Lista 2-2023-2

CM312 - Cálculo 2 ELTDA e BCC - 2sem2023 Prof. Diego Otero Lista de Exercícios 2 Problemas 1 Curvas Paramétricas 1. Faça uma correspondência entre os traços de curvas abaixo e as equações paramétricas. a) x = t cos t, y = t, z = t sen t, t ≥ 0. b) x = cos t, y = sen t, z = 1/(1 + t2). c) x = t, y = 1/(1 + t2), z = t2. d) x = cos t, y = sen t, z = cos 2t. e) x = cos 8t, y = sen 8t, z = e0,8t, t ≥ 0. f) x = cos2 t, y = sen2 t, z = t. 2. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t cos t, y = t sen t, z = t está no cone z2 = x2 + y2. Use esse fato para esboçar esta curva. 3. Em quais pontos a hélice r(t) = (sen t, cos t, t) intercepta a esfera x2 + y2 + z2 = 5? 4. Determine uma parametrização da curva dada pela intersecção do cone z = √x2 + y2 e o plano z = 1 + y. 5. Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais r1(t) = (t, t2, t3) e r2(t) = (1 + 2t, 1 + 6t, 1 + 14t) onde t representa o tempo. As partículas colidem? As trajetórias se interceptam? 6. Seja r(t) = (et, e−t). Calcule r′(t) e faça um esboço do traço de r(t), indicando no desenho r(0) e o vetor velocidade r′(0). 7. Encontre r(t) sabendo que r′(t) = (t, et, tet) e r(0) = (1, 1, 1). 8. Determine os vetores velocidade v(t) e posição r(t) de uma partícula sabendo que seu vetor aceleração é dado por a(t) = (2, 6t, 12t2), v(0) = (1, 0, 0) e r(0) = (0, 1, −1). 9. Mostre que se uma partícula se move com velocidade escalar constante então os vetores velocidade e aceleração são ortogonais. 1 2 Funções em Rn 1. Para cada função f abaixo e cada valor c ∈ R, descreva os conjuntos de nível abaixo, isto é, o conjunto dos pontos (x1, . . . , xn) que satisfazem f(x1, . . . , xn) = c. a) f(x, y) = x2 + y2, c = 0, 1, 4, 9. b) f(x, y) = exy, c = e−2, e−1, 1, e, e2, e3. c) f(x, y) = sen(x + y), c = −1, 0, 1 2, √ 2 2 , 1. d) f(x, y, z) = x + y + z, c = −1, 0, 1. e) f(x, y, z) = cos(x2 + y2 + z2), c = −1, −1 2, 0, √ 2 2 , 1. 2. Faça um esboço dos gráficos das funções abaixo: a) f(x, y) = 1 − x − y. b) f(x, y) = 4x2 + y2. c) f(x, y) = y2 − x2. d) f(x, y) = e √ x2+y2. e) f(x, y) = x2 + y2 + 2y + 3. f) f(x, y) = 1 (x2 + 2y2)2. g) f(x, y) = √x2 + y2 − 9. h) f(x, y) = 2 − 4√x2 + 4y2. 3. Seja γ(t) = (et + 1, et), t ∈ R e faça o que se pede: a) Faça um esboço do traço (imagem) de γ. b) Verifique se o traço de γ está contida em alguma curva de nível da função escalar f(x, y) = x2y2 − 2y − y2 + 4. 4. Encontre a reta tangente as curvas de nível f(x, y) = c abaixo, nos pontos indicados. a) f(x, y) = x + 2y − 3, c = −2, (1 2, 1 4). b) f(x, y) = x − √1 − 2y2, c = 5, (6, 0). c) f(x, y) = 1 x2 − y2, c = 1, ( √ 2, 1). 5. Considere f(x, y) = 2x2 + 4y2 x2 + y2 + 1 e faça o que se pede a) Esboce as curvas de nível f(x, y) = c para c = 1, c = 2, c = 3. b) Encontre uma curva diferenciável paramétrica γ tal que o traço seja a curva de nível f(x, y) = 1. c) Calcule o vetor tangente a curva γ do item acima no ponto (−1, 0). d) Seja c : [0, 2π] → R3 dada por c(t) = (sen t, cos t, z(t)). Sabendo que o traço da curva c está no gráfico de f, calcule o vetor tangente à c no ponto c(π 3). 