Lista 2-método das Forças com Gabarito-2021 2

MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II Método das Forças UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 2 LISTA DE EXERCÍCIOS 2 – MÉTODO DAS FORÇAS Ex. 2.1: Utilizando o Método das Forças, determine a reação de apoio vertical no ponto B da viga da Figura 1. Despreze as deformações provocadas por esforço cortante. Todas as barras têm rigidez EI = 2 x 105 kN.m2. Considere: a) Atuação da carga distribuída mostrada na Figura 1; b) Apenas a atuação de um recalque de 3 mm para baixo do apoio C. Figura 1 Ex. 2.2: Utilizando o Método das Forças e o Sistema Principal fornecido, determine o valor do hiperestático X1 da viga da Figura 2. Considere apenas as deformações provocadas por flexão e EI = 2 x 105 kN.m2 para todas as barras. Figura 2 Ex. 2.3: Seja a viga hiperestática representada na Figura 3. Obtenha o diagrama de momentos fletores da viga utilizando o Método das Forças. Despreze o efeito do esforço cortante sobre as deformações e considere a rigidez à flexão E.I constante para toda a viga. Figura 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 3 Ex. 2.4: Considere o pórtico hiperestático da Figura 4. Utilizando o Método das Forças e considerando apenas deformações devidas à flexão, obtenha as reações de apoio e os diagramas de momento fletor, esforço normal e força cortante do pórtico. Considere a rigidez à flexão EI como constante para toda a estrutura. Figura 4 Ex. 2.5: Para a estrutura da Figura 5 pedem-se, dado que a rigidez à flexão da viga (EI) é igual ao dobro da rigidez à flexão do pilar (2EI): a) O grau hiperestático; b) Três sistemas principais isostáticos distintos para a solução pelo Método das Forças; c) O vetor dos termos de carga para um dos sistemas escolhidos em (b); d) A matriz de flexibilidade para um dos sistemas escolhidos em (b); e) As reações de apoio. Figura 5 8 kN/m UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 4 Ex. 2.6: Seja o pórtico hiperestático da Figura 6. Utilizando o Método das Forças e considerando apenas deformações devidas à flexão, obtenha o diagrama de momento fletor do pórtico para as situações listadas abaixo. Considere as barras com as seguintes características: Colunas: 2 6 4 2 10 kN/m ,0 05 m ; E  = I = Viga: 2 6 4 2 10 kN/m ,010 m ; E  = I = a) Quando atuar na estrutura o carregamento externo indicado na Figura 6; b) Quando ocorrerem apenas os seguintes recalques de apoio em A: 5 mm para baixo (vertical) e 3 mm para a esquerda (horizontal); c) Quando ocorrerem simultaneamente as situações (a) e (b). Figura 6 Ex. 2.7: Utilizando o Método das Forças e considerando apenas deformações por flexão, obtenha os diagramas de momento fletor das estruturas hiperestáticas representadas nas Figuras a seguir. Considere o módulo de elasticidade (E) constante para todas as barras. a) I constante em todas as barras; Figura 7 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 5 b) Rigidez conforme a Figura 8. Figura 8 Ex. 2.8: (Martha, 2001) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático da Figura 9. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 105 Nm2. Figura 9 Ex. 2.9: Para cada um dos dois modelos (I e II) estruturais planos, conceituais e simplificados das Figuras abaixo, pedem-se: a) O grau hiperestático; b) Um sistema principal isostático a ser utilizado no Método das Forças, indicando os hiperestáticos a serem determinados por X1, X2,X3 etc. • Estrutura I: Um anel de uma estação tubo circular da cidade de Curitiba (Figura 10), considere que o anel é fechado e tem como único vínculo externo o ponto inferior do aro A (engaste); Figura 10 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 6 • Estrutura II: Pórtico do Memorial Ucraniano na cidade de Curitiba (Figura 11). Considere os vínculos externos A, B, C