Lista de Exercícios 2 de Cálculo 2 e Questoes de Provas Antigas-2023 1

Universidade Federal do Parana Setor de Ciencias Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan Carlos Vila Bravo 2 Lista de exercicios de Calculo II DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE 1. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funcgao dada em todos os pontos do seu dominio (a) f(x,y) = 5a*y* + ay? +4 (b) f(x,y) = cos(xy) a 2 (0) f(x,y) = 3 (d) f(x,y) =In(2y = 1) (e) f(v,y) = vye™ (f) f(y) = V2? —P (9) f(x,y, 2) = In(w + 2y +32) (h) f(x,y, 2) = xyz? tan(yz) 2. utilize derivacao implicita para determinar ou (a) /fey+1l=27y (b) cos(x — y) = xe¥ 3. Utilize derivacao implicita para determinar Ge e Be (a) a? + y? + 2? = 3ryz (b)x — z = arctan(yz) 2x7? 4. Seja f(x,y) = ey se (x,y) # (0,0), 0, se (x,y) = (0,0), prove que: (a) fr(0,0) e fy(0,0) existem e (b) f(x,y) nao é diferencidvel em (0,0). Por que? 3 5. Seja f(x,y) _— r+ y2’ se (x,y) - (0,0), 0, se (x,y) = (0,0), (a) Verifique que f(x,y) é continua em (0,0) e que existem as derivadas parciais f, (0,0) e f,(0, 0). (b) E f(x,y) diferencidvel em (0,0)? Por que? REGRA DA CADEIA E VETOR GRADIENTE 1 6. Calcule @ usando a regra da cadeia: (a) z=In(2e?+y), r=vVt, y=r? (b) z= V/l+a-—2ry*, r=Int, y=t (c) z=eb™, r=t3, y= 7. Calcule Sw e ow usando a regra da cadeia (a) w= xy+yz4+a2z ondex =u cosv, y=ucosuv e z=v. (b) w = In(a? + y? + 2?) onde x = ue’sen u, y= ue’senu e z= ue”. (c) w=cosxseny onder =u-—v, y=u?4+v?. 8. Use a regra da cadeia para calcular au| ie sew=r?—rtand, r= /s, 0=78 s=1/4 9. Use a regra da cadeia para calcular e| bon e Sl ban/6? se z= aye"/¥, x =rcosé, y=rsen 6 10. Determine as equacoes do plano tangente e da reta normal a superficie dada no ponto P, (a) z=ae"—", P(2,2,2) (b)2=24, P(1,1,1) (c) a +y? +22 =25, P(-3,0,4) (d)y+tx=2rz, P(4,4,1) (e) cos(rx) — 2*y+e% +yz=4, P(0,1,2) 11. Mostre que a equacao do plano tangente ao elipsdide x + ve + = = 1, em (20, Yo, 20), pode ser escrito na forma “OF + 9% 4+ 4% = 1 12. Considere a superficie de equacao xyz = 1. Encontre as equacoes dos planos tangentes a esta superficie que sao paralelos ao plano x + y+ z+ 100 = 0. 13. Encontre 0 ponto na superficie 3a? + 2y? — 3x + 4y — z = 5 onde o plano tangente é horizontal. 14. determine o plano que passa pelos pontos (1, 1,2) e (—1,1,1) e que seja tangente ao grafico da fungao f(x,y) = xy. 15. De um funil conico escoa Agua & raz4o de 187cem3/seg. Sea geratriz faz com o eixo do cone um angulo a = 7/3, determine a velocidade com que baixa o nivel de agua no funil, no momento em que o raio da base do volume liquido é igual a 6cm 16. Um lado de um retangulo mede x = 20mts e aumenta a uma velocidade de 5mts/seg, o outro lado mede y = 30mts e diminui a uma velocidade de 4mts/seg. Com que velocidade varia o perimetro e a area desse retangulo? 17. a altura de um cone circular reto é 15cm e esta aumentando a lem/seg. O raio da base é 10cm e esta diminuindo a 0.5cm/seg. Qual a taxa de variagéo do volume em relacao ao tempo neste instante. 2 18. Em um instante dado, o comprimento de um lado de um triˆangulo retˆangulo ´e de 10cme cresce `a raz˜ao de 1cm/seg; O comprimento do outro lado ´e de 12cm e decresce `a raz˜ao de 2cm/seg. Calcule a raz˜ao de varia¸c˜ao da medida do ˆangulo agudo oposto ao lado de 12cm, medido em radianos, no instante dado. DERIVADA DIRECIONAL 19. O que ´e o vetor gradiente de uma fun¸c˜ao f(x, y) ? Como ele est´a relacionado `as derivadas direcionais de uma fun¸c˜ao? 20. Calcule a derivada direcional de f em P na dire¸c˜ao dada. (a)f(x, y) = sen (xy2); P( π 4, 2); vetor na dire¸c˜ao →u= → i . (b)f(x, y) = 3x2 + 4x − y2; P(1, 2 √ 3); vetor na dire¸c˜ao π 6. (c)f(x, y, z) = xyez + yzex; P(1, 0, 0); vetor de P a (2, 2, 1). 21. Determine as direc˜oes em que f cresce e decresce mais rapidamente no ponto P, bem como as correspondentes derivadas direcionais (taxa de vari˜a¸c˜ao de crecimento) m´axima e m´ınima respectivamente em P. (a)f(x, y) = x3 − y2, P(1, 1) (b)f(x, y) = x x2+y2, P(3, 4) (c)f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 4z2, P(1, −1, 1) 22. Seja f(x, y) = x2y. Se →u= (a, b) ´e um vetor unit´ario, escreva a f´ormula para a derivada direcional de f em (1,-1) em termos de a e b. Em que dire¸c˜ao devemos seguir a fim de que a taxa de varia¸c˜ao de f seja 2? . 23. Seja f(x, y) =    x2y x4 + y2, se (x, y) ̸= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0), (a) f(x, y) ´e cont´ınua em (0, 0).? Por que? (b) f(x, y) ´e diferenci´avel em (0, 0.)? Por que? (c) Determine as derivadas parciais ∂f ∂x(0, 0) e ∂f ∂y (0, 0). (d) f(x, y) possui derivadas direcionais em todas as dire¸c˜oes no ponto (0, 0).? DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 24. Nos itens abaixo calcule as derivadas parciais indicadas; (a)f(x, y) = x+2y x2−y, fx, fy, fxx (b)f(x, y) = ln(x2y2), h12, h21, h212 (c)f(x, y) = y3e−5x, fxyy(0, 1), fxxx(0, 1), fyyxx(0, 1) 25. Verifique que as fun¸c˜oes abaixo satisfazem a equa¸c˜ao de Laplace: zxx + zyy = 0 (a) z = exsen y, (b) z = arctan(y x) 3 26. Dado w = x3y2 − 2xy4 + 3x2y3, verifique que w satisfaz a equa¸c˜ao diferencial parcial: x∂w ∂x + y∂w ∂y = 5w 27. Use diferencia¸c˜ao implicita para determinar: ∂z ∂x e ∂z ∂y (a) xy + yz = xz (b) x2 + y2 − z2 = 2x(y + z) (c) xy2z3 + x3y2z = x + y + z (d) xyz = cos(x + y + z) LINEARIZAC¸ ˜AO E DIFERENCIAIS 28. Determine a lineariza¸c˜ao das seguintes fun¸c˜oes , ao redor dos pontos dados: (a) f(x, y) = sen (xy), P(0, 1) (b) f(x, y) = xyz, P(1, 1, 1) (c) f(x, y, z) = xy3 + cos(πz), P(1, 3, 1) (d) f(x, y, z) = (xy)z, P(12, 10, 1) 29. Calcule, aproximadamente: (a) M = 0.98 × 0.99 × 1.02 (b) N = (12.03 × 10.04)1.08 (c) P = 3.001 × (2.0023)3 + cos((1.002)π) 30. Se f(x, y) = 2x2 + 5xy + 4y2, determine os valores de △f e df, quando (x, y) varia de (2, −1) a (1.99, −0.98) ————————————————————————————————————- O Erro na aproxima¸c˜ao Linear Padr˜ao Se f tem derivadas parciais de primeira e segunda ordem continuas em um conjunto aberto que cont´em um retˆangulo R centrado em (x0, y0) e se M ´e limitante superior para os valores de |fxx|, |fxy|, |fyy| em R, ent˜ao o erro E(x, y) = f(x, y) − L(x, y) satisfaz a seguinte desigualdade |E(x, y)| ≤ 1 2M{ |x − x0|2 + |y − y0|2 }2 ————————————————————————————————————- 31. Nos itens abaixo, encontre a lineariza¸c˜ao L da fun¸c˜ao f em P0. Ent˜ao encontre um limitante superior para a magnitude |E| do erro na aproxima¸c˜ao f ≈ L na regi˜ao R (a) f(x, y) = x2 − 3xy + 5, emP0(1, 2), R : |x − 2| ≤ 0.1, |y − 1| ≤ 0.1 (b) f(x, y) = 1 + y + x cos y, emP0(0, 0), R : |x| ≤ 0.2, |y| ≤ 0.2 (c) f(x, y, z) = x2 + xy + yz + z2 4 , emP0(1, 1, 2), R : |x − 1| ≤ 0.01, |y − 1| ≤ 0.01, |z − 2| ≤ 0.08 4 32. Vocˆe planeja calcular a ´area de um retˆangulo comprido e fino a partir de medidas de seu comprimento e largura. Qual dimens˜ao vocˆe deve medir com mais cuidado? Justifique sua resposta. 