Lista 4 Calc2-2023 1

Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática Prof. Juan Carlos Vila Bravo 4ta Lista de exercícios de cálculo II Integrais Duplas: 1. Calcule \( \int \int_R f(x,y)dxdy, \) se: (a) \( f(x,y) = x^2y^3 e R = [0,1] \times [0,1] \) (b) \( f(x,y) = x^2 + 4y e R = [0,2] \times [0,3] \) (c) \( f(x,y) = \frac{x^2}{y^2 + 1} e R = [-1,1] \times [-1,1] \) (d) \( f(x,y) = e^{xy}(x^2 + y^2) e R = [-1,3] \times [-2,1] \) 2. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função \( z = f(x,y) \) e inferiormente pelo retângulo dado: (a) \( f(x,y) = 2x + 3y + 6 e R = [-1,2] \times [2,3] \) (b) \( f(x,y) = y^2 - x^2 e R = [-1,1] \times [1,3] \) (c) \( f(x,y) = \sqrt{9 - y^2} e R = [0,4] \times [0,2] \) (d) \( f(x,y) = \cos(2x) + \sen(2y) e R = [0,\pi/2] \times [0,\pi/2] \) (e) \( f(x,y) = x\sen y e R = [0,\pi] \times [0,\pi] \) 3. Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: (a) \( \int_0^1 \left( \int_x^1 \frac{\sen y}{y} dy \right) dx \) (b) \( \int_0^1 \left( \int_y^1 \sen (x^2)dx \right) dy \) (c) \( \int_0^2 \left( \int_x^2 \sqrt{1+y^3} dy \right) dx \) (d) \( \int_0^2 \left( \int_x^2 e^{-y^2} dy \right) dx \) (e) \( \int_0^2 \left( \int_{y^2}^4 \sqrt{\sen x} \: dx \right) dy \) (f) \( \int_0^3 \left( \int_{-9}^y \cos(x^2)dx \right) dy \) 4. Calcule as seguintes integrais sabendo que \( R \) é limitada pelas curvas dadas (a) \( \int_\int_R ydxdy \) \( y = 2x^2 - 2,\; y = x^2 + x \) (b) \( \int_\int_R xydxdy \) \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \; x = 0, \; y = 0 \; com \; x \geq 0, y \geq 0 \) (c) \( \int_\int_R xdxdy \) \( x = y^2, \; x = 1 \) (d) \( \int_\int_R x\cos(y)dxdy \) \( y = 0, \; y = x^2 \; e \; x = 1 \) (e) \( \int_\int_R (y^2-x)dxdy \) \( y^2 = x, \; x = 3 - 2y^2 \) 5. Determine o volume dos seguintes sólidos: (a) Limitado superiormente por \( z = x^2 + y^2 \) e inferiormente pela região limitada por \( y = x^2 \; e \; x = y^2. \) (b) Limitado superiormente por \( z = 3x^2 + y^2 \) e inferiormente pela região limitada por \( y = x \; e \; x = y^2 - y. \) (c) Limitado por \( y^2 + z^2 = 4, \; x = 2y, \; x = 0, \; z = 0, \; no \; primeiro \; octante. \) (d) Limitado por \( z = x^2 + y^2 + 4, \; x = 0, \; y = 0, \; z = 0 \; e \; x + y = 1. \) (e) Limitado por \( x^2 + y^2 = 1, \; y = z, \; x = 0 \; e \; z = 0 \; no \; primeiro \; octante. \) 6. Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas (a) \( y = x^{3/2}, \; y = x \) (b) \( 2x - 3y = 0, \; x + y = 5, \; y = 0 \) (b) \( xy = 9, \; y = x, \; y = 0, \; x = 9 \) (c) \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) (d) \( y = 4 - x^2, \; y = x^2 - 14 \) (e) \( \sqrt{x + \sqrt{y}} = 2, \; x = 0, \; y = 0 \) 7. Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas. (a) \( z = xy, \; x^2 + y^2 = 1 \; (primeiro \; octante) \) (b) \( z = x^2 + y^2 + 1, \; z = 0, \; x^2 + y^2 = 4. \) (c) \( z = \sqrt{x^2 + y^2}, \; z = 0, \; x^2 + y^2 = 25 \) (d) \( z = \sqrt{x^2 + y^2}, \; z = 0, \; x^2 + y^2 \geq 4, \; x^2 + y^2 \leq 16 \) (e) Encontre a de modo que o volume dentro do hemisfério \( z = \sqrt{16 - x^2 - y^2} \) e fora do cilindro \( x^2 + y^2 = a^2 \) seja a metade do volume do hemisfério. 8. Determine o centro de massa da lâmina plana \( R \), no plano xy e densidade \( f(x,y). \) (a) \( R \) é limitado por \( x^2 + y^2 = 1 \) no primeiro quadrante e \( f(x,y) = xy. \) (b) \( R \) é limitado por \( y = x \; e \; y = x^2 \; e \; f(x,y) = x^2 + y^2. \) Integrais Triplas: 9. Calcule as seguintes integrais: (a) \( \int_0^3 \int_0^2 \int_0^1 (x^2 + y^2 + z^2) dx \: dy \: dz \) (b) \( \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_0^1 x^2 y^2 z^2 dx \: dy \: dz \) (c) \( \int_0^1 \int_0^x \int_0^y x \: dz \: dy \: dx \) (d) \( \int_0^4 \int_0^x \int_0^{1-x} x^2 \sen (y) \: dz \: dx \: dy \) (e) \( \int_0^{\pi/2} \int_0^y \int_0^{1/y} \sen (y) dz \: dx \: dy \) (f) \( \int_{-2}^1 \int_0^y \int_0^x x^2 z^4 dx \: dz \: dy \) 10. Considere o sólido limitado por \( x + y + z = 3, \; x + y - z = 3 \; e \; os \; planos \; coordenados. \) Calcule o volume do sólido, fazendo: (a) \( \int \left( \int \left( \int \: dz \right) dy \right) dx \) (b) \( \int \left( \int \left( \int \: dx \right) dy \right) dz \) (c) \( \int \left( \int \left( \int \: dy \right) dx \right) dz \) (d) \( \int \left( \int \left( \int \: dx \right) dz \right) dy \) 11. Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais: (a) \( \int_{-2}^2 \int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \int_{x^2+y^2}^4 x \: dz \: dy \: dx \) (b) \( \int_0^2 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \int_0^{\sqrt{16-x^2-y^2}} \sqrt{x^2 + y^2} \: dz \: dy \: dx \) (c) \( \int_{-1}^1 \int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-2x^2-y^2}} \int_1^{1+\sqrt{1-x^2-y^2}} x \: dz \: dy \: dx \) (d) \( \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \: dz \: dy \: dx \) 12. Calcule as seguintes integrais sabendo que \( S \) é um sólido limitado pelas superfícies dadas (a) \( \int \int \int_S x \: dx \: dy \: dz, \; onde \; S \; é \; o \; sólido \; limitado \; pelos \; planos \; x = 0, \; y = 0, \; z = 2 \; e \; pelos \; parabolóide \; z = x^2 + y^2. \) (b) \( \int \int \int_S x \: dx \: dy \: dz, \; onde \; S \; é \; o \; sólido \; limitado \; pelo \; parabolóide \; z = 4x^2 + 4y^2 \; e \; pelo \; plano \; x = 4. \) (c) \( \int \int \int_S 6xy \: dx \: dy \: dz, \; onde \; S \; está \; acima \; da \; região \; plana \; limitada \; pelas \; curvas \; y = \sqrt{x}, \; y = 1, \; x = 1 \; e \; abaixo \; do \; plano \; z = 1 + x + y. \) (d) \int\int\int_{S} xy \ dx \ dy \ dz, \ \text{onde} \ S \ \text{é o tetraedro de vértices} \ (0, 0, 0), \ (1, 0, 0), \ (0, 2, 0) \ e \ (0, 0, 3). 