Lista 2 - Módulo 2 - 2024-1

SRT UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Sal SETOR DE CIENCIAS EXATAS | = y UFPR DEPARTAMENTO DE MATEMATICA DMAT - UFPR Lista 2 - Médulo 2 - CM311 1. Admita que f(x) > 0 e que lim f(z) =0, limg(z)=0, limA(x)=1, limp(x)=+00,_ limg(x) = +c; decida quais dos limites abaixo sao formas indeterminadas. Para aqueles que nao forem, calcule o limite, quando possivel. _ f(z) _ f(x) _ h(x) P(x) p(x) a) lim —— b) lim —— c) lim —= d) lim ——~ e) lim —— (a) ra g(x) (0) ra p(x) (c) 2a p(x) (d) roa f(x) (e) roa Q(X) (f) lim f(e)p(e) (a) lim A(x)p(e) (hn) tim pw)q(r)——@) tim [f(@) ~ pla) (j) lim [p(@)-a(x)] (8) Him[p(x)+a(@)]— @) tim[f(@)]%——m) tim[f(@)]" (a) Him [h(a] (0) tim[p(x)"——(p) Him[p(@)]"— (q) im “Y/pa) 2. Nos itens abaixo, utilize os grdficos de f e g e suas retas tangentes em (2, 0) para determinar o valor de lim fla) 22 g(x) (a) (b) y ‘ Yt y=18(v-2) / y , » / f y=1,5(x- 2) / a . / Vf ‘\ / f lf 47 9g 7 y ZO SS 7 > fZ a, 0 L 4 x 0 A Ye a x ALL 7 / . \ 3. Nos itens abaixo, utilize a Regra de l’Héspital, quando apropriado, para calcular o limite. x? —2Qa7 +1 e2% — 1— sen x Ina lm 2” +! lim ° lim 22 82” _ Ine (a) a ed (b) roo sen & (c) voy 1+ cos 22 (d) iim x . Vvl+2e2—-V1-42 . ev -l1l-2£ . «£3* . x 1 ina, StA__——_ f) lim. ——.\ ——— — — —— (e) im x (f) lim 3 (8) im ey (h) lim [i In a (i) lim E — | (j) lim [a — In | (k) lim «¥® (1) lim (1 — 22) ie xoot LX et —1 a—++too eoot 2-0 (m) lim (42+ 1) 0's * (n) lim (cos 2) Vat x—>0t x—>ot e ] 4. Prove que: (a) lim ~~ 46 (n € N) (b) lim o*=0 (p > 0) z2—++00 xz” x—++00 xP 5. O que ocorre ao usar-se a Regra de I’Héspital nos casos abaixo? Calcule o limite utilizando outro método. x sec x a) lim — b) lim — ( ) L—++0o V/ x? + 1 ( ) ax—(m/2)— tg x 6. Para cada uma das fun¸c˜oes f nos itens a seguir, identifique os seguintes elementos abaixo e dˆe o seu gr´afico: A: Dom(f) B: Pontos de interse¸c˜ao do gr´afico de f com os eixos coordenados C: Aspectos de simetria (fun¸c˜ao par, fun¸c˜ao ´ımpar, fun¸c˜ao peri´odica) D: Retas ass´ıntotas (horizontais, verticais, obl´ıquas) E: Intervalos de crescimento ou decrescimento F: Valores m´aximos e valores m´ınimos (locais e globais) G: Concavidade e Pontos de Inflex˜ao (a) f(x) = x(x − 4)3 (b) f(x) = x x − 1 (c) f(x) = x2 x2 + 3 (d) f(x) = √ 1 − x2 x (e) f(x) = 3√ x2 − 1 (f) f(x) = 1 1 + e−x (g) f(x) = x − ln x (h) f(x) = x2 + 1 x + 1 (i) f(x) = 1 + x 2 + e−x (j) f(x) = √ x2 + 4 x 7. Seja a fun¸c˜ao f(x) = x2 ln x. (a) Fa¸ca o gr´afico de f. (b) Utilize a Regra de l’Hˆospital para explicar o comportamento de f quando x → 0. (c) Estime o valor m´ınimo de f e os intervalos de mesma concavidade. Ent˜ao, use o c´aculo para encontrar os valores exatos. 