33. Ao redor do ponto P0(1, 0), a fun¸c˜ao f(x, y) = x2(y + 1) ´e mais sens´ıvel a varia¸c˜oes em x ou em y?. Qual raz˜ao entre dx e dy far´a df igual a zero no ponto P0(1, 0)? 34. Sua empresa produz latas de refrigerantes padr˜ao que tem 20cm de altura com raio de 3cm. Qual ´e a sensibilidade do volume da lata em rela¸c˜ao a pequenas varia¸c˜oes do raio e da altura? —————————-Coletˆanea de provas————————————— 35. Considere a fun¸c˜ao f(x, y, z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(xz). (a) Determine o gradiente de f em um ponto P(x, y, z) qualquer de seu dom´ınio. (b) Determine as dire¸c˜oes nas quais f cresce e decresce mais rapidamente no ponto P(1, 1, 1) . 36. Verifique se existe ou n˜ao os seguintes limites, justifique sua resposta: (a) lim (x,y)→(0,0) x2 − y2 1 + x2 + y2, (b) lim (x,y)→(0,0) xy |xy|. 37. (a) Calcular o plano tangente e a reta normal no ponto Po(1, 1, 9) do paraboloide z − 2x2 − y2 = 6. (b) Encontre os valores de m e n de tal forma que o plano mx + ny + z = 2 seja tangente ao paraboloide z = x2 + 2y2 + 2 no ponto Po(1, 1, 5). 38. Calcular as derivadas parciais ∂w ∂r , ∂w ∂θ e ∂w ∂φ onde: w = xy2 + yz2 + zy2, x = r cos θsen φ e y = rsen θsen φ e z = r cos θ 39. Considere a fun¸c˜ao f(x, y) = x2y + exysen y. (a) Determine o gradiente de f em um ponto P(x, y) qualquer de seu dom´ınio. (b) Determine as dire¸c˜oes nas quais f cresce e decresce mais rapidamente no ponto P(1, 0) . 40. Verifique se existe ou n˜ao os seguintes limites, justifique sua resposta: (a) lim (x,y)→(0,0) x2y2 x2y2 + (x − y)2, (b) lim (x,y)→(0,0) x − y + 2√x − 2√y √x − √y . 41. Determine a equa¸c˜ao do plano tangente e a reta normal no ponto Po(−1, π 2, 1) `a superf´ıcie de equa¸c˜ao z = ex cos y. 42. Calcule, usando a regra da cadeia as derivadas parciais ∂z ∂u, ∂z ∂v onde: z = exy, x = u(u + v), y = v(u + v) 5 43. (a) Encontre o vetor gradiente da fun¸c˜ao f(x, y) = e2x2+2y. (b) Determine a derivada direcional da fun¸c˜ao f(x, y, z) = ln(xy)+ln(yz)+ln(xz) no ponto dado P(2, 1, -1) e na dire¸c˜ao do vetor v = 3i + 4j + 12k. 44. Encontre os pontos sobre a superficie (y + z)2 + (z − x)2 = 16 onde a reta normal ´e paralela ao plano yz. 45. A derivada de f(x, y, z) em um ponto P ´e maior na dire¸c˜ao do vetor v = i + j − k. Nessa dire¸c˜ao, o valor da derivada ´e 2 √ 3. (a) Qual ´e valor de ∇f em P? Justifique sua resposta. (b) Qual ´e a derivada de f em P na dire¸c˜ao do vetor u = i + j.? 46. a)Se w = ln (x2 + y2 + 2z), x = r + s, y = r − s e z = 2rs , encontre wr e ws. b)Seja w = x2e2y cos (3z). Encontre o valor de wt no ponto A(1, ln 2, 0) na curva x = cos t, ln (t + 1), z = t 47. (1,5 pontos) Encontre os pontos sobre a superficie xy + yz + zx − x − z2 = 0 onde o plano tangente ´e paralelo ao plano xy. 48. (1,5 pontos) A derivada de f(x, y) no ponto P(1, 2) na dire¸c˜ao u = i + j ´e 2 √ 2 e na dire¸c˜ao v = −2j ´e −3. Qual ´e a derivada de f na dire¸c˜ao w = −i − 2j? Justifique sua resposta. ———————– 2007 —————————— 49. Considere a seguinte fun¸c˜ao f : R2 → R definida por: f(x, y) =    x2−y2 x2+y2, (x, y) ̸= (0, 0) k, (x, y) = (0, 0). onde k ´e uma constante. a) ´E ou n˜ao poss´ıvel escolher k de tal forma que a fun¸c˜ao seja continua no ponto (0, 0)? b) Sem fazer calculos comente a seguinte afirma¸c˜ao: ”Se ambas as derivadas parciais da fun¸c˜ao f existirem na vizinhan¸ca do ponto (0, 0) nenhuma delas pode ser cont´ınua no (0, 0)” c) Calcule pela defini¸c˜ao a derivada direccional da fun¸c˜ao f no ponto (1, 0) segundo a dire¸c˜ao do vetor u = (1, 0). Uma perguntinha: Como se chama esta derivada direccional? 6 50. Suponha que vocé estaja sentado no ponto pS. 3, 3) de uma superficie que tem por equacao z = —x — 2y. Qual é a diregao em que voce deve comecar a escorregar para atingir o plano xy o mais depressa possivel? 51. Encontre os pontos sobre a superficie ry+yz+zx2 —2—z* = 0, onde o plano tangente é paralelo ao plano xy. 52. Admita que T(z, y) = 16 — 2x? — y? represente uma distribuicdo de temperatura no plano xy. Determine uma parametrizagao para a trajetoria descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto (1,2), sempre na direcao e sentido de maximo crescimento da temperatura. dz dz 53. Calcule — e — no ponto dado (r, 9). dr dg? (7,9) z=4e"lny, x=In(rcosé), y=rsend, (r,0) = (2,7/4) ————- 20038 54. Seja S a superficie definida por z = \/y? — 42?. (i) Determine e esboce 0 dominio da fungad (ii) Descreva a intersegéo de S com o plano z = k, quando k = —1,k=Oek=1. (iii) Identifique as intersegoes de S com os planos xz e yz. 55. Calcule os seguintes limites, caso existam. Se nao existirem, justifique 2 —_ (a) lim —* ~ (b) lim eye = y) (2.y)>(0,0) £2 — y? (x,y) (00) x4 + y4 FY se (ay) £ (0,0) 56. Seja f(r,y)= 4 xi py “WY TNE) 0, se (x,y) = (0,0), (a) f(x,y) é continua em (0,0).? Por que? (b) f(x,y) é diferencidvel em (0,0.)? Por que? Of Of c) Determine as derivadas parciais —(0,0) e —(0,0). () parciais 57 (0,0) ¢ (0:0) (d) f(x,y) possui derivadas direcionais em todas as diregdes no ponto (0, 0).? 57. Considere a superficie S : 2x? —y?+2xz+10 = 0. Determine os pontos de S nos quais o plano tangente a S é paralelo ao plano tangente ao grafico da funcgao z = x7 + y? no ponto P(1, 1,2). 