Slide Cálculo de Deslocamentos em Estruturas Isostáticas Pt2-2022 1

TC036 - Mecânica das Estruturas II Prof. Marcos Arndt 1. Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas – Parte 2 1.4 Princípio dos Trabalhos Virtuais Seja uma estrutura de material elástico linear em equilíbrio: Conservação de energia: 𝑊 = 𝑈 Como há conservação de energia: 𝑊 + ∆𝑊 = 𝑈 + ∆𝑈 ∆𝑊 = ∆𝑈 ∆𝑊 = ෍ 𝑖 𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖 + 1 2 𝑑𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖 ∆𝑈 = න 𝑉 ∆𝑈∗𝑑𝑉 = න 𝑉 𝜎𝑑𝜀 + 1 2 𝑑𝜎𝑑𝜀 𝑑𝑉 ∆𝑊 = ∆𝑈 ෍ 𝑖 𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖 + 1 2 𝑑𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖 = න 𝑉 𝜎𝑑𝜀 + 1 2 𝑑𝜎𝑑𝜀 𝑑𝑉 Desprezando os infinitésimos de ordem superior (teoria de 1ª ordem): ෍ 𝑖 𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖 = න 𝑉 𝜎𝑑𝜀𝑑𝑉 O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) tem o seguinte enunciado: O trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas (energia de deformação virtual), para quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos da estrutura, ou seja: ഥ 𝑊 = ഥ𝑈 ෍ 𝑖 𝑃𝑖 ഥ𝛿𝑖 = න 𝑁𝑑ത𝑢 + න 𝑀𝑑 ҧ𝜃 + න 𝑄𝑑തℎ + න 𝑇𝑑 ത𝜑 ෍ 𝑖 𝑃𝑖 ഥ𝛿𝑖 = න 𝑉 𝜎 ҧ𝜀𝑑𝑉 1.4.1 PTV: Deslocamentos devidos a carregamentos externos Seja a estrutura representada na figura abaixo, sujeita à atuação de um carregamento externo. Pretende-se determinar o deslocamento d no ponto m na direção . Estrutura indeformada Estrutura deformada Sistema Real Para determinação do deslocamento utilizando o PTV é necessário utilizar um SistemaVirtual. SistemaVirtual: a) Mesma geometria, propriedades dos materiais e apoios do Sistema Real; b) Aplica-se uma carga virtual ത𝑃 unitária no ponto (ponto m) e na direção (direção ) do deslocamento que se deseja calcular (Método da Força Unitária); c) A configuração da estrutura, após a aplicação da carga virtual, coincide com o eixo da estrutura no Sistema Real; d) Aplica-se a todos os pontos da estrutura deslocamentos virtuais exatamente iguais aos provocados pelo carregamento real (deformada do Sistema Real). Estrutura indeformada Estrutura deformada Sistema Real Estrutura indeformada Estrutura deformada igual à deformada do Sistema Real Sistema Virtual Sistema Real Sistema Virtual Esforços internos: 𝑁, 𝑀 𝑒 𝑄 Reações de apoio: 𝑅𝐴 𝑒 𝑅𝐵 Deslocamentos relativos: 𝑑𝑢, 𝑑𝜃 𝑒 𝑑ℎ Esforços internos: ഥ𝑁, ഥ𝑀 𝑒 ത𝑄 Reações de apoio: ത𝑅𝐴 𝑒 ഥ𝑅𝐵 Deslocamentos relativos: 𝑑ത𝑢 = 𝑑𝑢, 𝑑 ҧ𝜃 = 𝑑𝜃 𝑒 𝑑തℎ = 𝑑ℎ A A B B Para cálculo do deslocamento aplicamos o PTV ao SistemaVirtual. PTV: Sistema Virtual Esforços internos: ഥ𝑁, ഥ𝑀 𝑒 ത𝑄 Reações de apoio: ത𝑅𝐴 𝑒 ഥ𝑅𝐵 Deslocamentos relativos: 𝑑ത𝑢 = 𝑑𝑢, 𝑑 ҧ𝜃 = 𝑑𝜃 𝑒 𝑑തℎ = 𝑑ℎ ഥ 𝑊 = ഥ𝑈 ത𝑃𝛿 = න ഥ𝑁𝑑ത𝑢 + න ഥ𝑀𝑑 ҧ𝜃 + න ത𝑄𝑑തℎ 1 𝛿 = න ഥ𝑁𝑑𝑢 + න ഥ𝑀𝑑𝜃 + න ത𝑄𝑑ℎ 𝛿 = න ഥ𝑁𝑑𝑢 + න ഥ𝑀𝑑𝜃 + න ത𝑄𝑑ℎ 𝛿 = න ഥ𝑁 𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න ഥ𝑀 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න ത𝑄𝜒 𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 𝛿 = න 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝜒 𝑄 ത𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Sistema Real Sistema Virtual Expressão geral do PTV para cálculo de deslocamentos devidos a carregamento externo: 𝛿 = න 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝜒 𝑄 ത𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑇ത𝑇 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 Esforço Normal Momento Fletor Esforço Cortante Momento Torçor Considerações importantes: a) A parcela devida ao cisalhamento pode ser, usualmente, desprezada em presença das demais, com erro mínimo. Mas, no caso de vãos muito curtos e cargas muito elevadas, sua influência apresenta valor considerável e esta parcela não pode ser desprezada. b) Também