8. Nos itens abaixo, descreva a mudan¸ca no gr´afico de f `a medida que a constante c varia; investigue como os pontos de m´aximo e de m´ınimo e os pontos de inflex˜ao movem-se quando c varia. Identifique o valor de c para o qual o aspecto b´asico do curva muda. (a) f(x) = ex + c e−x (b) f(x) = c x 1 + c2x2 9. Investigue a fam´ılia de curvas dadas for f(x) = x e−c x, em que c ´e uma constante real. Calcule os limites quando x → ±∞. Identifique qualquer valor intermedi´ario de c onde mude a forma b´asica do gr´afico. Estude a localiza¸c˜ao dos pontos de m´aximo e de m´ınimo e dos pontos de inflex˜ao conforme c varia. 10. (a) Investigue a fam´ılia de fun¸c˜oes polinomiais dada pela equa¸c˜ao f(x) = c x4 − 2 x2 + 1. Para quais valores de c a curva tem pontos de m´ınimo? (b) Mostre que os pontos de m´aximo e de m´ınimo para cada curva da fam´ılia est˜ao sobre a par´abola y = 1 − x2. Ilustre fazendo o gr´afico dessa par´abola e de v´arios membros da fam´ılia. Respostas 0 1. (a) Indeterminagao (do tipo 9 (b) 0 (c) 0 (d) +00 (ec) Indeterminagao (do tipo —) (f) Indeterminacao (do tipo 0- co) (g) +00 (h) +00 (i) —oo (j) Indeterminagao (do tipo oo — co) (k) +00 (1) Indeterminagao (do tipo 0°) (m) 0 (Cuidado: 0° nao é indeterminagao!) (n) Indeterminagao (do tipo 1°) (o) Indeterminacao (do tipo 00°) (p) +00 (q) Indeterminacao (do tipo co®) 9 3 2. (a) — _ (a) 4 (b) — 1 1 1 3. (a) —> (b) 2 () F (d) —oo (e) 3 (f) 5 (g) 1/In 3 1 a . _ (bh) > (i) > (j) +00 (k) 1 (1) e? (m) e* (n) 1/Ve ev 4. (a) Aplique a regra de l’Héspital n vezes para obter lim — = +00 t—>too MN: 1 (b) Aplique a regra de Hospital para obter lim ————, = 0 a>+oo U+ p+ eP— 5. (a) 1 (Ao usar-se a regra de l’Héspital duas vezes retorna-se & fracao inicial) (b) 1 (Ao usar-se a regra de |’Héspital duas vezes retorna-se 4 fracao inicial) 6. (a) A.R_ B. (0,0) e (4,0) C.Nenhuma D.Nenhuma_ E. Crescente em (1,+00) ; Decrescente em (—oo, 1) F. Minimo global: f(1) = —27 G. Concavidade para cima em (—co, 2) eem (4, +00); Concavidade para baixo em (2,4); Pontos de inflexao em (2, —16) e (4,0) (a) (Grafico) (b) (Grafico) (c) (Grafico) (d) (Grdafico) y y | y y= 1 y | ~ ee y=l | | =5—--|1__-=== “| 0 (4,0) oN\ | * 1 1 0 1 x -1,— 1 fs 7 ci fled | (0, 0) x (l, 27) (b) A. {a €R; 241} B.(0,0) C.Nenhuma _D. Assintota vertical: « = 1; Assintota horizontal: y =1_ E. Decrescente em (—00, 1) e em (1, +00) F. Nenhum G. Concavidade para cima em (1, +00); Concavidade para baixo em (—00, 1) (c) A.R_ B.(0,0) C.Simetria em relacdo ao eixo-y D. Assintota horizontal: y= 1 E. Crescente em (0, +00) ; Decrescente em (—co, 0) F. Valor minimo global: f(0) =0 G. Concavidade para cima em (—1,1); Concavidade para baixo em (—o0, —1) eem (1, +00) ; Pontos de inflexaéo em (+ 1, 1/4) (d) A. {c ER; |e] <1,2 40} B.