58. Seja S a superficie definida por z = , ps. (i) Determine e esboce 0 dominio da fungad (ii) Descreva a intersegao de S com o plano z =k, quandok =0,k =lek=2. (iii) Identifique as intersegoes de S com os planos xz e yz. 7 59. Calcule os seguintes limites, caso existam. Se nao existirem, justifique 2 _ (a) lim —7— (b) tim THe). (2,y)—+(0,0) x? — y? (2,y) (0,0) x4 + y4 60. Mostre que a funcgao 5xy ——s., se (2, 0,0), 0, se (x,y) = (0, 0), possui derivadas parciais em (0,0), mais nao é diferencidvel no ponto (0,0). 61. Encontre o ponto na superficie S : 2? + y? — 6y + z = 3 onde o plano tangente é horizontal. 62. O que significa uma fungcado f:U C R?+>R ser diferencidvel em (24, yo) € U? ? Qual é a relacao entre a diferenciabilidade de f e a continuidade de f em um ponto ? xy 63. Seja f(x,y) _— rt+y2’ se (x, y) = (0,0), 0, se (x,y) = (0,0), . . _. Of Of (a) Determine as derivadas parciais —- e — em todos os pontos. Ox Oy (b) E f(x,y) diferencidvel em (0,0)? Por que? 64. Considerando as funcgoes: w=In(2?+y?+27), 2=ue’senu, y=ue’cosu, z= ue, O O calcule a e ae de dois modos: Ou Ow a) Determinando w em termos de u e v e derivando em relagéo a u € a v. b) Usando a regra da cadeia. Ow Ow c) Determine os valores de —(—2,0) e —(—2,0). ) S~(-2,0) ¢ S=(-2,0) 65. Determine uma equacao do plano tangente e uma equacao da reta normal ao grafico de f(x,y, z) = cos(rx) — x?y + e** + yz = 4 no ponto P,(0, 1, 2). 66. Ache a reta tangente a intersecao das superficies Spi z=a*+y’, e Sp: 4074+ y? +27 =9 no ponto P,(—1, 1, 2). 67. O que é 0 vetor gradiente de uma fungao f(x,y) ? Como ele esta relacionado as de 68. Calcule os seguintes limites, caso existam. Se nao existirem, justifique 3,3 — 1 3,3 (2) lim ~¥o* (1) lim SY. (x,y) (0,0) xy—1 (x,y) (0,0) w* + y 8 Qx2y? 69. Seja f(z,y) _— rity!’ se (x, y) - (0,0), 0, se (x,y) = (0,0), prove que: (a) fr(0,0) e fy(0,0) existem e (b) f(x,y) nao é diferencidvel em (0,0). Por que? O O 70. Encontre 5, (80) e sy (80) quando s = let = 27 para a fungao: s w= ryt yet £2 onde x = s cost, y=ssent e z=t. 71. Encontre a equacao do plano tangente e a equacao da reta normal a superficie: S:y=2x(2z—1) no ponto P,(4,4,1). 72. Encontre o ponto na superficie S : 3x? + 2y? — 3x + 4y — z = 5 onde o plano tangente é horizontal. 73. A temperatura no ponto (x,y) de uma placa metdalica é dada por: x T(z,y) = => (t.9) = a> Pp Encontre a diregao de crescimento maximo da temperatura no ponto (3, 4). 74. Seja S a superficie definida por z = y/|z| — ly]. (i) Determine e esboce 0 dominio da fungad (ii) Descreva a intersegao de S com o plano z = k, quando k = 0,1,2 75. Calcule os seguintes limites, caso existam. Se nao existirem, justifique r 443 (i) lim —, (ii) im SY. (x,y) (0,0) «3 — y (x,y)—+(0,0) x2 + y 76. Represente graficamente o dominio da seguinte funcao: flt,y) = V\a] + lyl—1 FY se (0,1) # (0,0) 77. Seja f(x,y) =% xipy “WYP NOE 0, se (x,y) = (0,0), (a) f(x,y) é continua em (0,0).? Por que? (b) f(x,y) é diferencidvel em (0,0)? Por que? 78. Suponha que o movimento de um pato numa piscina é dado pela curva x=(34+t)?, y=2-?#7, enquanto a temperatura da agua é dada pela formula T(x, y) = e”(y? + x”). Ache 4 =? 9 79. Encontre a equacao do plano tangente e a equacao da reta normal a superficie: S:y=x(2z—1) noponto P,(4,4,1). 80. Determine os pontos sobre a superficie S :~? —2y”?—4z? = 16, onde o planos tangentes sao paralelos aos planos coordenados. 81. Encontre os pontos sobre a superficie S : 2x? — y? + 2xz + 10 = 0, onde o planos tangentes sao paralelos aos planos coordenados. 82. A derivada de f(x,y, z) em um ponto P é menor na diregao do vetor v =i+j —k. Nessa direcao, 0 valor da derivada é 2/3. (a) Qual é valor de Vf em P? Justifique sua resposta. (b) Qual é a derivada de f em P na direcdo do vetor u=i+j+k.? 83. Represente graficamente o dominio da seguinte fungao: f(t,y) = Vy — 2? + V2? —4, 84. Seja Izly 2 2 ————. , se x+y" £0, [72 4 42 f(x,y) = wry 0, se 2? +y? = 0, a) BE f(x,y) continua em (0,0)? Por que? b)E f(x,y) diferencidvel em (0,0)? Por que? c) f(x,y) possui derivadas direcionais em todas as diregdes no ponto (0,0). 85. Determine as equacoes das retas tangente e normal A curva C : y? — x? = 3 no ponto P,(1,2). Esboce entao as retas, a curva de nivel e o vetor gradiente Vf em Pp. 86. Encontre os pontos sobre a superficie S : x?-+y?— z? 2x = 0, onde o planos tangentes sao paralelos aos planos coordenados. 87. Seja f(x,y) uma fungao diferenciavel no ponto Po(1, 2) tal que: A derivada de f(x,y) em Po(1,2) na direcdo do vetor u = i+ 7 é6 2V2 e na direcao do vetor v = —27 6 —3. a) Encontre os valores de f,(1,2) e fy(1, 2) b) Qual é a derivada de f(z, y) na direcao do vetor w = —i — 2). a ; ~ l-y 88. Represente graficamente o dominio da seguinte fungao: f(x,y) = 4/—. y-x 10 ay? Seo >:—s« Se. (2, y) A (0,9), 27/2 — 4))2 89. Seja f(x,y) = wy? + (u—y) 0, se (x,y) = (0,0), E f(x,y) diferencidvel em (0,0)? Por que? 90. Determine as equacoes das retas tangente e normal a curva C : y = xe~* no ponto P,(1,e7"). 91. Encontre os pontos sobre a superficie S : ry + yz + zx — x — 27 = 0, onde o plano tangente é paralelo ao plano xy. 92. Considere as duas superficies S$, : 2? — y? +27 =1e Sy: 2a? —y? +527 =6. (a) Determine os vetores normais e os planos tangentes a S; e Sy em (1,1, —1); (b) Determine o angulo entre os dois planos; (c) Determine a equagéo da reta tangente em (1, 1,—1) a curva de intersegao das superficies S; e So. 2009 93. Encontre o dominio da fungaéo: f(x,y) = ,/|zy| — 1 , , , . Quy - 94. E possivel definir f(0,0) de maneira que f(x,y) = Hap se estenda a uma funcao zt y continua na origem. 95. Determine as equagoes do plano tangente e da reta normal no ponto Po(1,2,1) na superficie S: z= /y—«. 96. Qual é 0 maior valor que a derivada direcional de f(x,y, z) = xyz pode ter no ponto (1, 1,1)? 97. Seja T(x, y) = 4a?