13. \ \text{Determine o volume dos sólidos} \ S \ \text{descritos abaixo:} (a) \ S \ \text{é limitado pelo cone} \ z = \sqrt{x^2 + y^2} \ \text{e o parabolóide} \ z = x^2 + y^2. (b) \ S \ \text{é limitado pelo cilindro} \ x = y^2 \ \text{e pelos planos} \ z = 0 \ \text{e} \ x + z = 1. (c) \ S \ \text{é limitado pelas superfícies} \ z = 8 - x^2 - y^2 \ \text{e} \ z = x^2 + 3y^2. (d) \ S \ \text{é limitado pelo cilindro} \ y = \cos(x) \ \text{e pelos planos} \ z = y, \ x = 0, \ x = \pi / 2 \ e \ z = 0. (e) \ S \ \text{é limitado pelas superfícies} \ z = 4 - x^2 - y^2 \ \text{e} \ z = y, \ \text{esta situado no interior} \ do \ cilindro \ x^2 + y^2 = 1 \ \text{e} \ z \geq 0. (f) \ S \ \text{é limitado pelo cone} \ z = \sqrt{x^2 + y^2}, \ \text{pelo cilindro} \ z^2 + y^2 - \sqrt{x^2 + y^2} = x \ \text{e} \ \text{pelo plano} \ z = 0. (g) \ S = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3; \ z \geq 1, \ x + y + z \leq 7, \ z \geq y^2 \} (h) \ S = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3; \ x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \ \text{e} \ z^2 \leq x^2 + y^2 \} (i) \ S = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3; \ x^2 + y^2 + z^2 \leq 4 \ \text{e} \ x^2 + y^2 \leq 2y \} (j) \ S = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3; \ x^2 + y^2 + z^2 \leq 4, \ x^2 + y^2 + (z - \sqrt{2})^2 \leq 2 \ \text{e} \ z \leq \sqrt{3(x^2 + y^2)} \}. 14. \ \text{Calcule as seguintes integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente} (a) \int\int\int_{S} \sqrt{x^2 + y^2} \ dx \ dy \ dz, \ \text{onde} \ S \ \text{é a região contida dentro do cilindro} \ x^2 + y^2 = 16 \ \text{e entre os planos} \ z = 4 \ \text{e} \ z = 5. (b) \int\int\int_{S} z \ dx \ dy \ dz, \ \text{onde} \ S = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3; \ x^2 + y^2 + z^2 \leq 1, \ z \geq 0, \ x^2 + y^2 \geq 1/4 \} (c) \int\int\int_{S} \frac{1}{z^2} \ dx \ dy \ dz, \ \text{onde} \ S \ \text{é o sólido limitado pelas superfícies} \ z = \sqrt{x^2 + y^2}, \ z = \sqrt{1 - x^2 - y^2} \ \text{e} \ z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}. (d) \int\int\int_{S} xyz \ dx \ dy \ dz, \ \text{onde} \ S = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3; \ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1, \ x \geq 0, \ y \geq 0, \ z \geq 0 \} \overline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad} \ \ \text{---2005} 15. \ \text{Calcule as seguintes integrais:} \begin{array}{ll} a) \int_{0}^{1} \int_{0}^{y^2} 3y^3 e^{xy} \ dx dy, & b) \int_{0}^{1} \int_{y}^{1} 2xe^{xy} \ dx dy \end{array} \overline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad} 4 34. Encontre o volume do sólido cortado do primeiro octante pela superfície z = 4 - x^2 - y. 35. Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral I = \int_0^3 \int_{\sqrt{\frac{x}{3}}}^1 e^{y^3} \ dy \, dx 36. Calcule a integral I = \int \int_D (x + y)^2 \sen^2(x - y) \, dx \, dy, onde D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2; |x| + |y| < \pi \} 37. Encontre o volume do elipsóide \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 38. Determine o volume do sólido W, onde W é limitado pelas superfícies z = x^2 + y^2, x^2 + y^2 = 4,\ x^2 + y^2 = 9 e o plano z = 10. 39. Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral I = \int_0^2 \int_0^{4-x^2} \frac{x \cdot e^{2y}}{4-y} \, dy \, dx 40. Calcule o volume do solido, no primeiro octante, delimitado pelos planos x = 0, y = 0,\ z = 0 e pelas superfícies cilíndricas z = 1 - x^2 e x = 1 - y^2. 41. Calcule \int \int_{\mathcal{R}} \left(2x^2 - xy - y^2\right) dx dy, onde \mathcal{R} é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y + 2x = 4, y + 2x = 7, x - y = 2 e x - y = -1. 42. Esboce a região de integração e troque a ordem de integração das seguintes integrais. a) I = \int_0^1 \int_{x^3}^{\sqrt{x}} f(x,y) \, dy \, dx b) J = \int_0^1 \int_{\sqrt{1-y}}^{1-y} f(x,y) \, dx \, dy 43. Calcule o volume do sólido, no primeiro octante, delimitado pelas superfícies cilíndricas z = 1 - y^2; x = y^2 + 1 e x = - y^2 + 9. 44. Calcule \int \int_{\mathcal{R}} \left(x^2 - y^2\right) dx dy, onde \mathcal{R} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2; |x| + |y| < 1 \} 45. Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral I = \int_0^{\frac{1}{16}} \int_{y^{\frac{1}{4}}}^{\frac{1}{2}} \cos \left(16 \pi x^5 \right) dx \, dy 46. Encontre o volume do sólido cuja base é a região no plano xy que é limitada pela parábola y = 4 - x^2 e pela reta y = 3x enquanto o topo do sólido é limitado pelo plano z = x + 4. 47. Encontre o centroide da região ”triangular” limitada pelas retas x = 2, y = 2 e pela hipérbole xy = 20 no plano xy. 48. Seja \mathcal{D} a região limitada pelo parabolóide z = x^2 + y^2 e pelo plano z = 2y. Escreva as integrais triplas iteradas nas ordens dzdxdy e dzdydx que dão o volume de \mathcal{D}. Não calcule as integrais. 49. Encontre o volume da região cortada do cilindro elíptico sólido x^2 + 4y^2 < 4 pelo plano xy e pelo plano z = x + 2. 50. Encontre o volume do sólido dentro do cone z = \sqrt{x^2 + y^2} entre os planos z = 1 e z = 2. 