Slide Mudança de Variaveis em Integrais Duplas-2022 1

C´alculo diferencial e integral de varias vari´aveis Juan Carlos Vila Bravo Universidade Federal do Paran´a UFPR CM202 Mudan¸ca de Vari´aveis em Integrais Duplas Parte I Mudan¸ca de Vari´aveis em Integrais Duplas UFPR CM202 Mudan¸ca de Vari´aveis em Integrais Duplas Para mudar das coordenadas (x, y) para (u, v), usando a fun¸c˜ao bijectiva UFPR CM202 Mudan¸ca de Vari´aveis em Integrais Duplas Teorema Considere T uma aplica¸c˜ao definida por: T(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) onde x, y s˜ao fun¸c˜oes de classe C 1 num subconjunto aberto U ⊂ R2. Seja S um subconjunto limitado e fechado contido em U tal que: T ´e injetora em S. Suponhamos que o jacobiano de T, JT(u, v) seja diferente de 0 em S, isto ´e, J = JT(u, v) = ∂(x, y) ∂(u, v) = Det   ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v   2×2 ̸= 0 UFPR CM202 » Oxy)=T(uv) ma f * @ Em 2=tb«y) 0 u 0 x Se f é integravel em 7T(S) entdo Jf Fen) a ay = ff ecu, v).yluv)) |) ae av R S Mudan¸ca de Vari´aveis em Integrais Duplas Observa¸c˜ao Pelo teorema da fun¸c˜ao inversa, o jacobiano de T −1 ´e dado por JT −1(x, y) = ∂(u, v) ∂(x, y) = Det   ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y   2×2 = 1 JT(u, v) Observa¸c˜ao O resultado do teorema acima ainda ´e v´alida se ∂(x,y) ∂(u,v) = 0 ou T deixa de ser injetora em subconjuntos de S de ´area nula. UFPR CM202 Mudan¸ca de Vari´aveis em Integrais Duplas CASOS ESPECIAIS DE MUDANC¸A DE VARI´AVEIS (i) Mudan¸ca linear. onde a, b, c e d s˜ao constantes reais. J = ∂(x, y) ∂(u, v) = Det   ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v   2×2 = ad − bc UFPR CM202 Se see #0 ef continua em R, entao: // f(x,y) dx dy = |ad — bei [| f(au + bv,cu+ dv) du dv. R S Exemplo: Calcule ey * [= || Gao R onde R é a regido triangular limitada pela reta x + y = 2 € os eixos coordenados. Mudan¸ca de Vari´aveis em Integrais Duplas UFPR CM202 p= [fe ady = [fe aa =) [awa Pf PON JP aaa few tu w R S i=5/ ee" av => | e’[ev—e"av 2 J uv 2 Jy 1 [? 1 eo 2V)v=2 pot fo ema So 5 | ¢ ev = 3 IY +] 6 1 e-4 1 1=5|(2 fy _ (0 5)| s[e+)- +f) ;_3te" 4 Mudan¸ca de Vari´aveis em Integrais Duplas (ii) Mudan¸ca em coordenadas polares. A rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas (x, y) e polares (r, θ), s˜ao:          x = r cos θ y = r sin θ x2 + y 2 = r 2 tan θ = y x UFPR CM202 Mudan¸ca de Vari´aveis em Integrais Duplas onde J = ∂(x, y) ∂(r, θ) = Det   ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂y ∂r ∂y ∂θ   2×2 = r UFPR CM202 O(x,y) . x. Se Blr0) #0 ef continua em R, entao: // f(x,y) dx dy = // f(rcos@,rsin@)r dr dé R S (iii) Mudanga em coordenadas polares para regiées elipticas Y; ey - (xy)=TIr,0) l 2, | T s f x*=€arcos0 y= brseno a Xx : z j= abr A relacdo entre coordenadas cartesianas (x, y) e polares (r, 0) sdo: X=arcosé y=brsiné Neste caso temos J= x Y) = Det =abr O(r, 0) ay dy Or 00 2x2 Se Sen #0 ef continua em R, entao: / f(x,y) dx dy = // f(arcos6, brsin@)a br dr dd R S Mudanga de Varidveis em Integrais Duplas Exercicios @ Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas e /[ (x? + y) dxdy x2ty2<1 @ [fern dxdy, sendo D: x*+y? < 2y. D @ Use a mudanga de coordenadas x =u—v, y=2u—vecalculea integral dupla // xy dxdy D sobre a regiao D do plano xy delimitadas pelas retas y = 2x, y=2x-2, y=xey=x-4l.