—4ry+4y? a temperatura no ponto (2, y) naelipse x = 2/2cost, y= V2sen t, 0 <t <2. Descubra onde ocorrem as temperaturas maxima e minima . ns . . dl d’?T na circunferéncia examinando as derivadas ——- e —— dt = dt? 98. Encontre o dominio da fungao: f(x,y) = way ; cao: f(r.u) = | 11 3 3 , vey — 2x ~ 99. E possivel definir f(0,0) de maneira que f(x,y) = ae se estenda a uma, funcéo zt y continua na origem. 100. Determine as equagdes do plano tangente e da reta normal no ponto Po(0,1,2) na superficie S : cos(wx) — x?y + e* + yz =4. 101. Encontre as diregdes nas quais a funcao f(x, y) = x7y+e7¥sen y, cresce e decresce mais rapidamente em Po(1,0). Depois encontre as derivadas da funcgao nessas diregées. 102. Seja T(x,y) = 4x? — 4ry + 4y? a temperatura no ponto (x,y) na circunferéncia x= cost, y= sent, 0 <t < 2m. Descubra onde ocorrem as temperaturas a ys . ns . . dl iT maxima e minima na circunferéncia examinando as derivadas ih e Te 103. Considere a fungao f(x,y) = \/1 — (x — y)? a) Descreva a regiao R no plano que corresponde ao dominio da fungao dada e encontre a imagem da funcao. b) Esboce um numero finito (minimo 3) de curvas de nivel no dominio da fungao 104. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que a funcao 3 x f(x,y) = —_ nao tém limite quando (x,y) —> (0,0). u+y 105. Determine as equacoes do plano tangente e reta normal a superficie S : y = x(2z—1) no ponto P(4, 4, 1). 106. Os dois raios de um tronco de cone circular reto estao aumentando a uma taxa de 4cm por minuto, enquanto a altura esta diminuindo a uma taxa de 12cm por minuto. Encontre a taxa de variacao do volume quando os raios medem 15cm e 25cm e altura mede 10cm. V = prh(R? + Rr +r’) 107. Voce planeja calcular o volume dentro de um trecho de tubulagaéo que tem cerca de 50cm de diametro e 10mts de comprimento. Com qual medida vocé deve ter mais cuidado, o comprimento o diametro? Por que? V=ar-h 108. Considere a funcgao f(x,y) = /|a| + |y| — 2 a) Descreva a regiao R no plano que corresponde ao dominio da fungao dada e encontre a imagem da funcao. b) Esboce um numero finito (minimo 3) de curvas de nivel no dominio da fungao SH se (su) # (0,0) 109. Seja f(a, y)= 4 22H yer OAM 0, se (x,y) = (0,0), prove que: (a) Calcule f,(0,0) e f,(0,0). ( usar a definicao) (b) f(x,y) é diferencidvel em (0,0)? Por que? 12 110. Determine o plano que passa por (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente ao gr´afico f(x, y) = xy. Existe mesmo s´o um? 111. Ache os pontos do hiperbol´oide x2 −y2 +2z2 = 1 onde a reta normal ´e paralela `a reta que une os pontos (3, −1, 0) e (5, 3, 6). 112. O raio de um cilindro circular reto est´a aumentando a uma taxa de 6cm por minuto e sua altura est´a diminuindo a uma taxa de 4cm por minuto. Qual ´e a taxa de varia¸c˜ao do volume e da ´area da superf´ıcie quando o raio e a altura tiverem, respectivamente, 12 e 36 cent´ımetros? 113. Existe uma dire¸c˜ao →u na qual a taxa de varia¸c˜ao de f(x, y) = x2 − 3xy + 4y2 em P(1, 2) ´e igual a 14? Justifique sua respostas. 114. Ache o plano tangente e a reta normal ao hiperbol´oide de uma folha x2 + y2 − z2 = 4 no ponto (2, −3, 3). 115. Encontre os pontos sobre a superf´ıcie S : xy + yz + zx − x − z2 = 0 onde o plano tangente ´e paralelo ao plano xy. 116. Considere a fun¸c˜ao f(x, y) = ln(4 − xy) a) Descreva a regi˜ao R no plano que corresponde ao dom´ınio da fun¸c˜ao dada e encontre a imagem da fun¸c˜ao. b) Esboce um numero finito (m´ınimo 3) de curvas de n´ıvel no dom´ınio da fun¸c˜ao 117. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que a fun¸c˜ao f(x, y) = −xy2 x2 + y4 n˜ao tˆem limite quando (x, y) −→ (0, 0). 118. Determine a equa¸c˜ao do plano tangente ´a superf´ıcie S : xy2 + 3x − z2 = 4 no ponto P(2, 1, −2). 119. Os comprimentos a,b e c das arestas de uma caixa retangular variam com o tempo. No instante em quest˜ao: a = 1m, b = 2m, c = 3m, da dt = db dt = 1m/seg e dc dt = −3m/seg. Quais s˜ao as taxas de varia¸c˜ao do volume V e da ´area S da caixa no instante dado? As diagonais do interior da caixa est˜ao aumentando ou diminuindo de conprimento? 120. Pr´oximo ao ponto (1, 2), a fun¸c˜ao f(x, y) = x2−xy+y2−3 ´e mais sensiv´el `as varia¸c˜oes em x ou `as varia¸c˜oes em y? Como vocˆe sabe? 13 121. Considere a fungao f(x,y) = \/x? — y? a) Descreva a regiao R no plano que corresponde ao dominio da fungao dada e encontre a imagem da funcao. b) Esboce um numero finito (minimo 3) de curvas de nivel no dominio da fungao 122. Encontre a equacao do plano tangente a superficie S : xy? + 3x — z* = 4 no ponto (2,1,-2) ES 123. Ache a equacao do plano tangente a superficie z = 2x? — 3xy + y? que seja paralelo ao plano 10x” — 7y —2z+5=0 124. Calcule, usando aregra da cadeia, as derivadas 0z/Ou e 0z/Ov quando: z=e, x=u(utv), y=v(ut+v) 125. Existe uma diregao una qual a taxa de variagao de f(x,y) = x? — 3xy + 4y? em P(1,2) éigual a 14? Justifique sua respostas. 20° +y? 126. Seja f(z, y) _— 72 4 Dy?’ se (a, y) = (0,0), 0, se (x,y) = (0,0), (a) Seja u= (m,n) um vetor unitario (isto 6, m? +n? = 1). Use a definigao de derivada direcional para calcular D,,f (0,0) (b) E f diferenciavel em (0,0)? Justifique. 127. Considere a fungao f(x,y) = 2? + y? — 2y eo ponto P,(2,2). Determine: (a) A derivada direcional de f no ponto P, na direcgao do vetor u= (1,1). (b) A derivada direcional de f no ponto P, na direcao do vetor tangente 4 curva y = x? — x no ponto (3,6). (c) A diregao na qual a taxa de variacaéo de f em P, é maxima. 2010 —————————_ 128. Considere a fungao f(x,y) = /y? — 4x? a) Determine e esboce 0 dominio da funcao. b) Esboce um numero finito (minimo 3) de curvas de nivel no dominio da fungao 129. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que a funcao x f(x,y) = —_ nao tém limite quando (x,y) —> (0,0). y—ax 130. Determine um plano que passe pelos pontos (5,0,1) e (1,0,3) e que seja tangente a superficie x? + 2y? + 27 = 7. 