com erro tolerável, podemos desprezar a parcela devida ao esforço normal para peças de estruturas que não trabalhem fundamentalmente ao esforço normal. c) O uso destas simplificações deve ser feito com muito critério. d) Estamos estudando estruturas com comportamento linear, ou seja, sujeitas a pequenos deslocamentos. a) Escolha do SistemaVirtual: A escolha do sistema virtual depende somente do deslocamento que se deseja calcular. Fonte: Martha, 2001. Deslocamento ou Rotação Sistema Virtual Rotação relativa na rótula introduzida M=1 M=1 Deslocamento horizontal relativo na seção de corte P=1 P=1 Deslocamento vertical relativo na seção de corte P=1 P=1 Rotação relativa na seção de corte M=1 M=1 Fonte: Martha, 2001. Exemplo 1: Calcular a rotação ponto B da viga que tem rigidez EI constante. Utilizar o Princípio dos Trabalhos Virtuais e desprezar a parcela de deslocamento devido ao cisalhamento. Sistema Real Sistema Virtual 𝛿 = න 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝜒 𝑄 ത𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑇ത𝑇 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 ഥ𝑀1 = 1 𝑀 = −𝑃𝑥 𝜃𝐵 = න 0 𝐿 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 Sistema Real Sistema Virtual ഥ𝑀1 = 1 ഥ𝑀 = −1 𝜃𝐵 = න 0 𝐿 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝜃𝐵 = න 0 𝐿 −𝑃𝑥 −1 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 𝑃 𝐸𝐼 න 0 𝐿 𝑥𝑑𝑥 𝜃𝐵 = 𝑃 𝐸𝐼 𝑥2 2 0 𝐿 𝜃𝐵 = 𝑃𝐿2 2𝐸𝐼 b) Uso de tabelas: Uso de tabelas para cálculo das integrais do PTV é muito comum e é baseada na combinação dos diagramas de esforços internos. Tabela de combinação de diagramas de momento fletor para cálculo de ׬0 𝐿 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 para barras retas com inércia constante: Fonte: Martha, 2001. ∫[0 to L] MM dx MA L MB L MC L MA L MA L 1/2 MBMA L 1/2 MCMA L MB L 1/2 MAMB L 1/3 MBMB L 1/6 MCMB L 1/2 MAMC L 1/6 MBMC L 1/3 MCMC L 2/3 MAMD L 1/3 MBMD L 1/3 MCMD L ∫[0 to l] MM dx MA l MB l MC l MA l MA l 1/2 MBMA l 1/2 MCMA l MB l 1/2 MAMB l 1/3 MBMB l 1/6 MCMB l 1/2 MAMC l 1/6 MBMC l 1/3 MCMC l 2/3 MAMD l 1/3 MBMD l 1/3 MCMD l MD = (qA+qB)^2/8 k/2+k/2+q MD MD = qA l^2/16 ME = qA l^2/16 MF = qB l^2/16 k/2+k/2+q MD k/2+k/2+q 2/3 MAME l 16/45 MBME l 14/45 MCME l 2/3 MAMF l 14/45 MBMF l 16/45 MCMF l 𝜃𝐵 = 1 𝐸𝐼 න 0 𝐿 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 Sistema Real Sistema Virtual Exemplo 1: 𝜃𝐵 = 1 𝐸𝐼 1 2 −1 −𝑃𝐿 𝐿 𝜃𝐵 = 𝑃𝐿2 2𝐸𝐼 Exemplo 2: Calcular o valor da carga P que anula o deslocamento vertical em C da viga que tem rigidez EI constante. Utilizar o PTV e desprezar a parcela de deslocamento devido ao cisalhamento. Sistema Real: Sistema Virtual: 𝛿 = න 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝜒 𝑄 ത𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑇ത𝑇 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 Sistema Real: Sistema Virtual: 𝛿 = න 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝐶 = 1 𝐸𝐼 න 1 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 + න 2 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 + න 3 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 Trecho 1: න 1 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 = 1 3 ഥ𝑀𝐶𝑀𝐶𝐿 = 1 3 320 + 2𝑃 2 4 න 1 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 = 8 3 320 + 2𝑃 = 2560 + 16𝑃 3 Trecho 2: න 2 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 = L = 4 m 1 3 320 + 2𝑃 2 4 + 1 6 320 + 2𝑃 4 4 + 1 6 320 + 4𝑃 2 4 + 1 3 320 + 4𝑃 4 4 = 11520 + 112𝑃 3 න 3 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 = 1 3 320 + 4𝑃 4 8 + Trecho 3: + 1 3 80 4 8 = 12800 + 128𝑃 3 𝛿𝐶 = 1 𝐸𝐼 න 1 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 + න 2 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 + න 3 𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 𝛿𝐶 = 1 𝐸𝐼 2560 + 16𝑃 3 + 11520 + 112𝑃 3 + 12800 + 128𝑃 3 𝛿𝐶 = 1 𝐸𝐼 26880 + 256𝑃 3 = 0 26880 + 256𝑃 = 0 𝑃 = −105 𝑘𝑁 𝑃 = 105 𝑘𝑁 Exemplo 3: Calcule o deslocamento horizontal do ponto D do pórtico abaixo cujas barras possuem rigidez à flexão EI = 2 x 105 kN.m2 e EA = 107 kN. Utilize o PTV e despreze a parcela de deslocamento devido ao cisalhamento. Sistema Real: Sistema Virtual: 𝛿 = න 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝜒 𝑄 ത𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑇ത𝑇 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝛿 = න 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿 = න 𝐴𝐵 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝐵𝐶 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝐶𝐷 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝐴𝐵 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝐵𝐶 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝐶𝐷 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 Sistema Real: 50 kN A 50 kN 30 kN B C D 5 m 3 m 30 kN E 150 M ( kN.m) 150 30 30 N ( kN) Sistema Virtual: 1 kN A 1 kN B C D 5 m 3 m E 3 3 3 M ( kN.m) 1 N ( kN) න 𝐴𝐵 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 1 3 150 3 3 = 450 𝐸𝐼 න 𝐵𝐶 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 1 2 150 3 5 = 1125 𝐸𝐼 න 𝐶𝐷 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 0 න 𝐴𝐵 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 = 0 න 𝐵𝐶 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 = 0 න 𝐶𝐷 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 = 0 𝛿𝐷 = න 𝐴𝐵 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝐵𝐶 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝐶𝐷 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝐴𝐵 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝐵𝐶 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝐶𝐷 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝐷 = 0 + 450 𝐸𝐼 + 1125 𝐸𝐼 + 0 𝛿𝐷 = 1575 𝐸𝐼 𝛿𝐷 = 1575 2 105 = 0,007875 𝑚 𝛿𝐷 = 7,88 10−3 𝑚 = 7,88 𝑚𝑚 Exemplo 4: Calcule o deslocamento vertical do nó A da treliça abaixo que tem EA = 105 kN para todas as barras. Utilize o PTV. Sistema Real: Sistema Virtual: 𝛿 = න 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑀 ഥ𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝜒 𝑄 ത𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑇ത𝑇 𝐺𝐽𝑡 𝑑𝑥 𝛿 = න 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 𝛿 = න 1 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 2 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 3 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 4 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 5 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 6 𝑁 ഥ𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 1 6 2 3 4 5 Sistema Real: 60 kN 60 kN 40 kN 3 m 3 m B D C E 2 4 5 6 20 kN A E N ( kN) 60 20 -20√2 -20√2 -20 Sistema Virtual: P = 1 2 kN 1 kN 3 m 3 m E 1 2 3 4 5 6 -N (kN) 2 1 -1 -1 √2 √2 Sistema Real: Sistema Virtual: 𝛿 = ෍ 𝑖=1 𝑛 න 𝑖 𝑁𝑖 ഥ𝑁𝑖 𝐸𝐴 𝑖 𝑑𝑥 1 6 2 3 4 5 𝛿 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑁𝑖 ഥ𝑁𝑖 𝐸𝐴 𝑖 න 0 𝐿𝑖 𝑑𝑥 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑁𝑖 ഥ𝑁𝑖 𝐸𝐴 𝑖 𝑥 0 𝐿𝑖 𝛿 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑁𝑖 ഥ𝑁𝑖𝐿𝑖 𝐸𝐴 𝑖 Sistema Real: Sistema Virtual: 𝛿 = 1 𝐸𝐴 ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑁𝑖 ഥ𝑁𝑖𝐿𝑖 Barra (i) Ni (kN) ഥ𝑵i (kN) Li (m) Niഥ𝑵i Li 1 60 2 3 360 2 20 1 3 60 3 -20 -1 3 60 4 20 1 3 60 5 −40 2 − 2 3 2 240 2 6 −20 2 − 2 3 2 120 2 Niഥ𝑵i Li 𝟓𝟒𝟎 + 𝟑𝟔𝟎 𝟐 1 2 3 4 5 6 𝛿𝐴 = 1 𝐸𝐴 ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑁𝑖 ഥ𝑁𝑖𝐿𝑖 𝛿𝐴 = 1 105 540 + 360 2 𝛿𝐴 = 0,01049 𝑚 = 10,49 𝑚𝑚