3 Limites e Continuidade 1. Calcule os limites abaixo caso existam. Caso não existam, justifique. a) lim (x,y)→(0,0) xy x2 + y2. b) lim (x,y)→(0,0) x3 + y3 x2 + y2. c) lim (x,y)→(0,0) 2x2 + 3xy + 4y2 3x2 + 5y2 . d) lim (x,y)→(0,0) x2y cos(x2 + y2) x2 + y2 . e) lim (x,y)→(0,0) x2y x4 + y2. f) lim (x,y)→(0,0) (x + y)3 x2 + y2 . 2 eyty'+at i) ii 24 92) In(~?2 4 22 lim 2f/ty re j) him (ty) Ina" +9"). 8) (ato) ay — ary? ey) 3 2 2 4 h) lim x + sen(a? + y ) k) lim “y . (x,y)+(0,0) y* + sen(a? + y?) (x,y)+(0,0) v2 + y 21,2 2 aan? i) lim sen(a” +9") *y ) 1) lim —— 2 (x,y)>(0,0) we +y (x,y)—+(0,0) w= + 2y 2. Seja a funcao abaixo e faca o que se pede ry? f(x,y) ~~ xy? + (x _ y)? a) Mostre que linn (lim f(x. y)) = lim (limy f(,y)) = 0. b) Mostre que lim _ f(x,y) nao existe. (x,y) (0,0) 3. Seja a funcao abaixo e faca o que se pede 1 20 xsen—-, sey , f(a,y) = y 0, se y = 0. a) Mostre que lim(lim f(x, y)) # lim(lim f(z, y)) b) Mostre que lim x,y) =0. ) que | tim, fey) 4. Seja f(x, y) dada abaixo e faga o que se pede J 0, sey <0, ouy> 2? Flew) = | 1, se0<y <2’. a) Sendo y= mz, mostre que lim _ f(x,y) =0. (2,y)— (0,0) b) Encontre uma curva paramétrica que passa pela origem tal que a fungao f calculada ao longo da curva seja igual a 1, com excegao da origem. c) A fungao f é continua na origem? 5. Seja f: U CR" > R, onde U C R” é um conjunto aberto. Seja a € U tal que f é continua em a e f(a) 4 0. Mostre que existe uma bola aberta B C U com centro em a tal que todo ponto em B possui o mesmo sinal de f(a). 4 Derivadas Parciais 1. Calcule as derivadas parciais de la ordem das fungdes abaixo. a) f(z,y) =2? + y? sen(zry). e) f(x) = (a,x), z,a € R", a fixo. b) f(a, y) = Vx? + y?. f) f(x) = an a1 AijgLiX;, Aig = Ape E R c) f(x,y) = In(1 + cos?(xy?)). fixos, © = (%,...,%p) € R”. d) f(x,y) = arctg(y/z). 2. Seja f : R — R uma fungao diferenciavel. Calcule as derivadas parciais de 1a ordem das funcgodes abaixo 3 a) u(y) = f (") b) u(e.y) = fey? 20). ¢) ula.) = fer"). : x 2 2)—3/2 (ay) of 3. Considere a fungao f(x,y) = x(x* + y*)-°/"e"™, Calcule Bz (9): x 4. Seja u(r, t) = t”e-” /@9, Encontre todos os valores de n tais que v satisfaca dv _ 10 (,20v at rr Or } 5. Sejam f,g : R — R funcoes derivaveis de 2a ordem Oo Oo a) Mostre que u(x, y) = f(x + ct) + g(x — ct) satisfaz OP = oS: Oo Oo Oo? b) Mostre que u(x, y) = af(«#+y) + yg(a + y) satisfaz Cg St ONL 6, Ox? OxOy Oy? 5 Gradiente e Derivadas Direcionais 1. Calcule o vetor gradiente nos pontos que existe das funcdes abaixo (a) f(x,y) =2* +y’sen(zy). (b) f(x,y) = e* cosy. (c) f(x,y) = n(x? + 2y”). 2. Calcule as derivadas direcionais D,, f(a) nos casos abaixo (a) f(v,y,2) = 22 +2y2 +322, a= (1,1,0), v=i—7 + 2k. (b) f(x,y, 2) = (x/y)*, (1, I, 1), v= (2, 1, —1). 3. Ache a derivada direcional maxima de f no ponto dado e dé a direcao que ela ocorre (a) f(x,y) = xe¥ + 3y, (1,0). (b) f(x,y) = In(a? + y”), (1,2). 4. Encontre os pontos (x,y) e as direcdes tais que a derivada direcional de f(x,y) = 32? + y? tem o maior valor possfvel dentre os pontos (x, y) satisfazendo x? + y? = 1. 