131. Seja T(x, y) = 2? — ry + y? a temperatura no ponto (2, y) na elipse x = cost, y =2sent, 0 <t< 2a. Descubra os pontos onde ocorrem as temperaturas maxima 2 e minima na elipse examinando as derivadas a e oe 14 132. Suponha que o grafico de z = 16-227 —y? represente a superficie de um monte (adote o km como unidade de medida) Um alpinista que se encontra na posicao (1, 2, 10) pretende descer. (a) Determine o ponto em que ele tocara o plano XY admitindo que ele busque sempre a direcao de maior aclive. (b) Determine a parametrizacao da trajetoria a ser descrita pelo alpinista. . ~ 1 133. Considere a fungao f(x, y) = ————= Vy — Va a) Descreva a regiao R no plano XY que corresponde ao dominio da fungao dada. b) Esboce um numero finito (minimo 3) de curvas de nivel no dominio da fungao 134. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que a funcao 2 u* + ~ A ee f(x,y) = —S nao tém limite quando (xz, y) —> (0,0). y — 2x 135. Considere a superficie S C R? definida pela equacao Vit f/y+V2=1 (a) Determine a equacgao do plano tangente (7;) 4 superficie S no ponto (Xo, Yo, 20) € S& situado no primeiro octante. (b) Determine os pontos de intersegaéo deste plano tangente (7) com os eixos coordenados. 136. Se 27 + y+ 3z = 6 éa equacao do plano tangente ao grafico de z = f(x,y) no ponto (1, 1,1). (a) Calcule f,(1,1) e fy(1, 1). (b) Determine a equacao da reta normal no ponto (1,1, 1). 137. Suponha que sobre uma certa regiao do espaco o potencial elétrico V é dado por V(a,y, 2) = 5a? — 3xy + xyz. (a) Ache a taxa de variacao do potencial em P(3,4,5) na diregao do vetor > . : v=i+j—k. (b) Em que diregao V muda mais rapidamente em P? 138. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que a funcgao xy ~ a ee f(x,y) = ————— nao tém limite quando (x, y) —> (0,0). ty+xr—-y 139. Determine uma reta que seja tangente & curva x? + xy + y? = 7 e paralela a reta 4x + 5y = 17. 15 140. Determine a equacao de um plano tangente & superficie z = 2x? — 3xy + y? que seja paralelo ao plano 10x — 7y — 2z+5=0. 141. Calcule as derivadas parciais 0z/Ou, Oz/Ov em fungao de z, y,u e v, onde: z= x" cos(ry’), r=e, y = In(uv) 142. Seja 7 o seguinte plano x + 2y + 3z = 6. Determine a reta contida no plano 7, passando pelo ponto (1,1, 1) e que forma com o plano ry angulo maximo. 143. Determine a equacdéo do plano tangente a superficie z = y cos(x — y), no ponto (2, 2, 2. 144. Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt e dw/dt em fungao de x,y e t, onde zZ=sinxrcosy, c=Tt, y= Vt. 145. Seja f uma fungao de duas variaveis que tenha derivadas parciais continuas e considere os pontos A = (1,3), B = (3,3),C = (1,7), e D = (6,15). A derivada direcional de f => > em A na diregao do vetor AB é 3, e a derivada direcional de f em A na diregao AC — é 26. Determine a derivada direcional de f em A na diregao do vetor AD . 146. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que a funcao 2 f(x,y) = 4 _ nao tam limite quando (x, y) —> (0,0). x? + y4 147. Dado a curva C : y =4 — 2? (a) Determine a equagao da reta tangente a curva C no ponto P,(1,3). (b) Determine a drea do triangulo formado por esta reta tangente com os eixos coordenados. 148. Seja 2x+y+3z=6 a equacao do plano tangente ao grafico de z = f(z, y) no ponto (1, 1,1). (a) Calcule f,(1,1) e f,(1, 1). (b) Determine a equacao da reta normal no ponto (1, 1,1). x 149. Dado as funcdes w = ——, r=e', y=e' e z=e”. yt 2 . . dw (a) Use a regra da cadeia para determinar 7. em termos de x, y, z e tf. . dw (b) Determine o valor de | dt \t=0 150. Ache a derivada direcional maxima de f(x,y) = xe~¥ + 3y no ponto (1,0) e dé a direcao em que ela ocorre. 16 151. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que a funcgao 3,3 f(x,y) = ay nao tém limite quando (x,y) —> (0,0). (2? + y) 152. Determine o plano que passa pelos pontos (1,1,2) e (—1,1,1) e que seja tangente ao grafico de f(x,y) = ry. 153. Calcule aproximadamente 8.99 x \/9.99 — (1.03). 154. Seja T(x, y) a temperatura em um ponto (z,y) no circulo x = cos t, y= sen t com 0 <t< me suponha que: oT OT ~ = 8x —Ay, ~— = 8y — 4a Ox y Oy y (a) Encontre onde as temperaturas maximas e minimas no circulo ocorrem inand dT dT examinando — e —~. dt dt? (b) Supondo T (2, y) = 42? —4ay+ 4y?, encontre o valor maximo e o valor minimo de T no circulo. 155. Existe uma diregao Una qual a taxa de variacao da fungao temperatura T (x,y,z) = 2xy — yz (a temperatura esta sendo medida em graus Celsius e a distancia em cm) no ponto P(1,—1,1) é de —3°C/cm.? 156. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que a funcgao 21 2 x + ~ A f(x,y) = “14 nao tém limite quando (x,y) —> (0,0). y 157. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x” + y e tangente ao grafico de f(ty) =a? +y?. 158. Calcule aproximadamente (1,01). 159. Seja T(x, y) a temperatura em um ponto (x,y) na elipse x = 2V/2cos t, y = V2sen t com 0 <t <a esuponha que: OT OT —_ = 5 —_-_ = 2 ax” Oy (a) Encontre onde as temperaturas maximas e minimas na elipse ocorrem inand dT iT examinando — e —~. dt dt? (b) Supondo T(z, y) = ry — 2, encontre o valor maximo e o valor minimo de T’ na elipse. 17 160. Suponha que T(x, y) = 40 − x2 − 2y2 represente uma distribui¸c˜ao de temperatura no plano xy (adimita que x e y s˜ao dados em km e que a temparatura ´e medida em 0C). Um indiv´ıduo se encontra na posi¸c˜ao (3, 2) e pretende dar um passeio. (a) Descreva o lugar geom´etrico dos pontos que ele dever´a percorrer se for seu desejo desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto (3, 2). (b) Qual a dire¸c˜ao e sentido que dever´a tomar se for seu desejo caminhar na dire¸c˜ao de maior crescimento da temperatura? (c) De quanto a temperatura se elevar´a aproximadamente, caso caminhe 0, 01km na dire¸c˜ao encontrada no item (b)? ————————– 2011 —————————– 161. Mostre que o seguinte limites n˜ao existe: lim (x,y)−→(0,0) 3y√x 5x + 6y2 162. Determine, se existir, o plano tangente ao gr´afico das fun¸c˜oes dadas nos pontos indi- cados. (a) 2x2 + y2 − z2 = 0 no ponto: P(0, 0, 0). (b) yez + xz − x2 − y2 = 0 no ponto Q(0, 1, 0). 163. A altura de um cone circular ´e de h = 100cm e decresce a raz˜ao de 10cm/seg. O raio da base ´e de r = 50cm e cresce a raz˜ao de 5cm/seg. Com que velocidade est´a variando o volume, quando h = 100cm e r = 50cm ? 