e D engastados, os círculos brancos representam ligações rotuladas. Figura 11 Ex. 2.10: (Martha, 2003) Utilizando o Método das Forças, determine o diagrama de esforços normais para a treliça hiperestática da Figura 12 submetida ao carregamento indicado e a um aumento uniforme de temperatura de 50 °C em todas as barras. Todas as barras têm o mesmo valor para a inércia axial EA = 1,0 x 105 kN e para o coeficiente de dilatação térmica α = 1,0 x 10-5 /°C. Sabe-se que o deslocamento axial relativo interno para uma variação uniforme de temperatura T é igual a: duT = αTdx. Figura 12 Ex. 2.11: (Martha, 2004) O pórtico da Figura 13 sofreu um aquecimento interno de 20 °C (a temperatura externa não variou). Pede-se o diagrama de momentos fletores provocado por esta variação de temperatura. Considere que as barras do pórtico podem se deformar axialmente, isto é, não despreze a energia de deformação axial. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 7 Figura 13 Sabe-se que: • O material tem módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C; • As barras da estrutura têm a seção transversal retangular, que foi posicionada de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante; • h = 0.50 m; • b = 0.20 m. Ex. 2.12: (Martha, 2005) A viga do pórtico da Figura 14 sofreu um aquecimento na face superior de 12 °C e o engaste da direita sofreu um recalque rotacional de 0.001 rad no sentido horário. Pede-se o diagrama de momentos fletores provocado por estas duas solicitações atuando concomitantemente. Considere que as barras do pórtico podem se deformar axialmente, isto é, não despreze a energia de deformação axial. Utilize, obrigatoriamente, o sistema principal apresentado. Dados: E = 108 kN/m2 e α = 10–5 /°C. As barras da estrutura têm a seção transversal retangular, que foi posicionada de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante: h = 0.60 m e b = 0.20 m. Figura 14 SISTEMA PRINCIPAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 8 Ex. 2.13: (Martha, 2008) Para a viga contínua com dois vãos mostrada na Figura 15 pede- se o diagrama de momentos fletores utilizando o Método das Forças. A viga tem um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /ºC. A viga tem uma seção transversal com área A = 0.01 m2, momento de inércia I = 0.001 m4, altura h = 0,60 m e centro de gravidade no meio de altura. As seguintes solicitações atuam na viga concomitantemente: • Carga uniformemente distribuída de 4 kN/m ao longo de toda a extensão da viga; • Resfriamento das fibras inferiores da viga de Ti = –9.2 oC ao longo de toda a sua extensão (as fibras superiores não sofrem variação de temperatura, isto é, Ts = 0 oC); • Recalque vertical (para baixo) de 1.8 mm (0.0018 m) do apoio esquerdo; • Considere que a viga pode se deformar axialmente, isto é, não despreze a energia de deformação axial. Figura 15 Ex. 2.14: (Martha, 2009) Considere que a estrutura da Figura 16 sofreu as seguintes solicitações: • Variação de temperatura da barra central: as fibras superiores sofrem um aquecimento de Ts = +20°C e as fibras inferiores sofrem um resfriamento de Ti = −10°C; • Apoio central sofreu um recalque vertical ρ = 5 cm, de cima para baixo. Determine o diagrama de momentos fletores no quadro devido a essas solicitações atuando simultaneamente, sabendo que: • A altura da seção transversal das barras é h = 0.50 m e o centro de gravidade da seção transversal fica no meio da altura; • O coeficiente de dilatação térmica das barras é α = 10–5/°C; • Todas as barras têm a mesma rigidez à flexão EI = 105 kNm2. Considere deformações axiais das barras apenas para o efeito térmico. SISTEMA PRINCIPAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 9 Figura 16 Ex. 2.15: Considere as treliças com diagonal em N do Teatro Nacional de Mannheim na Alemanha (Figura 17). Todas