalar definido em R2 por f (x, y) = x2e−2y e o ponto P = (−2, 0). Determine 3a A dire¸c˜ao segundo a qual a fun¸c˜ao cresce mais rapidamente em P. 3b O valor m´aximo da derivada direcional no ponto P. 3c A dire¸c˜ao ⃗v segundo a qual D⃗vf (2, 0) = 0 UFPR CM202