164. Usando diferencial calcule o valor aproximado de (1, 001)3,02. 165. Seja f(x, y) uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis que tenha derivadas parciais cont´ınuas e considere os pontos A(1, 3), B(3, 3), C(1, 7) e D(6, 15). A derivada direcional em A na dire¸c˜ao do vetor → AB ´e 3, e a derivada direcional em A na dire¸c˜ao do vetor → AC ´e 26. Determine a derivada direcional de f em A na dire¸c˜ao do vetor → AD. 166. Encontre uma equa¸c˜ao do plano tangente e da reta normal `a superf´ıcie dada no ponto especificado (i) z = 3x2 − y2 + 2x, (1, −2, 1). (ii) xy + yz + zx = 3, (1, 1, 1). 167. Plano tangente: (iii) Encontre os pontos no hiperboloide x2 + 4y2 − z2 = 4 onde o plano tangente ´e paralelo ao plano 2x + 2y + z = 5. 168. Regra da cadeia: (iv) O comprimento x de um lado de um triˆangulo esta aumentando a uma taxa de 6cm/s, o comprimento y de um outro lado est´a diminuindo a uma taxa de 4cm/s e o ˆangulo θ entre eles est´a aumentando a uma taxa de 0, 05 radiano/s. Qu˜ao rapidamente est´a variando a ´area do triˆangulo quando x = 80cm, 18 y = 100cm e θ = π/6. ——————— 2012 ————————— 169. Determine uma equa¸c˜ao do plano tangente `a superf´ıcie z = y cos(x − y) no ponto (2, 2, 2) 170. Utilize a regra da cadeia para determinar ∂z ∂u e ∂z ∂v. Onde: z = ex+2y, x = u v , y = v u 171. Determine as dire¸c˜oes em que a derivada direcional de f(x, y) = y e−xy no ponto (0, 2) tem valor 1. 172. O raio de um cilindro circular est´a decrescendo `a taxa de 1, 2cm/s enquanto sua altura est´a crescendo `a taxa de 3cm/s. A que taxa o volume do cilindro est´a variando quando o raio ´e 80cm e a altura 150cm? 173. Determine as equa¸c˜oes do plano tangente e da reta normal `a superf´ıcie S : x2y − 4z2 + 7 = 0 no ponto P(−3, 1, −2). 174. Suponha que f(x, y) = exy+x−y Qual a taxa de varia¸c˜ao de f(x, y) em P(0, 0) quando nos movemos da origem a (2, 1)?. Em que dire¸c˜ao devemos nos mover para que a taxa de vaira¸c˜ao de f(x, y) seja m´axima? Qual ´e o valor dessa taxa? Em que dire¸c˜ao a derivada ´e zero? 175. Mostre que lim (x,y)−→(0,0) xy4 x2 + y8 n˜ao existe. 176. Determine a aproxima¸c˜ao linear da fun¸c˜ao f(x, y) = 2x + 3 4y + 1 no ponto P(0, 0). 177. Um lado de um triˆangulo est´a aumentando a uma taxa de 3cm/s e um segundo lado est´a decrescendo a uma taxa de 2cm/s. Se ´area do triˆangulo permanece constante, a que taxa varia o ˆangulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20cm de compri- mento e o segundo lado tem 30cm de comprimento e o ˆangulo ´e π/6. 178. Determine todos os pontos nos quais a dire¸c˜ao de maior varia¸c˜ao da fun¸c˜ao f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 4y ´e →u= (1, 1) ———————————————— 2013 ———————————————— 179. Determine a aproxima¸c˜ao linear da fun¸c˜ao f(x, y) = ln(x − 3y) em (7, 2) e use-a para aproximar f(6.9 , 2.06) 19 180. Um lado de um triˆangulo esta aumentando a uma taxa de 3cm/seg e um segundo lado est´a decrescendo a uma taxa de 2cm/seg. Se a ´area do triˆangulo permanece constante , a que taxa varia o ˆangulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20cm de comprimento, o segundo lado tem 30cm de comprimento e o ˆangulo entre os lados ´e π/6? 181. Determine as dire¸c˜oes em que a derivada direcional de f(x, y) = ye−xy no ponto (0, 2) tem valor 1. 182. Aplicando limites por caminhos, mostre que f(x, y) = x2 + y2 y n˜ao tem limite quando (x, y) se aproxima de (0, 0). 183. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao gr´afico de f(x, y) = x2 + y2 184. A altura de um cone circular ´e de h = 100cm e decresce a raz˜ao de 10cm/seg . O raio da base ´e de r = 50cm e cresce a raz˜ao de 5cm/seg . Com que velocidade est´a variando o volume, quando h = 100cm e r = 50cm ? 185. Suponha que T(x, y) = 40 − x2 − 2y2 represente uma distribui¸c˜ao de temperatura no plano xy (adimita que x e y s˜ao dados em km e que a temparatura ´e medida em 0C). Um individuo se encontra na posi¸c˜ao (3, 2)e pretende dar um passeio. a) Descreva o lugar geom´etrico dos pontos que ele dever´ıa percorrer se for seu desejo desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto (3, 2). b) Qual a dire¸c˜ao e sentido que dever´ıa tomar se for seu desejo caminhar na dire¸c˜ao de maior crescimento da temperatura? c) De quanto a temperatura se elevar´ıa aproximadamente, caso caminhe 0, 01km na dire¸c˜ao encontrada no item b)? 186. Derivadas Parciais: (1-i) Determine todas as derivadas parciais de 1ra ordem da fun¸c˜ao: f(x, y) = 5xy 3x + y2 (1-ii) Use a deriva¸c˜ao implicita para determinar dz dx, dz dy, xz = ln(y + z) 187. Determine as equa¸c˜oes do plano tangente e da reta normal `a superficie f(x, y) = y cos(x − y) no ponto (2, 2, 2). 188. Determine as dire¸c˜oes em que a derivada direcional de f(x, y) = y e−xy no ponto (0, 2) tem valor 1. 20 189. Determine a aproximacao linear da funcgao f(x,y) = \/y+cos?x em (0,0) e use-a para aproximar o valor de f(0.1, 0.06) 190. Um lado de um triangulo esté aumentando a uma taxa de 3cm/s e um segundo lado esta decrescendo a uma taxa de 2cm/s. Se a area do triangulo permanece constante, a que taxa varia o angulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20cm de comprimento, 0 segundo lado tem 30cm de comprimento e o angulo é 7/6? 191. Determine a faca o esboco do dominio da funcao: f(x,y) = n(9 — xy) 192. Faca o esboco do mapa de contorno e do grafico da fungéo e compare-os. f(t,y) = V 4a? +y 193. Calcule o limite ou mostre que ele nao existe. . ry? lim ———<$— (x,y) +00) 2? + 2y® ~ x 194. Determine o dominio da fungao e represente-o graficamente f(x,y) = Vea y? — 4a 195. sabendo que a funcao T((x,y) = 30 — 2? — ve representa a temperatura nos pontos da regiao do espaco delimitada pela elipse x? + *- = 1 analisando as curvas de nivel, responda: (a) Em que pontos a temperatura é a mais alta possivel? (b) Se uma particula afasta-se da origem, deslocando-se sobre 0 eixo positivo dos x, sofrera aumento ou diminuigao de temperatura? (c) Em que pontos a temperatura é a mais baixa possivel? ee ry? 196. Mostre que o seguinte limite nao existe lim => (x,y)+(0,0) 2° + y 197. Determine as equacoes do plano tangente e da reta normal a superficie definida im- plicitamente pela equacao: xy — 4z? = —7 no ponto (—3, 1, —2). 