as barras têm o mesmo material e a mesma seção transversal. Considere que a treliça possua vínculos de segunda ordem com os pilares de apoio nos quatro vértices. a) Sabendo-se que o edifício transmite para cada nó do banzo inferior uma carga de 10 kN obtenha os esforços transmitidos aos pilares; b) Considerando apenas uma variação de temperatura uniforme em todas as barras encontre os esforços limites para as barras sabendo-se que a treliça foi montada a 15ºC e que a temperatura em Mannheim varia anualmente entre -10 ºC e 31 ºC. (=10-5/ºC); c) Usando treliças com diagonal em X, acrescentando barras na direção oposta das diagonais existentes, os esforços calculados em (b) seriam maiores ou menores? Por quê? Figura 17 Ex. 2.16: (Sussekind, 1980) As fibras superiores da grelha da Figura 18 sofrem um aumento de temperatura de 20 ºC. Sendo dados = 10-5/ºC. Considere: • EI/GIp= 2; • EI = 104 tm2; • h = 0,50 m (altura da seção retangular). Determine os diagramas solicitantes da grelha. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 10 Figura 18 Ex. 2.17: A viga da Figura 19, engastada no pilar, suporta na extremidade livre a carga do semáforo igual a P. A viga está suspensa por dois cabos. Sabendo que os cabos e as viga são feitos do mesmo aço e que o cabo tem seção circular com raio igual a 1 cm e a viga seção tubular cilíndrica de raio externo 10 cm e espessura da parede do tubo igual a 0,5 cm, pede- se (desprezando as deformações axiais da viga) os valores da tração nos cabos 1 e 2. Figura 19 Ex. 2.18: As vigas contínuas são comuns em estruturas civis. Tanto no concreto armado quanto na madeira e no aço, as vigas contínuas caracterizam-se pela continuidade da linha elástica e pela colaboração, entre si, de cada um dos seus vãos. A viga contínua mostrada na Figura 20 possui rigidez constante e está sendo solicitada, simultaneamente, pelo carregamento mecânico indicado e por recalques de apoio de 50 mm em D e 25 mm em B. Determine as reações de apoio e desenhe o diagrama de momentos fletores utilizando o Método das Forças. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 11 Figura 20 Ex. 2.19: A casa de força de uma UHE possui as dimensões e carregamentos mostrados na Figura 21. Uma carga de vento de 10,0 kN/m solicita dois dos pilares, enquanto dois carregamentos uniformemente distribuídos solicitam duas vigas. O carregamento de 2,5 kN/m é devido ao peso próprio das telhas metálicas que compõe a construção, enquanto o carregamento de 8,0 kN/m é devido à sobrecarga provocada pela aparelhagem da sala de máquinas. As máquinas promovem uma variação de temperatura positiva de 20ºC no interior da sala apenas nos elementos indicados. O solo mole que serve de apoio para a sala de máquinas provocará um recalque de 0,025 m no apoio extremo esquerdo. Sabendo que o módulo de elasticidade do aço utilizado vale 205 GPa, que o coeficiente de dilatação térmica é α = 1,2x10-5/ºC e que a seção transversal é constante de base 30 cm e altura 60 cm, calcule as reações de apoio e o diagrama de momentos fletores da estrutura da casa de força. Despreze o efeito dos esforços normais. Figura 21 Ex. 2.20: (Sussekind, 1980) Para o quadro de inércia constante (Figura 22), pede-se: a) Mostrar que as reações verticais em A e em B só dependem de equações da Estática; A B C D E UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 12 b) Calcular o valor da carga horizontal concentrada que, aplicada em M, daria a mesma reação horizontal em A que aquela provocada pelo carregamento uniformemente distribuído indicado. Figura 22 Ex. 2.21: Encontre o diagrama de momentos fletores do pórtico da Figura 23 pelo Método das Forças e considerando apenas deformações por flexão. A rigidez EI é constante e igual a 1,2x104 kN.m². Figura 23 Ex. 2.22: Determine, pelo Método das