5. Suponha que f : R? + R seja diferencidvel e satisfaga Di2,2)f(1,2) = 2 e Doz f(1,2) = —2. Determine o gradiente de f em (1,2) e calcule Dia) f(1, 2). 6. Encontre a equacao do plano tangente e a equacao da reta normal a cada superficie no ponto indicado a) z=e" +”, (0,0, 1). c) z=In(2x+y), (—1,3,0). b) z= 2? —y’, (—3, -2,5). d) z=e"lny, (3,1,0). 7. Determine a equacgao do plano que passa pelos pontos (0,1,5) e (0,0,6) e é tangente ao grafico de g(x,y) = xy. 8. Seja f(x) = |lz||*, 2 € R”. (a) Determine D, f(x) para x,v € R”. (b) Para n = 2 determine todos a, b, tais que Dia») f(2, 3) = 6. (c) Para n = 3 determine todos a, b,c, tais que D(a.) f (1, 2,3) = 0. 9. Seja T : R” + R” uma transformagao linear. Sendo f(x) = (x, T(x)), calcule D, f(x). 4 10. Suponha que D, f(z) = 0 para todo x em uma bola B(a) e todo v € R". Use o teorema do valor médio para provar que f é constante em B(a). 11. Um conjunto S C R” é dito convezxo se para todo a,b € S tivermos que o segmento de reta que tem extremidade em a,b também estiver em S, isto é, se tivermos ta + (1 — t)b € S' para todo O<t<l. a) Mostre que toda bola é convexa. b) Se D, f(x) = 0 para todo x em um conjunto convexo S e todo v € R", mostre que f é constante em S. 12. Seja f: U C R® > Rea € R” um ponto interior de U. Considere as seguintes afirmac6es (a) f é continua em a. (b) f é diferencidvel em a. (c) D, f(a) existe para todo v € R”. (d) As derivadas parciais de a existem em uma vizinhanga do ponto a e sao continuas em a. (ec) Vf(a) = 0. (f) f(@) = |la— all, 2 ER”. Nos quadrados de posigao (i, 7) da tabela abaixo marque V (verdadeiro) se a afirmagao da linha i sempre implica a afirmagao da coluna j. Caso contrdrio marque F (falso). | L@l OH Ol@| ©] | f@{ Vio} ft | by] | Vit | Po} | |v | | Oe eee f(e)| | | | Py | ft ft | LV 13. Assuma que f é diferencidvel em uma bola aberta B(a) com centro no ponto a € R”. a) Se Vf(x) =0 para todo x € B(a), mostre que f é constante em B(a). b) Se f(x) < f(a) para todo x € B(a), mostre que V f(a) = 0. 6 Funcoes Diferenciaveis PY + son(a-+3y) se (2.1) # (0:0) —>— + sen(x se (x 1. Seja f(z,y) = 42? +y! y oY um, 0 se (x,y) = (0,0) . _. Of Of _. (a) Mostre que as derivadas parciais Dx e Oy existem em todos os pontos. v y (b) f é continua na origem? (c) f é diferencidvel na origem? | (2? + y?)sen (as) se (x.y) 4 (0.0) 2. Seja f(x,y) = Vx? + y? 0 se (x,y) = (0,0) (a) Mostre que f é diferencidvel na origem. 5 O O (b) As derivadas of e of sao continuas na origem? Ox Oy 3. Determine o conjunto de pontos de R? onde f é diferenciavel a) f(z, y) = Var +y%. c) f(z, y)=evr re, b) f(a,y) = ly]. d) f(x,y) = cos(Va* + y°). 7 Regra da Cadeia Ow Ow . oe oo, ~ 1. Calcule OE e Du pela regra da cadeia e comprove os resultados substituindo primeiro as fungdes UL e depois calculando as derivadas de fungoes de 1 variavel (a) w= 2? +y,2=0 +u?,y = 2tu. (b) w= 2 = tcosu,y =tsenu. u+y . 