198. Suponha que z = e*#t*~¥. Qual a taxa de variacao de z em (0,0) quando nos movemos da origem a (2,1)?. Em que direcao devemos nos mover para que a taxa de variacao de z seja maxima? Qual é 0 valor dessa taxa? Em que direcao a derivada é zero? 199. Determine as equacgoes do plano tangente e reta normal a superficie S definida pela equacao: yz = In(x + z) no ponto (0,0,1) € S. 200. A temperatura em cada ponto (x,y) de uma placa de metal é definida por a funcgao T(x,y) = x? + v graus Celsius. Uma formiga passeia pela placa percorrendo um caminho de modo que sua posicgéo apdés t segundos seja dada por x(t) = 1+ 2te 2 : ~ ~ : y(t) = e. Qual a taxa de variagao de temperatura, em relagao ao tempo, no caminho da formiga apds 3 segundos? 21 201. Qual é 0 maior valor que a derivada direcional de f(x,y, z) = xyz pode ter no ponto (1,1,1)? Em que diregao isso ocorre? >>> 2014 A 202. Considere a funcao f dada por y-1 f(@,y) =f 2 (i) Represente formalmente e graficamente o dominio da fungao f(z, y). (ii) Esboce algumas curvas de nivel da fungao 203. Mostre que o seguinte limite nao existe . 3xLY lim = —— (x,y) (0,0) w+ 2y 204. Uma caixa cilindrica é feita com um material de espessura 0, 03m. As medidas internas sao: altura 2m e raio da base 1m. A caixa é sem tampa. Calcule um valor aproximado para o volume do material utilizado na caixa. 205. Suponha que z = 2’y. Se u= (a,b) 6 um vetor unitdrio, escreva a formula para a derivada direcional em (1,—1) na diregao do vetor u= (a,b) . Em que direcao devemos seguir a fim de que a taxa de variacao de z seja 2 ? 206. Considere a fungao f dada por —_ | Y (i) Represente formalmente e graficamente o dominio da fungao f(z, y). (ii) Esboce algumas curvas de nivel da fungao 207. Mostre que o seguinte limite nao existe 3 lim Bye _ (x,y) (0,0) 5a + 3y? U2 208. A energia consumida num resistor elétrico é dada por P = PR watts. Se U = 120 volts e R= 12 ohms, calcular um valor aproximado para a variagao da energia quando U decresce de 0,001 volts e R aumenta de 0,002 ohms. 209. Suponha que z = x7 + xy + y?. (a) Qual a taxa de variagao de z em (0,0) quando nos movemos da origem a (2,1)?. (b) Em que diregao devemos nos mover para que a taxa de variacao de z seja maxima? Qual é o valor dessa taxa? (c) Quais as duas diregdes em que a derivada direcional é zero? 22 210. A temperatura de um ponto qualquer de uma chapa de a¸co ´e dada por T(x, y) = x2 + 4y2, (T em celsius, x e y em centimetros). (i) Determine e represente no plano xy a equa¸c˜ao da isoterma que passa pelo ponto P(2, 1). (ii) Determine as taxas de varia¸c˜ao na dire¸c˜ao dos eixos coordenados x e y, no ponto P(2, 1); (iii) Determine a dire¸c˜ao segundo a qual f decresce mais rapidamente a partir do ponto P(2, 1) e a raz˜ao de varia¸c˜ao de f nessa dire¸c˜ao. 211. Seja S uma superficie do espa¸co R3, definida pela equa¸c˜ao: xyz + x3 + y3 + z3 = 3z (i) Determinar um vetor normal `a superficie S no ponto P(1, −1, 2) ∈ S. (ii) Achar a equa¸c˜ao do plano tangente e da reta normal `a superficie S no ponto P(1, −1, 2) ∈ S. (iii) Determine o valor de z aproximadamente quando x = 0, 99 e y = −1, 01. 212. As dimens˜oes de um s´olido com forma de uma paralelep´ıpedo, num determinado instante t0, s˜ao: c(t0) = 13cm (comprimento), l(t0) = 9cm (largura) e h(t0) = 5cm (altura). Se c e h crescerem `a raz˜ao de 2cm/s e l decrescer `a 4cm/s. Determine as taxas de varia¸c˜ao do volume e da ´area total no instante t0. 213. Calcule os seguintes limites , caso existam. se n˜ao existirem, justifique: (i) lim (x,y)−→(0,0) xy y − x2 (ii) lim (x,y)−→(0,0) x2sen 2y 2x2 + y2 214. sabendo que a fun¸c˜ao T(x, y) = 30 − x2 − y2 4 representa a temperatura nos pontos da regi˜ao do plano delimitada pela elipse x2 + y2 4 = 1, Analisando as curvas de n´ıvel responda: (i) Em que pontos a temperatura ´e a mais alta poss´ıvel? (ii) Se uma part´ıcula afasta-se da origem, deslocando-se sobre o eixo positivo dos x, sofrer´a aumento ou disminui¸c˜ao de temperatura? (iii) Em que pontos a temperatura ´e a mais baixa poss´ıvel? 215. Seja S uma superficie do espa¸co R3, definida pela equa¸c˜ao implicita: yez + xz − x2 − y2 = 0 (i) Determine as equa¸c˜oes do plano tangente e da reta normal `a superficie S no ponto (0, 1, 0). (ii) Determine o valor de z aproximadamente quando x = 0, 01 e y = 1, 01. 23 216. Um lado de um triangulo esté aumentando em uma taxa de 3cm/s e um segundo lado esta decrescendo em uma taxa de 2cm/s. Se a area do triangulo permanece constante, a que taxa varia o angulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20cm de comprimento, o segundo lado tem 30cm de comprimento e o angulo é 7/6.? 217. Calcule os seguintes limites , caso existam. Se nao existirem, justifique: (i) im Seay) (z,y)—+(0,0) Sen @ sen y 3 (i) lim (x,y) —+(0,0) %* + y 218. Dada a funcgao f(x,y) = x? —y (i) Determine o seu dominio e o represente no plano xy; (ii) Esboce as curvas de nivel f(x,y) = k com os valores k = 0,k = 1,k = 2 (iii) Esboce a curva de nivel f(x,y) = k que pasa pelo ponto (2, 1). 219. Determine os limites , caso existam, 3 (i) lim (w,y)—>(0,0) 7“ — y 3,,3 __ 1 (ji) lim ~* = (ey) (1,1) ey—1 (iii) li ry — 2x4 -—y+2 iii oo (w,y)—>(1,2) w? + y? — 2a —4y +5 220. Para cada funcgao abaixo, encontre a equacao do plano tangente e da reta normal no ponto indicado: (i) f(x,y) = ay — 3, em P(2, 1) (ii) f(x,y, z) = vy? + yz? — 76, em P(1, 2,3) 221. Determine os pontos da hiperboldide x? — 2y? — 4z? = 16 em que o plano tangente é paralelo ao plano 4% — 2y + 4z = 5 222. Regra da cadeia d (i) seja f(x,y) = xsen (xy), x(t) = t° e y(t) =t~? encontre a (ii) seja f(x,y) =aln(ry), z(u,v) =ue’ e y(u,v) = u?v3, encontre f, e fy. —_-—— 2018 A irr 223. Dado a funcao z = \/y — 2?, (1.1) Represente graficamente o dominio da fungao. (1.2) Determine as equacoes da reta normal e do plano tangente a superficie z= Vy -— 2’, no ponto (1, 2,1). (1.3) Determine a Linearizacao da funcgao z = ,/y — x?, no ponto (1,5). (1.4) Use a linerizacao definida na questo (1.3) pra determinar o valor aproximado de M = \/4,98 — (1, 02). 