Forças, o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático da Figura 24. Somente considere deformações por flexão. As barras possuem a mesma inércia e a mesma seção transversal, com rigidez à flexão EI igual a 2,4x104 kN.m². UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 13 Figura 24 Ex. 2.23: Utilizando o Método das Forças, determine o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático da Figura 25. Considere que as deformações axiais são desprezíveis e que todas as barras têm a mesma inércia com rigidez à flexão EI igual a 105 kN.m². Figura 25 Ex. 2.24: Utilizando o Método das Forças, desenvolva um sistema principal a sua escolha determine o valor da carga P (horizontal e apontando para a esquerda) necessário para que o momento fletor do ponto B seja igual a -77kN.m. Dados: todas as barras do pórtico possuem 3m de comprimento, rigidez constante EI e considere deformações apenas causadas por flexão. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 14 Figura 26 Ex. 2.25: O pórtico da figura abaixo é constituído por uma barra vertical de 3m e uma barra horizontal de 6m, ambas feitas de um material com coeficiente de dilatação térmica igual a 0,00001ºC-¹ e Módulo de elasticidade igual a 100GPa. Sob seu estado natural de carregamentos, o pórtico está sujeito a um carregamento de 50KN. Ao resfriarmos externamente esta estrutura, sua configuração de esforços internos se redistribui, entrando em um equilíbrio de tensões diferentes do estado inicial. Sabendo-se que ambas as barras do pórtico têm seção transversal igual a 20x50cm e são constituídas por um material de tensão normal admissível igual a 15Mpa, qual o resfriamento externo máximo que a estrutura pode sofrer? (Dica: o Momento fletor máximo será desenvolvido no engaste) Figura 27 Ex. 2.26: A viga da figura abaixo é solicitada por um carregamento distribuído de 100kN/m e apresenta uma configuração inicial de 4 apoios. Porém devido a um acidente, o seu segundo apoio (esquerda para a direita) foi removido, forçando a estrutura a operar com apenas 3 apoios. Qual foi, em módulo, a variação percentual de momento fletor na seção transversal do local em que o apoio foi removido? Considere a viga com rigidez constante EI. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 15 Figura 28 Ex. 2.27: Para a mesma viga do exercício anterior, porém com um carregamento de 10kN/m, pede-se: Qual o recalque necessário que apoio extremo da direita deve desenvolver para que a sua reação vertical seja nula? Dados: E=100GPa, h=1m e b=50cm. Figura 29 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 16 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS Ex. 2.1: a)  = 44,48 kN VB b)  = 50 kN VB Ex. 2.2: X1 = 38,01 kN.m Ex. 2.3: Ex. 2.4: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 17 Ex. 2.5: a) g=2; e) UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 18 Ex. 2.6: a) b) c) UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 19 Ex. 2.7: a) b) Ex. 2.8: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 20 Ex. 2.9: a) g=3 (I) e g=12 (II) Ex. 2.10: Ex. 2.11: Ex. 2.12: Ex. 2.13: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 21 Ex. 2.14: Ex. 2.15: a) b) UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 22 Ex. 2.16: Ex. 2.17: N1=0,464 P (tração) e N2=1,914 P (tração) Ex. 2.18: Ex. 2.19: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 23 Ex. 2.20: b) 2 3 ⁄ 𝑞𝑙 Ex. 2.21: Ex. 2.22: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 2 24 Ex. 2.23: Ex. 2.24: 72,25kN. Ex. 2.25: Aproximadamente -20ºC. Ex. 2.26: Aumento de 312,5%. Ex. 2.27: 0,0243mm para baixo. MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II – MÉTODO DAS FORÇAS Material elaborado com base na bibliografia da disciplina TC036 – Mecânica das Estruturas II da UFPR Revisão 2018: BRUNO COUGO KOWALCZUK (monitor)