5 - 7 Og Og - 2. Seja f : R° > R uma funcao diferencidvel. Calcule g, = Bu 2” = Dy em fungao de fz, fy nos UL v casos abaixo (a) g(u,v) = f(u?, v?). (c) g(u,v) =senu — f(2u — 3v?,u —cosv). (b) g(u,v) = f(sen(u + v), cos(u — v)). (4) g(u,v) = f(e",In(u+ v)). 3. O raio de um cilindro circular esta decrescendo 4 taxa de 1,2cm/s, enquanto que a altura esta crescendo a taxa de 3cm/s, em um certo instante tp. A que taxa o volume do cilindro esta variando quando o raio vale 80cm e a altura vale 150cm? 4. Sejam f : R? > R diferencidvel e V f(—2, —2) = (a, —4), e g(t) = f(2t? — 4t, t* — 3t). Determine a para que a reta tangente ao grafico de g no ponto com coordenada x = 1, seja paralela a reta y= 224+ 3. 5. Assuma que existam e séo continuas todas as derivadas que serao consideradas nas funcoes abaixo. Sabemos da regra da cadeia que se u = f(x,y), x = x(t) ey = y(t), entao teremos u = u(t) e Of dx Of dy ‘(t) = ——(t)+ = — (0). ult) Ox dt + oy a) Repetindo este argumento, calcule u(t). Lembre que as derivadas parciais acima estao sendo calculadas em termos de x(t), y(t), isto é, na formula acima Of of Of of — = (x(t), y(t)), e — = (a(t), y(t)). Fe = peru), © 5 = Flatt) wl) 6. Usando o exercicio anterior calcule u’(t) e w’(t) nos casos abaixo a) f(t, y)=ae? +y a(t) =t y(t) =P. b) f(a, y) = e*4 cos(xy?), x(t) = cost, y(t) = sent. l+e" _ o) flew) = (FS) alt) =e =e 7. Seja u = u(x, y) uma funcao de classe C? em R?. Defina v(r,@) = u(r cos6,rsen@). Mostre que Oo 10 1 0? a 0) + 5", 0) + 5 gp (9) = Au(rcos@,rsen 6), onde Au = Uge + Uyy, chamado de Laplaciano de uw. 6 8. Em cada item abaixo calcule as derivadas direcionais de f especificadas: (a) f(x, y, z) = 3x − 5y + 2z no ponto (2, 2, 1) na direção do vetor normal unitário que aponta para fora da esfera x2 + y2 + z2 = 9 no ponto (2, 2, 1). (b) f(x, y, z) = x2 − y2 em um ponto genérico da superfície x2 + y2 + z2 = 4 na direção do vetor normal unitário que aponta para fora, neste ponto da superfície. (c) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2 no ponto (3, 4, 5) na direção do vetor tangente unitário da curva dada pela intersecção das duas superfícies 2x2 + 2y2 − z2 = 25 e x2 + y2 = 25, no ponto (3, 4, 5). 9. Seja f = f(x, y) uma função de classe C2 e seja g : R2 → R dada por g(u, v) = uf(u2 −v, u+2v). Faça o que se pede a) Determine ∂2g ∂u∂v em função de f. b) Sabendo que 3x+5y = z+26 é o plano tangente ao gráfico de f, ∂2f ∂x∂y(1, 4) = ∂2f ∂x2 (1, 4) = 1, e ∂2f ∂y2 (1, 4) = −1, calcule ∂2g ∂u∂v(−2, 3). 10. Determine k ∈ R para que o plano tangente ao gráfico de f(x, y) = ln(x2 + ky2), no ponto (2, 1, f(2, 1)) seja perpendicular ao plano 3x + z = 0. 11. As equações eu cos v = x e eu sen v = x definem u e v como funções de x e y, u = U(x, y) e v = V (x, y). Faça o que se pede a) Encontre fórmulas para U(x, y) e V (x, y) para x > 0. b) Mostre que os vetores gradientes ∇U(x, y) e ∇V (x, y) são perpendiculares para cada (x, y). 12. Encontre uma constante c tal que nos pontos de intersecção das esferas (x − c)2 + y2 + z2 = 3 e x2 + (y − 1)2 + z2 = 1 os planos tangente serão perpendiculares entre si. 7