(-1,0)e(1,0) C. Simetria em relagdo a origem —_—D. Assintota vertical: = 0 E. Decrescente em (—1,0) e em (0,1) F. Valor minimo local: f(—1) = 0 = f(1) G. Concavidade para cima em (-1, —/2/3) eem (0, 2/3) ; Concavidade para baixo em (— \/2/3, 0) e em (,/2/3,1); Pontos de inflexéo em (+ \/2/3,+1/V2) (e) A.R~ B.(—1,0), (0,—1)e (1,0) OC. Simetria em relacao ao eixo-y D.Nenhuma__ E. Crescente em (0, +00); Decrescente em (—ov, 0) F. Valor minimo global: f(0) = —1 G. Concavidade para cima em (—1,1); Concavidade para baixo em (—00, —1) eem (1, +00) ; Pontos de inflexao em (+1, 0) (e) (Grafico) (f) (Grafico) (g) (Grafico) (h) (Grafico) y y | y ra yal eal C1.) (0) 2 LAN. <1 oR mm voy , 0 x , (f) AJR B.(0,1/2) C.Nenhuma _D. Assintotas horizontais: y=Oey=1 E. Crescente em R F. Nenhum-~ G. Concavidade para cima em (—0o, 0); Concavidade para baixo em (0, +00); Ponto de inflexdo em (0, 1/2) (g) A. (0,+00) B. Nenhum C. Nenhuma D. Assintota vertical: « = 0 E. Crescente em (1, +00); Decrescente em (0, 1) F. Valor minimo global: f(1) = 1 G. Concavidade para cima em (0, +00) (h) A. {a €R;2 A -1} B.Nenhum C. Nenhuma_D. Assintota vertical: « = —1; Assintota Obliqua: y = x—1_ E. Crescente em (— 00, —l1—- V2) e em (-1 + V2, +00); Decrescente em (-1 — V2, —1) eem (-1, —1+ V2) F. Valor maximo local: f(—1— /2) = —2—2V/2; Valor minimo local: f(-1+ V2) =-2+2V/2 G. Concavidade para cima em (—1, +00); Concavidade para baixo em (—oo, —1) (i) (Grafico) (j) (Grafico) y 5 (In 2, $45in 2) ae : re 2 “Yyelt5x ReSeaE 2 / i | “ 0 1 x et aE (i) AJR B. (0,2) C.Nenhuma _D. Assintota obliqua: y = 5 +1 E. Crescente em (In 2, +00); 3 1 Decrescente em (—oo,In 2) F. Valor minimo global: f(In 2) = > + 3 In 2 G. Concavidade para cima em (—oo, +00) (j) A. (—oo, —4] U[0,+00) B. (—4,0) e (0,0) C.Nenhuma _D. Assintotas obliquas: y= x7+2e y=-«x-2 D. Crescente em [0,+00); Decrescente em (—o0, —4] _-F. Valor minimo global: f(—4) = 0=f(0) G. Concavidade para baixo em (—oo, —4) e em (0, +00) 7. (a) (Grafico de f) 1 —0,25 (b) lim f(a) = 0 (c) Valor minimo global: f(1/,/e) = —1/(2e); Concavidade para cima em x30t 3 (e~3/2, +00); Concavidade para baixo em (0,e7*/?); Ponto de inflexio em (e~*/?, ~ 303) 8. (a) Para c < 0, n˜ao h´a pontos de m´aximo ou de m´ınimo, e h´a um ponto de inflex˜ao, que decresce ao longo do eixo-x. Para c > 0, n˜ao h´a ponto de inflex˜ao, e h´a um ponto de m´ınimo global. Gr´afico de (a): Gr´afico de (b): (b) Para c > 0, os valores m´aximo e m´ınimo s˜ao sempre ± 1 2 , mas os pontos de m´aximo e de m´ınimo e os pontos de inflex˜ao aproximam-se do eixo-y `a medida que c cresce. c = 0 ´e um valor de transi¸c˜ao: quando c ´e substitu´ıdo por −c, a curva ´e refletida em rela¸c˜ao ao eixo-x. 9. Para c > 0, lim x→+∞ f(x) = 0 e lim x→−∞ f(x) = −∞. Para c < 0, lim x→+∞ f(x) = +∞ e lim x→−∞ f(x) = 0. `A medida que |c| cresce, os pontos de m´aximo e de m´ınimo e os pontos de inflex˜ao se aproximam da origem. 10. (a) Para valores positivos de c (b)