51. Encontre o centro de massa de uma lâmina fina limitada pela parábola x = y - y^2 e pela reta x + y = 0 se a densidade for \delta(x,y) = x + y. 52. Calcule a seguinte integral tripla: I = \int \int \int_W xy^2 z^3 dx dy dz onde W é a região no primeiro octante limitada pela superfície z = xy e os planos y = x, x = 1 e z = 0. 53. Escreva a integral tripla I = \int \int \int_R (3 + 2y) \, dV , onde \mathcal{R} é uma região no primeiro octante limitada pelo cone z = \sqrt{x^2 + y^2}, pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 e pelos planos coordenados. a) Em coordenadas cartesianas, b) Em coordenadas cilíndricas, c) Em coordenadas esféricas, d) Calcule uma das integrais 54. Calcule a seguinte integral tripla, usando uma mudança de variáveis conveniente J = \int \int \int_S xyz \, dx dy dz onde S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3; \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} < 1,\ x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\} 55. Regiões Transformadas para Duas Variáveis (i) Resolva o sistema u = 2x - 3y,\quad v = -x + y para x e y em termos de u e v. Depois encontre o valor do jacobiano \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. (ii) Encontre a imagem pela transformação u = 2x - 3y, v = -x + y do paralelo- gramo \mathcal{R} no plano xy com fronteira x = -3, x = 0, y = x e y = x + 1. Esboce no plano uv a região transformada. 56. Integrais triplas iii) Esboce e calcule, por integração tripla, o volume do sólido interseção das esferas: x^2 + y^2 + z^2 < 1,\quad e\quad x^2 + y^2 + z^2 < 2z ——————————————– 2008 57. Esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. Depois calcule a integral I = \int_0^1 \int_{2y}^2 4\cos(x^2) dx dy 58. Encontre a área da região ‘triangular’ no plano xy limitada à direita pela parábola y = x^2, à esquerda pela reta x + y = 2 e acima pela reta y = 4 59. Calcular o volume do sólido compreendido entre os parabolóides z = 3x^2 + 8y^2 e z = 9 - x^2 - y^2. 60. Encontre o volume da região no primeiro octante que está entre os cilindros x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4 e que é limitada abaixo pelo plano xy e acima pela superfície z = xy. 61. Escreva uma integral tripla para calcular o volume do sólido cortado do cilindro espesso x^2 + y^2 \leq 4 pelos cones z = \pm \sqrt{x^2 + y^2} em: (a) coordenadas cartesianas, (b) coordenadas cilíndricas. (c) Coordenadas esféricas. (d) Encontre o volume calculando uma das integrais triplas. 62. Esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. Depois calcule a integral I = \int_0^2 \int_x^2 x \sqrt{y^3 - 1} dy dx 63. Encontre a área da região limitada pelos gráficos das seguintes equações dadas: xy = 9, y = x, y = 0, x = 9 64. Encontre o volume da região no primeiro octante que está entre os cilindros x^2+y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4 e que é limitada abaixo pelo plano xy e acima pela superfície z = xy. 65. Encontre o volume do sólido S limitado superiormente pelo parabolóide z = 1 - x^2 - y^2 e inferiormente pelo plano z = 1 - y. 66. Escreva uma integral tripla para calcular o volume do sólido cortado da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 pelo cilindro x^2 + y^2 = 2y em: a) coordenadas cartesianas. b) coordenadas cilíndricas. c) Encontre o volume calculando uma das integrais triplas. 67. uma caixa cilíndrica de base circular tem volume de 27 π m^3. Se o material usado nos lados custa 2 reais o m^2 e o material usado na base inferior e superior custa 2 e 4 reais o m^2 respectivamente. Quais devem ser as dimensões do cilindro mais barato. 68. Esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. I = ∫_0^4 ∫_(√x-4)/x √(x,y) dx dy 69. Esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. Depois calcule a integral I = ∫_0^2 ∫_x^2 2y^2sen (xy) dydx 70. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro parabólico z = 4 - y^2. 71. Encontre o volume do sólido limitada acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2 e abaixo pelo parabolóide z = x^2 + y^2. 72. Encontre o volume do sólido dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e fora do cone z = √(x^2 + y^2). 73. Esboce a região de integração e calcule a integral: I = ∫_R ∫ (3 - 3x)dxdy onde R é uma região limitada pelas retas: x + y = 1, -x - y = 1, -x + y = 1, x - y = 1 74. Esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. I = ∫_1^2 ∫_(√2x-x^2)/(2-x) f(x,y) dy dx 75. Calcule a área do subconjunto R ⊂ R² abaixo, usando integrais duplas: R = {(x,y) ∈ R²; xy ≤ 2, x ≤ y ≤ x + 1, x ≥ 0} 76. Calcule a seguinte integral dupla, usando mudança de variáveis apropriadas I = ∫_R ∫ (e^(x)(y-x)/y+x) dx dy onde R é um triângulo de vértices (0, 0), (0, 2), (2, 0). 77. Calcule o volume do sólido, no primeiro octante, limitado pelas superfícies z = 1 - y², x = y² + 1 e x = -y² + 9 78. Determine a área da região D do plano xy definida por: D = {(x, y) ∈ R²; x² + (y - 2)² ≤ 4 e x² + y² ≥ 4} 79. Determine a área da região no primeiro quadrante do plano xy, limitada pelas curvas y = x², y = x² + 1, x + y = 1 e x + y = 2. 80. Determine o volume do solido limitados pelas superficies: z = 0, x² + y² = 2y e z² = x² + y² 81. Escreva uma integral tripla para calcular o volume do solido limitado superiormente pela esfera x² + y² + z² = 16 e os cones z = √3(x² + y²) e z = x² + y² / 3. a) coordenadas cartesianas. b) coordenadas cilíndricas. c) Coordenadas esfericas. (d) Encontre o volume calculando uma das integrais triplas. 