24 224. O comprimento x de um lado de um triangulo esta aumentando a uma taxa de 6 cm/s, o comprimento y de um outro lado est diminuindo a uma taxa de 4 cm/s e 0 angulo 0 entre eles esté aumentando a uma taxa de 0,05 radiano/s. Quao rapidamente esta variando a area do triangulo quando x = 80 cm, y=100cm e 6=77/6? 225. Dado a funcao z = \/x — y?, (1.1) Represente graficamente o dominio da fungao. (1.2) Determine as equagoes da reta normal e do plano tangente a superficie z= /x—y?, no ponto (2,1, 1). (1.3) Determine a Linearizacao da fungao z = ,/x — y?, no ponto (5, 1). (1.4) Use a linerizagao definida na questao (1.3) pra determinar o valor aproximado de M = ,\/4,98 — (0,99)?. 226. Um cone, num certo instante tem raio de 0,5m e altura de 1m. Seu raio aumenta com velocidade de 0, 1m/s e sua altura com velocidade de 0,05m/s. Calcule a velocidade com que seu volume aumenta. 227. Seja f(x,y) uma fungao diferenciavel no ponto P,(1,2). Se as derivadas direcionais de f(x,y) no ponto P,(1,2) na direc&o do vetor u= (1,1) 6 2V2 e na direcao do vetor v= (0, —2) 6 —3. Qual é a derivada direcional de f(x,y) no ponto P,(1, 2) na direcao w= (—1,—2)? Justifique a sua resposta 228. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. z=e tay’, vr=w'* tw, yo=utve” Oz Oz Oz Determinar os valores de —, —, — quandou=2, v=1, w=0. Ou’ Ov’ Ow 229. Determine os pontos da hiperboldide x? — 2y? — 4z? = 16 em que o plano tangente é paralelo ao plano 4% — 2y + 4z = 5. 230. Considere o campo escalar definido em R? por f(x,y) = x sen (ry) (i) Determine o gradiente de f no ponto P(1, 5) e represente-o graficamente. (ii) Calcule D~ f (1, $), onde u= (2,1) (iii) Qual é 0 vetor w=? onde Df (1,4) =0 —___—___—~ 2016 ——_________—_- 231. O raio de um cilindro circular esta decrescendo a taxa de 1, 2cm/s enquanto sua altura esta crescendo a taxa de 3cm/s. A que taxa o volume e a area superficial do cilindro esta variando quando o raio é 80cm e a altura 150cm? 232. Determine os pontos da hiperboldide x? — 2y? — 4z? = 16 em que o plano tangente é paralelo ao plano 4% — 2y + 4z = 5. 25 233. Considere o campo escalar definido em R2 por f(x, y) = x2 y + exy sen y (i) Determine o gradiente de f no ponto P(1, 0) e represente-o graficamente. (ii) Determine as dire¸c˜oes nas quais as fun¸c˜oes crescem e decrescem mais rapidamente em P(1, 0) (ii) Calcule D →uf(1, 0), onde →u= (2, 1) (iii) Qual ´e o vetor →u=? onde D →uf(1, π 2) = 0 234. A derivada de f(x, y, z) em um ponto P ´e maior na dire¸c˜ao de →u= (1, 1, −1). Nessa dire¸c˜ao , o valor da derivada ´e 2 √ 3. (i) Qual ´e o valor do ∇f(P) ? Justifique sua resposta. (ii) Qual ´e o valor da derivada de f em P na dire¸c˜ao de i + j ? 235. Em cerca de quanto variar´a f(x, y, z) = x + x cos z − y sen z + y quando o ponto P(x, y, z) se deslocar de P0(2, −1, 0) uma distˆancia ds = 0, 2 unidades em dire¸c˜ao ao ponto P1(0, 1, 2). ————————————- 2017 ————————————- 236. Determine e esboce os dominios das seguintes fun¸c˜oes: (i) f(x, y) = √xy (ii) f(x, y) = √y − x ln(x + y) 237. Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele n˜ao existe (i) lim (x,y)−→(0,0) 3xy 4x4 + y4 (ii) lim (x,y)−→(1,2) xy − 2x − y + 2 x2 + y2 − 2x − 4y + 5 238. Regra da cadeia (i) Calcule dz dt , onde z = xy + x2, com x = et cos t e y = e−t. (ii) Um circuito el´etrico consiste de um resistor R e de uma for¸ca eletromotriz V . Num dado instante, V = 80volts e aumenta a uma taxa de 5volts/min, enquanto que R = 40ohms e decresce a uma taxa de 2ohms/min. Da Lei de Ohm, sabe-se que a corrente ´e dada por I = V/R. Calcule dI dt . 239. Determine as equa¸c˜oes do plano tangente e reta normal `as superficies abaixo, no ponto especificado. (i) xyz − 4xz3 + y3 = 10, P(−1, 2, 1). (ii) z = 2x + y x − 2y, P(3, 1, 7) 26 240. Seja S uma superficie do espaco R?, definida pela equacao implicita: xyz — 4xz° + y? = 10 (i) Determine as equacoes do plano tangente e da reta normal a superficie S no ponto (—1, 2, 1). (ii) Determine o valor de z aproximadamente quando xz = —1,02 e y = 1,98. 241. Um lado de um triangulo esté aumentando em uma taxa de 3cm/s e um segundo lado esté decrescendo em uma taxa de 2cm/s. Se a drea do triangulo permanece constante, a que taxa varia o angulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20cm de comprimento, o segundo lado tem 30cm de comprimento e o angulo é 7/6.? 242. Determine as diregoes em que a derivada direcional de f(x,y) = y e *¥ no ponto (0, 2) tem valor 1. 243. Determine e esboce os dominios das seguinte fungdes (i) f(t,y) = Vr-¥ 1 ii) f(z,y) = —=_—__ (ii) f(x,y) D3 bp (iii) f(z,y) = Jy —24+44+ Jl -y (iv) f(x,y) = Vy— 2 In(x+y) _ vy (v) f(x,y) a In(x? + y? _ 4) 244. Encontre algumas curvas de nivel C;, das fungoes abaixo e tente visualizar as superficies correspondentes, a partir das mesmas (i) f(z, y) =2—y? para k = —1,0,1 (ii) f(x,y) = (@ — 1)(y — 2) para k = —1,0,1 245. Considere a funcao f : R? —> R dada por f(x,y) = xy. Verifique se f atinge um valor maximo na reta x = 20—t, y=t, t € R.(Note que a restricdo de f a reta é uma fungao diferencidvel de uma varidvel) 246. Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele nao existe 2 —2 (i) lim >= (iv) lim =" _ (x,y) — (0,0) 3 + ry (x,y) —+(0,0) 3a? + y 1 2 (i) dim #2’ = (v) lim ~~ <= (x,y) —>(4,1) 2 — cos x (x,y) —+(0,0) w* + y 4) A (ii) lm 5 4-= (x,y) —+(0,0) 74 + y 247. Derivadas parciais: Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguinte funcgoes (i) f(t, y) = 8ay — 2x°y" (iv) f(t,y) = Ver +y? 27 (ii) g(x,y) = xe*Y (v) f(a,y) = 2 (iii) h(x, y) = yln(y2”) 248. Plano tangente (i) Determine a equacgao do plano tangente a superficie z = ,/4 — x? — y? no ponto (1,1, /2). Rpta: (ii) Determine os pontos da superficie f(x,y) = 2? — 12xy + 8y? onde o plano tangente é paralelo ao plano xy. Rpta: 28