Slide Método dos Deslocamentos Pt3-2022 1

TC036 - Mecânica das Estruturas II Prof. Marcos Arndt 3. Método dos Deslocamentos – Parte 3 Exemplo 2: Utilizando o Método dos Deslocamentos determine o diagrama de momentos fletores do pórtico hiperestático. As duas barras têm o mesmo material com módulo de elasticidade E e a mesma seção transversal, cuja relação entre a área A e o momento de inércia I é dada por A/I = 2 m–2. Caso 1: D_1 = 1 K_11 K_21 K_31 (12EI/L^3)d_2 (6EI/L^2)d_2 (6EI/L^2)d_1 (12EI/L^3)d_1 (EA/L)d_1 (EA/L)d_i 0 0 +6EI/L^2 +6EI/L^2 M_1 Caso 0: 𝛽10 = −10 𝑘𝑁 𝛽20 = + 6 𝑘𝑁 𝛽30 = 0 𝑘𝑁𝑚 Caso 1: 𝐾11 = 12𝐸𝐼 43 + 𝐸𝐴 6 = 12𝐸𝐼 64 + 𝐸2𝐼 6 = 25𝐸𝐼 48 𝑘𝑁 𝑚 𝐾21 = 0 + 0 = 0 𝑘𝑁 𝑚 𝐾31 = 6𝐸𝐼 42 + 0 = 6𝐸𝐼 16 = 3𝐸𝐼 8 𝑘𝑁. 𝑚 𝑚 Caso 2: K_12 K_22 K_32 D_2 = 1 (6EI/L^2)d_2 (6EI/L^2)d_2 (12EI/L^3)d_3 (12EI/L^3)d_2 (EA/L)d_1 (EA/L)d_1 0 0 +6EI/6^2 +6EI/6^2 M_2 Caso 2: 𝐾12 = 0 + 0 = 0 𝑘𝑁 𝑚 = 𝐾21 𝐾22 = 𝐸𝐴 4 + 12𝐸𝐼 63 = 𝐸2𝐼 4 + 12𝐸𝐼 216 = 5𝐸𝐼 9 𝑘𝑁 𝑚 𝐾32 = 0 + 6𝐸𝐼 62 = 𝐸𝐼 6 𝑘𝑁. 𝑚 𝑚 Caso 3: 𝐾13 = 6𝐸𝐼 42 + 0 = 6𝐸𝐼 16 = 3𝐸𝐼 8 𝑘𝑁 𝑟𝑎𝑑 = 𝐾31 𝐾23 = 0 + 6𝐸𝐼 62 = 𝐸𝐼 6 𝑘𝑁 𝑟𝑎𝑑 = 𝐾32 𝐾33 = 4𝐸𝐼 4 + 4𝐸𝐼 6 = 5𝐸𝐼 3 𝑘𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 Caso 3: K23 K13 K33 D3 = 1 D3 = 1 (4EI/L2)d'3 (6EI/L2)d'6 (4EI/L)d'6 (2EI/L)d'6 (6EI/L2)d'3 (6EI/L2)d'6 (4EI/L')d'3 (2EI/L')d'3 +4EI/6 +4EI/4 +2EI/6 +2EI/4 M3 𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 + 𝐾13𝐷3 = 0 𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 +𝐾23 𝐷3 = 0 𝛽30 + 𝐾31𝐷1 + 𝐾32𝐷2 +𝐾33 𝐷3 = 0 −10 + 25𝐸𝐼 48 𝐷1 + 0𝐷2 + 3𝐸𝐼 8 𝐷3 = 0 6 + 0𝐷1 + 5𝐸𝐼 9 𝐷2 + 𝐸𝐼 6 𝐷3 = 0 0 + 3𝐸𝐼 8 𝐷1 + 𝐸𝐼 6 𝐷2 + 5𝐸𝐼 3 𝐷3 = 0 −10 6 0 + 𝐸𝐼 25/48 0 3/8 0 5/9 1/6 3/8 1/6 5/3 𝐷1 𝐷2 𝐷3 = 0 0 0 𝑑1 = 22,087 𝑑2 = −9,597 𝑑3 = −4,010 −10 6 0 + 25/48 0 3/8 0 5/9 1/6 3/8 1/6 5/3 𝑑1 𝑑2 𝑑3 = 0 0 0 𝑑𝑖 = 𝐸𝐼𝐷𝑖 𝐷1 = 22,087 𝐸𝐼 𝑚 𝐷2 = − 9,597 𝐸𝐼 𝑚 𝐷3 = − 4,010 𝐸𝐼 𝑟𝑎𝑑 - Diagrama de momentos fletores na convenção de sinais do método: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝐷1 + 𝑀2𝐷2 + 𝑀3𝐷3 𝐷1 = 22,87/𝐸𝐼 𝐷2 = −9,597/𝐸𝐼 𝐷3 = −4,010/𝐸𝐼 - Diagrama de momentos fletores final: 4.3 -4.3 -2.9 +4.3 +6.3 M [kNm] M [kNm] 4.3 6.3 2.9 Exemplo 3: Utilizando o Método dos Deslocamentos determine o diagrama de momentos fletores do pórtico hiperestático. O material adotado tem módulo de elasticidade E = 1.2x107 kN/m2. A seção transversal das barras tem área A = 1.2x10–2 m2 e momento de inércia I = 1.2x10–3 m4. 