Teoria das Estruturas 2 - Método das Forças em Vigas - Exemplos Resolvidos

Teoria das Estruturas 2 Método das Forças aplicação em vigas Wanderson Fernando Maia Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia Civil Exemplo 1 Traçan os diagramas de espacos para a viga abaixo 10 kNm A B 5m 1 Determinação do grau de hiperestaticade e escala do SP h 1 10 kNm X 2 Espaco no SP 21 Espaco do Componente externo Estado de deformaçao 10 kNm 105283125 Mmax 10522 125 kWm Mo KNm 22 Espaco devido ao hiperestatico X1m Est Conegnetado 1 kW M1 KNm 5 3 Calculo dos deslocamentos 31 Matriz de flexibilidade Sij Mi Mj dx EI EI Sij Mi Mj dx EI S41 13 M1M0l 13 555 4167 kW2m3 325 32 Vetor de cargas EI S10 M1 Mo dx EI S10 13 M1 Mo l 13 M1 Mo l M M M MA MB M aL bL M L M M 12 L M M 12 L M M 12 L MA MB M 12 L M M M 12 L M M 13 L M M 16 L M M 16 L 1a M M 12 L M M 16 L M M 16 L M M 13 L M M 16 L 2MA MB M 16 L 2MA MB MB MA 2MB 16 L 1b MA 1a MB M 16 L MA MB 12 L MA MB M 16 L MA 2MB M 13 L M M 13 L M M 13 L MA MB M 13 L 1ab M M 13 L M M 23 L M M 512 L M M 14 L M M 112 L 5bb2 M M 23 L M M 14 L M M 512 L M M 112 L 5MA 3MB M 112 L 5aa2 M M 13 L M M 14 L M M 112 L M M 112 L L MA 3MB M 112 L 1aa2 M M 13 L M M 112 L M M 14 L M M 112 L L 3MA MB M 112 L 1bb2 M M 12 L M M 16 L 1a M M 16 L 1b M M 16 L 1b MA 1a MB M 13 L M M EI S40 13 5 125 5 13 5 31255 78125 kW2m4 4 Equação de compatibilidade Deslocamento em B igual a 0 S10 S41 X 0 L XI EI S10 EI S41 X 0 78125 4167 X 0 X 187 5 Equilirs primos E E0 E1 X 10 kNm MA VR 187 kW Σ Ma 0 Σ Fv 0 MA 1052 2 1875 0 VA 187 105 0 MA 315 KNm VA 313 kN 1052 8 3125 Mmax 1052 2 125 KWm Mo KNm M1 KNm 5 313 313 187 5 x x 313 x 935 187 x x 187 m 315 q l2 8 1052 8 3125 KWm O MF KNm Mmax 187 187 101872 2 175 KWm Exemplo 2 Traçar os diagramas de esforços para a viga dórica 15 KNm 40 KN Secção 20 x 40 cm 4m 15m 15m 4m 1 Determinação do grau de hiperestaticidade e escelha do SP h 2 x1 x1 x2 x2 SP 2 Esforços no SP KNm 21 estado de carregamento ultimo Estado de deformação 5Fy 0 VA VB VC VD 0 14 VB 13 0 VB 14 13 3 412 712 23 Estado devido ao hiperestatico x2 1 KNm Estado de carregamento 1 KNm 13 312 14 M2 KNm 3 Calculo dos deslocamentos Sij Mi Mj dx EI EI Sij Mi Mj dx 31 Matriz da flexibilidade EI S11 13 M1 M1 lAB 13 M1 M1 lBC EI S11 13 114 13 113 233 KW mm3 EI S12 EI S21 16 M1 M2 lBC EI S12 EI S21 16 113 05 KW mm3 EI S22 13 M2 M2 lBC 13 M2 M2 lCD EI S22 13 113 13 119 233 KW2 mm3 M1 KNm 32 Vetor de cargas EI S10 13 M1 M0 lAB 16 M1 M0 1 bBC 13 M1 M0 lEX EI S10 13 130 4 16 1 30 315 13 169 3 794 KW2 mm3 EI S90 794 KW 2 mm3 4 Equação de compatibilidade Rotação relativa em B 0 S10 S11 x1 S12 x2 0 Rotação relativa em C 0 S20 S21 x1 S22 x2 0 EI S11 S12 S21 S20 x1 x2 S10 S20 EI 233 05 05 233 x1 x2 794 794 M1 KNm M0 KNm ql28 30 ql28 1548 30 ql28 PL4 1538 4034 169 30 469 Vão 2 30 169 M M M MA MB M aL bL M L M M 12 LM M 12 LM M 12 LMA MB M 12 LM M M 12 LM M 13 LM M 16 LM M 16 LMA 2MB M 16 L1a M M 12 LM M 16 LM M 13 LM M 16 LM M 16 L2MA MB M 16 L1b M MA MB 12 LMA MB M 16 LMA 2MB M 16 L2MA MB MB MA 2MB 16 L1b MA 1a MB M 23 LM M 13 LM M 13 LM M 13 LMA MB M 13 L1ab M M X₁ 2806 kNm X₂ 2806 kNm 5 Efeitos finais E E₀ E₁ X₁ E₂ X₂ M M₀ M₁ X₁ M₂ X₂ M M₀ 2806 M₁ 2806 M₂ ΣMBE0 2806 154²2 VA 4 0 VA 230 kN ΣFy 0 230 154 VBE 0 VBE 37 kN ΣMBD0 2806 40 15 153²2 VCE 3 2806 0 VCE 425 kN ΣFy 0 VBP 153 40 425 0 VBD 435 kN 1 Traçar os OES para a viga 15 kNm 30 kN 50 kNm 3m 4m 2m 2m 1 Grau de hiperestaticidade e escala do SP h 2 X₁ X₁ X₂ X₂ SP 2 Esforços no SP 21 Devido ao carregamento ultimo 50 Mo kNm P₁4 30 θ q1L²81688 q1L²830 Trecho 3 22 Devido ao hiperestatico X₁ 1 kNm 1 kNm M₁ kNm 23 Devido ao hiperestatico X₂ 1 kNm 1 kNm M₂ kNm 230 kN 795 kN 795 kN 230 kN 3 Cálculo dos deslocamentos Sig Mi Mj EI dx EI Sig Mi Mj dx 31 matriz de flexibilidade EI δm 13 δD1 3 AB 13 11 4 BC 233 kN m3 EI S12 EI δ21 16 11 4 BC 0667 kN m3 EI S22 13 11 4 BC 13 114 CE 267 kN m3 22 vetor de termos independentes EI S10 13 1688 1 3 AB 13 30 1 4 BC 5688 kN m3 EI S20 13 30 1 4 BC 16 1 30 y2 16 1 50 CE 3667 kN m3 ΣMBesq 0 15 3 15 VA 3 2206 0 VA 1515 kN ΣMCdir 0 822 30 2 50 VE 4 0 VE 2545 kN ΣMCesq 0 822 15 7 35 1515 7 VB 4 0 VB 6331 kN ΣFy 0 1515 6331 VC 2545 15 7 30 0 VC 3109 kN 13 VA 1515 kN VB 6331 kN VC 3109 kN VE 2545 kN