82. Invertendo a ordem de integração, calcule a seguinte integral: ∫_0^2 (∫_x^2 2y²sen (xy) dy) dx 83. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro parabólico z = 4 - y². 84. Considere a região V no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano y = 1 - x e pela superfície z = cos(πx/2), com 0 ≤ x ≤ 1. Escreva expressões para o volume de V na forma: a) ∫ ... (∫ ... (∫ ... ...dz) dy) dx b) ∫ ... (∫ ... (∫ ... ...dx) dy) dz 85. Use uma transformação de coordenadas apropriada para calcular a seguinte integral: I = ∫_R ∫ (2x^2 - xy - y^2) dxdy para a região R no primeiro quadrante limitada pelas retas y = -2x + 4, y = -2x + 7, y = x - 2 e y = x + 1. 86. Encontre o volume da região limitada abaixo pelo paraboloide z = x^2 + y^2, lateralmente pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 e acima pelo paraboloide z = x^2 + y^2 + 1. 87. Dado a seguinte integral: I = ∫_0^2 ∫_0^(4-x^2) xe^2y/(4-y) dydx i) Esboce a região de integração. ii) Inverta a ordem de integração. iii) Calcule a integral. 88. Encontre o volume do sólido que é limitado acima pelo cilindro z = 4 - x^2, dos lados pelo cilindro x^2 + y^2 = 4 e abaixo pelo plano xy. Faça um esboço do sólido. 89. Considere a região : S = {(x, y, z) ∈ R^3; x + y + 2z ≤ 1, x + y - 2z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} i) Esboce a região S. ii) É possível determinar o volume da região S. ? Se sua resposta é afirmativa, calcule-o. 90. Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 1 - y^2, x + z = 2 e x = 2 para z ≥ 0. 91. Calcule a seguinte integral dupla I = ∫_D ∫ (x^2 + y^2) dx dy onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles x^2 - y^2 = 1, x^2 - y^2 = 9, xy = 2 e xy = 4 92. Calcule o volume do solido S descrito abaixo: S = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3; \ x^2 + y^2 + z^3 \leq 4, \ x^2 + y^2 \leq 2y} 93. Escreva uma integral tripla para calcular o volume do solido limitado superiormente pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = z e inferiormente pelo cone z = \sqrt{x^2 + y^2} em: (a) coordenadas cartesianas. (b) coordenadas cilindricas. (c) Coordenadas esfericas. (d) Encontre o volume calculando uma das integrais triplas. 94. Determine o volume do solido limitado pelas superficies y = 4-x^2, \ y = 3x, \ z = x+4 e z = 0. 95. Determine a area da regiao no primeiro quadrante do plano xy, limitada pelas curvas x^2 - y^2 = 1, \ x^2 - y^2 = 9, \ xy = 2 \ e \ xy = 4 96. Calcule o volume do solido S descrito abaixo: S = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3; x^2 + y^2 + z^2 \leq 4, \, x^2 + y^2 \leq 2y} 97. Escreva uma integral tripla para calcular o volume do solido W = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3; x^2 + y^2 + z^2 \leq 9 \ e \ z^2 \leq x^2 + y^2} (a) coordenadas cartesianas. (b) coordenadas cilindricas. (c) Coordenadas esfericas. (d) Encontre o volume calculando uma das integrais triplas. 98. Invertendo a ordem de integracao, calcule a seguinte integral: \int_0^1 \left(\int_{3y}^{3} e^{x^2} \, dx\right) \, dy 99. Encontre o volume do solido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano y + z = 2 e pelo cilindro parabolico x = 4 - y^2. 100. Considere a regiao V no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelos planos y = 1, x = 1 e pela superficie z = y^2. Escreva expressoes para o volume de V na forma: a) \int \ldots \left(\int \ldots \left(\int \ldots dz\right) dy\right) dx b) \int \ldots \left(\int \ldots \left(\int \ldots dx\right) dy\right) dz 101. Use uma transformacao de coordenadas apropriada para calcular a seguinte integral: I = \int_{\mathcal{R}} \left( 3x^2 + 14xy + 8y^2 \right) \, dx dy para a regiao \mathcal{R} no primeiro quadrante limitada pelas retas 2y = -3x + 2, \ 2y = -3x + 6, \ 4y = -x \ e \ 4y = -x + 4. 102. Encontre o volume da regiao limitada abaixo pelo parabolóide z = x^2 + y^2, lateralmente pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 e acima pelo parabolóide z = 4 - x^2 - y^2. 103. Calcule a seguinte integral, para a regiao D indicada: \int_D \int \cos(y^3) \ dx dy; \ D limitada por \ y = \sqrt{x}, \ y = 2 \ e \ x = 0 104. Encontre o volume do solido cortado da coluna quadrada |x| + |y| \leq 1 pelos planos z = 0 \ e \ 3x + z = 3. 105. Encontre o volume do solido dentro do cone z = \sqrt{x^2 + y^2} entre os planos z = 1 e z = 2. 2009 106. Esboce a regiao de integracao e mude a ordem de integracao para calcular a seguinte integral: \int_0^3 \left( \int_{\sqrt[3]{x}}^1 e^{y^3} \ dy \right) dx 107. Esboce a regiao limitada pelas parabolas. Depois expresse a area da regiao como uma integral dupla iterada e calcule a integral. \mathcal{P}_1 : x = y^2, \ \mathcal{P}_2 : = 2y - y^2 108. Esboce a regiao de integracao e mude a ordem de integracao para calcular a seguinte integral: \int_0^2 \left( \int_x^2 e^{-y^2} \ dy \right) dx 109. Esboce a regiao limitada pelas retas e curvas dadas. Depois expresse a area da regiao como uma integral dupla iterada e calcule a integral. \mathcal{C}_1 : xy = 9, \ \mathcal{C}_2 : y=x, \ \mathcal{C}_3 : y = 0, \ \mathcal{C}_4 : x = 9 110. Calcule: \iiint_{\Omega} x \, dx dy dz, onde \Omega é o solido limitado pelo parabolóide x = 4y^2 + 4z^2 e pelo plano x = 4. 111. Calcule o volume do solido limitado acima pelo parabolóide z = 9 - x^2 - y^2 e abaixo pelo plano xy e que esta fora do cilindro x^2 + y^2 = 1. 