5 kN/m 4 m 6 m 3 m D1 D2 D3 Deslocabilidades: D1 D2 D3 Sistema Hiperestático (SH): 1 3 2 Caso 0: 𝛽10 = 0 𝑘𝑁 𝛽20 = 5 6 2 = +15 𝑘𝑁 𝛽30 = 5 62 12 = +15 𝑘𝑁𝑚 Caso 1: 𝐾11 = 𝐸𝐴 6 + 𝐸𝐴 5 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 12𝐸𝐼 53 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 35252,74 𝑘𝑁 𝑚 𝐾21 = 0 + 𝐸𝐴 5 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 − 12𝐸𝐼 53 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = 13160,45 𝑘𝑁 𝑚 𝐾31 = 0 + 6𝐸𝐼 52 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2764,80 𝑘𝑁. 𝑚 𝑚 Caso 1: D_1 = 1 K_{31} K_{11} K_{21} senθ = 4/5 cosθ = 3/5 (EA/L) d'_1 (EA/L) d'_1 (EA/D) d'_4 p (7/18L) d'_1 p (7/18L) d'_1 (7/18) (7/18) +6EI/5^2 ·senθ +6EI/5^2 ·senθ M_1 (para D_1 = 1) Caso 2: 𝐾12 = 0 + 𝐸𝐴 5 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 − 12𝐸𝐼 53 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 = 13160,45 𝑘𝑁 𝑚 = 𝐾21 𝐾22 = 12𝐸𝐼 63 + 𝐸𝐴 5 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 12𝐸𝐼 53 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 19729,66 𝑘𝑁 𝑚 𝐾32 = 6𝐸𝐼 62 − 6𝐸𝐼 52 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 326,40 𝑘𝑁. 𝑚 𝑚 Caso 2: D_2 = 1 K_{32} K_{22} K_{12} senθ = 4/5 cosθ = 3/5 (6EI/L^2) d'_2 (12EI/L^3) d'_2 (6EI/L^2) d'_2 (12EI/L^3) d'_2 (EA/L) d'_4 (EA/D) d'_5 (6EI/L^2) d'_5 (12EI/L^3) d'_5 +6EI/5^2 ·cosθ -6EI/5^2 ·cosθ +6EI/6^2 +6EI/6^2 M_2 (para D_2 = 1) Caso 3: 𝐾13 = 0 + 6𝐸𝐼 52 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2764,80 𝑘𝑁 𝑟𝑎𝑑 = 𝐾31 𝐾23 = 6𝐸𝐼 62 − 6𝐸𝐼 52 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 326,40 𝑘𝑁 𝑟𝑎𝑑 = 𝐾32 𝐾33 = 4𝐸𝐼 6 + 4𝐸𝐼 5 = 21120,00 𝑘𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 Caso 3: K_{33} D_3 = 1 K_{13} K_{23} (4EI/L) d'_3 (6EI/L) d'_3 (2EI/L) d'_3 (6EI/L^2) d'_3 (6EI/L^2) d'_3 (6EI) d'_6 (4EI) d'_6 (6EI/2) d'_6 (2EI/L) +4EI/5 +2EI/5 +4EI/6 +2EI/6 M_3 (para D_3 = 1) 𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 + 𝐾13𝐷3 = 0 𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 +𝐾23 𝐷3 = 0 𝛽30 + 𝐾31𝐷1 + 𝐾32𝐷2 +𝐾33 𝐷3 = 0 0 + 35252,74𝐷1 + 13160,45𝐷2 + 2764,80𝐷3 = 0 15 + 13160,45𝐷1 + 19729,66𝐷2 + 326,40𝐷3 = 0 15 + 2764,80𝐷1 + 326,40𝐷2 + 21120,00𝐷3 = 0 0 15 15 + 35252,74 13160,45 2764,80 13160,45 19729,66 326,40 2764,80 326,40 21120,00 𝐷1 𝐷2 𝐷3 = 0 0 0 𝐷1 = +0,4504 10−3 𝑚 𝐷2 = −1,0482 10−3𝑚 𝐷3 = −0,7530 10−3𝑟𝑎𝑑 0 15 15 + 35252,74 13160,45 2764,80 13160,45 19729,66 326,40 2764,80 326,40 21120,00 𝐷1 𝐷2 𝐷3 = 0 0 0 - Diagrama de momentos fletores na convenção de sinais do método: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝐷1 + 𝑀2𝐷2 + 𝑀3𝐷3 𝐷1 = +0,4504 10−3 𝐷2 = −1,0482 10−3 𝐷3 = −0,7530 10−3 - Diagrama de momentos fletores final: -5,3 +5,3 -21,1 -0,9 5,3 21,1 5,3 0,9 5.3 0.9 21.1 22.5 M [kNm] M [kNm]