112. Calcule: \iiint_{\Omega} x \, dx dy dz, onde \Omega é o solido limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 2 e pelo parabolóide z = x^2 + y^2. 113. Calcule o volume do solido limitado por z = x^2 + 9y^2 e z = 18 - x^2 - 9y^2. 114. Área por Integração Dupla: (a) Esboce a regiao no primeiro quadrante, limitada pelas retas x = 0, y = x + 1, \ y = x \ e a curva xy = 2. (b) Expresse a area da regiao como uma integral dupla iterada. (c) Calcule a integral. 115. Invertendo a Ordem de Integração: Dado a seguinte integral: I = \int_1^2 \left( \int_0^{\sqrt{2x-x^2}} \sqrt{1-y^2} \ dy \right) dx (a) Esboce a regiao de integracao. (b) Escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integracao invertida. (c) Calcule a integral 116. Volume: (a) Esboce o solido contido no cilindro x^2 + y^2 = 9 e limitado pelos planos z = 1 e y + z = 5. (b) Expresse o volume do solido como uma integral tripla. (c) Calcule a integral. 117. Seja \mathcal{R} a regiao limitada pelos graficos de y = 6x - x^2 e y = x^2 - 2x. (a) Esboce a regiao a regiao \mathcal{R}. (b) Expresse a area da regiao \mathcal{R} como uma integral dupla iterada. (c) Calcule a integral 118. (a) Esboce o solido contido no cilindro y = -\cos x, \ com -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} e limitado pelos planos z = 0 \ e \ z = -2y. (b) Expresse o volume do solido como uma integral tripla. (c) Calcule a integral. 119. Seja \(R\) a região limitada pelos gráficos de \(y = 4 - x^2\) e \(y = -\sqrt{4-x^2}\). (a) Esboce a região a região \(R\). (b) Expresse a área da região \(R\) como uma integral dupla iterada. (c) Calcular a área da região \(R\). 120. (a) Esboce o sólido no 1º octante limitado pelos planos coordenados e os gráficos das equações: \(z = x^2 + y^2 + 1\) e \(2x + y = 2\). (b) Expresse o volume do sólido como uma integral tripla. (c) Calcule a integral. 121. Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla: \( \int_0^1 \int_{\sqrt{y}}^2 e^x \, dx \, dy \) 122. \(D\) é o prisma cuja base é o triângulo no plano \(xy\) limitado pelo eixo \(x\) e pelas retas \(y = x\ e \ x = 1\) e cujo tope está no plano \(z = 2 - y\). 123. Encontre o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pela superfície \(z = 2 - x^2 - y\) 124. Escreva uma integral tripla iterada para calcular o volume do sólido \(W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3; \quad x^2 + y^2 + z^2 \leq 4, \quad z \leq \sqrt{x^2 + y^2} \quad \text{e} \quad z \geq 0 \}\) (a) Em coordenadas cartesianas. (b) Em coordenadas cilíndricas. (c) Em Coordenadas esfericas. (d) Calcule uma das integrais 125. Seja \(R\) a região limitada pelos gráficos de \(x = y^3, \quad x + y = 2 \quad \text{e} \quad y = 0.\) (a) Esboce a região a região \(R\). (b) Expresse a área da região \(R\) como uma integral dupla iterada. (c) Calcular a área da região \(R\). 126. (a) Esboce o sólido no 1º octante limitado pelos planos coordenados e os gráficos dos cilindros \(x^2 + y^2 = 1 \quad \text{e} \quad x^2 + z^2 = 1. \) (b) Expresse o volume do sólido como uma integral tripla. (c) Calcule a integral. 136. Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla: \( \int_0^2\int_x^2 x\sqrt{1+y^3} \, dy \, dx \) 137. Use integral dupla para definir a área da região limitada pelas curvas \(xy = 9, \quad y = x, \quad y = 0 \quad e \quad x = 9. \) 138. Use uma integral tripla para definir o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos: \( x+y+2z=2 \quad \text{e} \quad 2x+2y+z=4 \) 139. A região cortada do cilindro elíptico sólido \(x^2 + 4y^2 \leq 4\) pelo plano \(xy\) e pelo plano \(z = x + 2.\) 140. Dado o sólido limitado abaixo pela esfera \(x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1\) e acima pelo cone \(z = \sqrt{x^2+y^2}.\) (a) Encontre os limites de integração em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado. (b) Calcule a integral. 141. Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla: \( \int_0^1\int_{3y}^3 e^{x^2} \, dx \, dy \) 142. Determine a área da região limitada pelas curvas: \( C_1: 4x + 4 - y^2 = 0, \quad C_2 : x + y - 2 = 0 \) 143. Encontre o volume do sólido limitado pelas seguintes superfícies: \( \text{cilindro: } x^2 + y^2 = 1, \quad \text{plano: } z = 0, \quad \text{superfície: } z = 4e^{-(x^2-y^2)}\) 144. Encontre o volume do sólido limitado pelas seguintes superfícies: \( \text{cilindro: } x^2 + 4y^2 = 4, \quad \text{plano: } z = y, \quad \text{plano: } z = 2y\) 145. Calcule \[ I = \iiint_S x^2 \, dx \, dy \, dz \] onde \(S\) é um sólido em \(\mathbb{R}^3\) limitado pelo plano \(xy\) e os hemisférios \(z=\sqrt{9-x^2-y^2}\) e \(z=\sqrt{16-x^2-y^2}.\) 146. Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla: \[ \int_0^2 \int_{y^2}^4 y\cos(x^2) \, dx \, dy \] \begin{center} \textbf{18} \end{center} 127. Dado a seguinte integral: I = \int_1^2 \int_0^{\sqrt{2x-x^2}} \sqrt{1-y^2} \, dy \, dx (a) Esboce a região de integração. (b) Escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida. (c) Calcule a integral \begin{center} \rule{.92\textwidth}{.01in} 2010 \rule{.92\textwidth}{.01in} \end{center} 128. A seguinte integral não pode ser calculada exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada: \int_0^2 \int_0^{4-x^2} \frac{x \, e^{2y}}{4-y} \, dy \, dx , esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral 129. Determine a área da região limitada pelas curvas: \[ y^2 = 4x \quad \text{e} \quad x^2 = 4y. \] 130. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo cilindro \[ x^2 + y^2 = 4 \quad \text{e pelo plano} \quad z + y = 3. \] 131. Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla: \(\int_0^1\int_y^1 x^2 e^{xy} \, dx \, dy \) 132. Use integral dupla para definir a área da região \(\mathcal{R}\) abaixo da parábola \(y = 4x - x^2\), acima do eixo \(x\) e acima da reta \(y = -3x + 6\). Não precisa calcular a integral 133. Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pela superfície \(z = 4-x^2-y\). (ver a fig.) 134. Encontre o volume do sólido limitado pelas seguintes superfícies: \(\text{cilindro:} \quad x^2+4y^2=4, \quad \text{plano:} \quad z=0, \quad \text{plano:} \quad x+z=4 \) 135. Dado o sólido limitado abaixo pelo plano \(xy\), dos lados pela esfera \(x^2+y^2+z^2=4\) e acima pelo cone \(z=\sqrt{x^2+3y^2}\). (a) Encontre os limites de integração em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado. (b) Calcule a integral. 147. Determine o volume do sólido, abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo com vértices em (1, 1), (4, 1) e (1, 2). 148. Utilize coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido dentro do cilindro x^2 + y^2 = 4 e do elipsóide 4x^2 + 4y^2 + z^2 = 64. 149. Encontre o volume do sólido limitado pelas seguintes superfícies: cilindro: x^2 + 4y^2 = 4, plano: z = 1, plano: z + y = 6 150. Encontre o volume da região menor cortada da esfera x^2 + y^2 + z^2 ≤ 4 pelo plano z + y = 2. 151. Calcule a integral iterada. ∬_R (x/y + y/x) dxdy, onde R = [1, 4] × [1, 2]. 152. Esboce a região de integração e faça a mudança da ordem de integração. ∫₀³ ∫ᵧ²⁹ f(x, y) dx dy 153. Encontre o volume do sólido limitado pelas seguintes superfícies: cilindros: z = x^2, y = x^2 e planos: z = 0, y = 4 154. Utilize coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido acima do cone z = √(x^2 + y^2) e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1. 155. Determine a área da região limitada pelas curvas: y = x^2, x + y = 2 e y = 0 156. Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies: z = 4 - x^2, x + y = 2, x = 0, y = 0, z = 0 157. Determinar o volume do sólido limitado pelo parabolóide z = y^2 + 4x^2 e pelo plano z = 4. 158. Determinar o volume do sólido limitado pelo parabolóide z = y^2 + x^2 e pelo plano z = 2x + 2y - 1. 159. Calcule o volume do sólido interior à esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4z e exterior à esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4. 160. Seja S o sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos das equações: z = 4 - y^2, x + y = 2, x = 0, y = 0 e z = 0. (a)(5-ptos) Esboce o sólido S. (b)(20-ptos) Determine o volume do sólido S. (c)(20-ptos) Determine a área superficial do sólido S. (d)(5-ptos) Se a densidade em cada ponto (x, y, z) ∈ S é dada por ρ(x, y, z) = x^2y^2z^2,estabeleça, mas não calcule a integral necessária para a determinação da massa do sólido S. 161. Determinar o volume do sólido delimitado pelos cilindros z = x^2, y = x^2 e pelos planos z = 0, y = 4. Esboce o sólido. 162. Encontre o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano x + y = 4 e pelo cilindro y^2 + 4z^2 = 16. Esboce o região. 163. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido compreendido entre os parabolóides z = 5x^2 + 5y^2 e z = 6 - x^2 - y^2. Esboce o sólido. 164. Encontre o volume da região cortada do cilindro elíptico sólido x^2 + 4y^2 ≤ 4 pelo plano xy e pelo plano z + x = 2. Esboce o sólido. 165. Calcule a massa do sólido que tem o formato da região S = {(x, y, z) ∈ R³; x^2/4 + y^2/9 + z^2 ≤ 2z } e cuja densidade é ρ(x, y, z) = z. Esboce o sólido S. 166. Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante I = ∫₀⁸ ∫√(y⁶/√16 + x²)y dx dy 167. Esboce a região limitada pelos gráficos das equações dadas e calcule sua área com auxílio de integrais duplas. y = x, y = 3x e x + y = 4 168. Esboce o sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos das equações dadas e calcule seu volume z = 4 - x^2, x + y = 2, x = 0, y = 0 e z = 0 169. Determine o volume do sólido interior à esfera x^2 + y^2 + z^2 = 25 e exterior ao cilindro x^2 + y^2 = 9. 170. Determine o volume do sólido limitado superiormente pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4z e inferiormente pelo cone z = √x^2 + y^2. 171. Seja S o sólido no primeiro octante limita pelos planos coordenados, pelo plano y + z = 2 e pelo cilindro x = 4 - y^2. (a) Esboce o sólido S. (b) Encontre o volume do sólido S. (c) Encontre a área superficial do sólido S. 172. A seguinte integral não pode ser calculada exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada: ∫₀² ∫₀^(4-x²) x e^(2y)/(4 - y) dy dx , esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral 173. Determine a área da região limitada pelas curvas: y² = 4x e x² = 4y. 174. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo cilindro x^2 + y^2 = 4 e pelo plano z + y = 3. 175. A seguinte integral não pode ser calculada exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada: ∫₀² ∫₀^(4-x²) x e^(2y)/(4 - y) dy dx Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral 176. Determine a área da região limitada pelas retas: y = x, y = 3x e x + y = 4. 177. Parabolóide e Cilindro: Encontre o volume da região limitada acima pelo parabolóide z = 9 - x² - y² e abaixo pelo plano xy e que esta fora do cilindro x^2 + y^2 = 1. 178. Calcule o volume do sólido, no primeiro octante, limitado pelas superfícies z = 1 - y²?, x = y² + 1 e x = -y² + 9 179. Determinar a área da região do plano z = y + 1 interior ao cilindro x^2 + y^2 = 2. 209. Encontre o volume da região limitada pelo parabolóide z = x^2 + y^2 e inferiormente pelo triângulo delimitado pelas retas y = x, x = 0 e x + y = 2 no plano xy. 210. A integral abaixo não pode ser calculada exatamente , em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada. \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} e^{x^2+y^2} dy \, dx (a) Esboce a região de integração. (b) Faça a mudança de variáveis em coordenadas polares e calcule a integral. 211. Use coordenadas cilíndricas para calcular a seguinte integral tripla \iiint_S \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy \, dz \\ \hline \text{2014} onde S é sólido delimitado pelos parabolóides z = x^2 + y^2 - 4 e z = 4 - x^2 - y^2. \hline 212. Calcule a seguinte integral mudando a ordem de integração \int_{0}^{1} \int_{3y}^{3} e^{x^2} \, dx \, dy 213. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: A parábola : y = 4 - x^2 \quad \text{e a reta :} \quad y = 3x 214. Determine o volume do sólido delimitado pelas superfícies cilíndricas parabólicas z = x^2, y = x^2 e pelos planos z = 0, y = 4 . 215. Use coordenadas cilíndricas para calcular a seguinte integral tripla \iiint_S \, e^z \, dx \, dy \, dz \\ \hline de onde S é sólido delimitado pelos parabolóides z = 1 + x^2+y^2, pelo cilindro x^2 + y^2 = 5 e pelo plano xy. 216. Use coordenadas esféricas para calcular a seguinte integral tripla: \iiint_S x^2\ dx\ dy\ dz\\ \hline \text{Problema Quente: Cálculo. James Stewart..pag 945} onde S é sólido delimitado pelo plano xz e os hemisférios y = \sqrt{9 - x^2 - z^2} \quad e \quad y = \sqrt{16 - x^2 - z^2}. 217. O plano \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1, com a > 0, b > 0, c > 0 corta o elipsoide sólido \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1 em dois pedaços. Encontre o volume do pedaço menor. 218. Calcule a integral trocando a ordem de integração \int_0^1 \int_x^1 e^{y/x} \ dy \, dx 219. Calcule \int \int_D (x + 2y)dx\, dy, onde D é a região limitada pelas parábolas y = x^2 e y = 1 + x^2. 220. Calcule a integral \int \int_R (2x - y)dx\ dy colocando-a em coordenadas polares. onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2 + y^2 = 4 e as retas x = 0 e y = x. 221. Calcule a integral \iiint_S (x+y+z)dx\ dy\ dz colocando-a em coordenadas cilíndricas, onde S é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z = 4 - x^2 - y^2. 222. Encontre o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano x + z = 4 e pelo cilindro x^2 + 4y^2 = 16. 223. Calcule a integral trocando a ordem de integração \int_0^2 \int_0^{4-x^2} xy \frac{e^{2y}}{4 - y} \ dy \, dx Passos a seguir: Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral. 224. Calcule a área da região limitada pelas seguintes parábolas x = y^2 e x = 2y - y^2. Passos a seguir: Esboce a região limitada pelas parábolas. Depois expresse a área como uma integral dupla iterada e calcule a integral. 225. Calcule a integral \iiint_S x^2 dx\ dy\ dz colocando-a em coordenadas cilíndricas, onde S é o sólido que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1, acima do plano z = 0 e abaixo do cone z = 2 \sqrt{x^2 + y^2}. 226. Calcule a integral \iiint_S x^2 dx\ dy\ dz colocando-a em coordenadas esféricas, onde S é o sólido limitado pelo plano z = 0 e os hemisférios z = \sqrt{9 - x^2 - y^2} \quad e \quad z = \sqrt{16 - x^2 - y^2}. 227. Encontre o volume do sólido limitado pelos planos z = 0, x + z = 4 e pelo cilindro x^2 + 4y^2 = 4. 228. O plano x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1, corta o elipsoide sólido \quad \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9} \leq 1 em dois pedaços. Encontre o volume do pedaço menor. 229. Calcule a integral trocando a ordem de integração \int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \frac{1}{y^3 +1} \ dy \, dx Passos a seguir: Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral. 230. Calcule a área da região limitada pelas seguintes parábolas y = 2x^2 e y = 1 + x^2. Passos a seguir: Esboce a região limitada pelas parábolas. Depois expresse a área como uma integral dupla iterada e calcule a integral. 231. Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x+2y+z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. 232. Calcule a integral \iiint_S e^zdx \, dy \, dz colocando-a em coordenadas cilíndricas, onde S é o sólido que está delimitado pelo parabolóide z = 1 + x^2 + y^2, pelo cilindro x^2 + y^2 = 5 e pelo plano xy. 233. Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que fica acima do cone z = \sqrt{x^2 + y^2} e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = z. 234. Inverter a ordem de integração da seguinte integral \int_{0}^{4} \int_{3x^2}^{12x} \ f(x,y) \ dy \, dx Passos a seguir: Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração. 235. Calcule a seguinte integral dupla : \int \int_D \, x \, dxdy, onde a região de integração D é dado por todos os (x,y) \in \mathbb{R}^2 tal que x + y \geq 2 \quad e \quad x^2 + (y-1)^2 \leq 1 Passos a seguir: Esboce a região D. Depois colocar os limites de integração na integral dupla e calcule a integral. 236. Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x+2y+z = 2, y = 2x, y = 0 e z = 0. 237. Calcule a integral \iiint_S e^z dx \, dy \, dz colocando-a em coordenadas cilíndricas, onde S é o sólido que está delimitado pelo parabolóide z = 3 + x^2 + y^2, pelo cilindro x^2 + y^2 = 4 e pelo plano xy. 238. Inverter a ordem de integração da seguinte integral \[\int_0^2 \int_0^{4-x^2} f(x,y)\ dy\ dx\] Passos a seguir: Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração. 239. Calcule a seguinte integral dupla : \[\iint_D xy\ dxdy, \text{ onde } D \text{ é região do plano } xy \text{ limitada pelas retas } y = x, \ y = 2x \ e \ x + y = 2.\] Passos a seguir: Esboce a região D. Depois colocar os limites de integração na integral dupla e calcule a integral. 240. Determine o volume do prisma \( D \) cuja base é o triângulo no plano \( xy \) limitado pelo eixo \( x \) e pelas retas \( y = x \ e \ x = 1 \) e cujo topo está no plano \( z = 2 - y. \) \[\text{——————————————————————————————————————– 2015 ——————————————————————————————————————–} \] 241. A seguinte integral não pode ser calculada exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada: \[\int_0^3 \int_{y^2}^9 y \cos(x^2)\ dx\ dy\] esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral \[\hspace{4cm}\] 242. Determine a área da região limitada pelas curvas: \( y = x^2 \ \ e \ y = 4x - x^2. \) \[\hspace{8cm}\] 243. Seja \( D \) a região limitada pelas curvas \( y + x = 1, \ y + x = 2, \ y = x \ e \ y = 0, \) calcule: \[\iint_D \frac{y \ln(x+y)}{x^2}\ dx\ dy \] 244. Determine o volume do sólido situado acima do plano \( xy \) e limitado pelos gráfico de \( z = x^2 + y^2 \ e \ x^2 + y^2 = 2y. \) \[\hspace{4cm}\] 245. Determine o volume do sólido \( S, \) onde: \[S = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3; \ x^2 + y^2 + z^2 \leq 25 \ e \ x^2 + y^2 \geq 9 \} \] 246. Encontre o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano \( x + z = 4 \ e pelo cilindro \( x^2 + 4y^2 = 16. \) 247. A seguinte integral não pode ser calculada exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada: \[\int_0^1 \int_{\sqrt{y}}^1 y\frac{e^{x^2}}{x^3}\ dx\ dy\] esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral 248. A seguinte integral não pode ser calculada exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada: \[\int_0^2 \int_0^{4-x^2} x\frac{e^{2y}}{4-y}\ dy\ dx\] esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral 249. Determine o volume do sólido dentro do cone \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) entre os planos \( z = 1 \ e \ z = 2.\) 250. A seguinte integral não pode ser calculada exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada: \[\int_0^2 \int_0^{4-x^2} x\frac{e^{2y}}{4-y}\ dy\ dx.\] Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral 251. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo cilindro \( 4x^2 + y^2 = 4 \ e pelo plano \( z + y = 3. \) 252. Calcule o volume do sólido \( W \) que está dentro da esfera \( x^2 + y^2 + z^2 = 4, \) acima do plano \( z = 0 \) e abaixo do cone \( z = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{x^2 + y^2}. \) 253. Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral \[\int_0^4 \int_{\sqrt{x}}^2 \frac{1}{1+y^3}\ dy\ dx.\] 254. Encontre o volume do sólido limitada pelos paraboloides \( z = 3x^2 + 3y^2 \ e \ e \ z = 4 - x^2 - y^2. \) \[\hspace{4cm}\] 255. Calcule a integral \[\iiint_S x^2\ dx\ dy\ dz \] onde \( S \) é o sólido limitado pelo plano \( zx \) e pelos hemisférios \[y = \sqrt{9 - x^2 - z^2} \ e \ y = \sqrt{16 - x^2 - z^2}. \] \[\text{——————————————————————————————————————– 2016 ——————————————————————————————————————–} \] 256. Encontre o volume do sólido delimitado pelo paraboloide cilíndrico \( y = x^2 \) e pelos planos \( z = 3y \ e \ z = 2 + y. \) 257. Calcule a \( \iiint_D (x^3 + xy^2)dV, \) onde \( D \) é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide \( z = 1 - x^2 - y^2. \) 258. Calcule a \( \iiint_S (9 - x^2 - y^2)dV, \) onde \( S \) é o hemisfério sólido \( x^2 + y^2 + z^2 \leq 9, \ z \geq 0. \) 259. Determine a área da região limitada pelas curvas: \( y^2 = 4x \ e \ x^2 = 4y. \) 260. Determinar o volume do sólido limitado pelo paraboloide \( z = x^2 + y^2 \) e pelo plano \( z = 7. \) 261. Encontre o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelos planos \( x + z = 1, \ y + 2z = 2. \) 262. Encontre o volume da região comum aos interiores dos cilindros \( x^2 + y^2 = 1 \ e \) \( x^2 + z^2 = 1. \) 263. Encontre o volume da região limitada acima pela esfera \( x^2 + y^2 + z^2 = 2 \) e abaixo pelo paraboloide \( z = x^2 + y^2. \) 264. Encontre o volume do sólido limitado acima pelo cone \( z = \sqrt{3}(x^2 + y^2), \) dos lados pela esfera \( x^2 + y^2 + z^2 = 4 \) e abaixo pelo plano \( xy \) 265. Calcule a integral trocando a ordem de integração \[\int_0^2 \int_{1/2}^1 y\ cos(x^3 - 1)\ dx\ dy \] 266. Determine a área da região limitada pelas curvas: \( y = x - 1 \ e \ y^2 = 2x + 6 \) 267. Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide \( z = x^2 + 3y^2 \) e pelos planos \( x = 0, \ y = 1, \ y = x, \ z = 0 \) 268. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido limitados pelos paraboloides \( z = 6 - x^2 - y^2 \ e \ z = 2x^2 + 2y^2 \) 269. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano \( x + y = 4 \ e pelo cilindro \( y^2 + 4z^2 = 16. \) 270. Encontre o volume do sólido limitado acima pela superfície x^2 + y^2 + z^2 = z e abaixo pelo cone z = \sqrt{x^2+y^2}. 271. Seja S o sólido limitado pelo paraboloide x = 1 - y^2 - z^2 e pelo plano x = 0, calcule: \int\int\int_S y^2 z^2 dx dy dz 272. Determine o volume do solido limitados pelas superfícies: z = 0, x^2 + y^2 = 2y e z^2 = x^2 + y^2