Lista N0 8 Sistemas de Equaçõoes Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem-2023-2

CM043 – F´ısica 2023 Lista N0 8: Sistemas de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias de primeira ordem. Profa. Ana Gabriela 1. Determine quais dos seguintes sistemas de e.d.o expostos a seguir correspondem a sistemas de e.d.o. lineares. Para o caso em que sistema seja linear represente matri- cialmente: (a) x′ 1(t) = tx1(t) + x1(t)x2(t) + t, x′ 2(t) = t2x1(t) − x2(t) + 4t. (b) x′ 1(t) = t3x1(t) + x2(t) + (2t + 1)2, x′ 2(t) = e3tx1(t) + x2(t) − cos(πt). (c) x′ 1(t) = cos(2πt)x1 + 3x2(t), x′ 2(t) = x1(t) − 4t2x2(t). (d) x′ 1(t) = x1(t)x2(t) + t − 1, x′ 2(t) = x1(t) + x2(t) − 4. 2. Sempre ´e poss´ıvel transformar uma equa¸c˜ao diferencial de ordem n em um sistema de n equa¸c˜oes de primeira ordem. Para a e.d.o. y(n)(t) = f(t; y; y′; . . . ; y(n−1)) devem-se introduzir novas vari´aveis: z1 = y; z2 = y′; . . . ; zn = y(n−1). Observe que neste caso o sistema resultante ´e, z′ 1 = z2; z′ 2 = z3, . . . ; z′ n−1 = zn; z′ n = f(t; z1; z2; . . . ; zn). Transforme as e.d.o a seguir em sistemas de equa¸c˜oes de primeira ordem: (a) y′′′(t) = 5(t2 + 1)y′′(t) + 6y′(t) + cos(3t)y(t), (b) y′′ + 3e2ty(t) = t + 4, (c) 3y′′ + (3t2 + 2t)y′′′(t) = 2t + y(t). 3. Para os exemplos da quest˜ao anterior escreva os sistemas lineares resultantes na forma Z′(t) = A(t)Z(t) + g(t). 4. Considere o sistema de equa¸c˜oes diferenciais lineares de segunda ordem: x′′(t) = −6x(t) + 2y(t); y′′(t) = 2x(t) − 2y(t) + 4sen2t. Escreva o sistema anterior como um sistema de 4 equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem. 5. Um sistema massa-mola livre sem amortecimento é descrito pela equagao diferencial mu" + ku=0. (a) Transforme a equacdéo acima em um sistema de equacoes diferenciais equivalente fazendo x\(t) = u(t) e x(t) = u'(t). (b) Resolva o sistema homogéneo do item anterior e obtenha u(t) a solucao da equacgéo diferencial mu” + ku = 0. 6. As equagoes de movimento de um sistema massa-mola de dois graus de liberdade (sem amortecimento) estao dadas por: myyy (t) = (ki + ke)yi(t) + koye(t), mayis(t) = —kegn(t) — kayelt), onde m1, mz denotam as massas dos corpos e ky e kz as constantes de eslasticidade das molas. Transforme este sistema de ordem 2 em um sistema linear de primeira ordem. 7. Mostre que o principio de superposicao é valido para sistemas de equacoes linea- res homogéneos de primeira ordem X‘(t) = A(t) X(t), isto é: mostre que se X(t), Xo(t),...,Xn(t) sao solugdes do sistema anterior, entaéo qualquer combinacao linear destas c,X1(t) + coXo(t) +... + ¢,Xn(t) € também solugao do sistema linear homogéneo. 8. A matriz ®(t) cujas colunas sao as solugoes linearmente independentes do sistema X'(t) = A X(t) se denomina Matriz Fundamental, isto é: X11 (t) L12(t) wae Lin(t) 21 (t) X22 (t) see Ln (t) B(t) = [Xi(t), Xo(t),.-. Xn(f] = pM TRA aN Ini(t) Lno(t) ... Lnn(t) Observe que a solucao geral do sistema homogéneo pode-se escrever usando esta matriz, na seguinte forma: Z(t) = ®(t) C, onde C= (ce, ¢,...,€n)*- 2t 2t 2t 2t at . . e€ te e~ + te te Verifique que as matrizes ®;(t) = ett pet 4 @2! | e ®)(t) = tet elt — tet | ~ . . . ' 3 #1 sao matrizes fundamentais do sistema X'(t) = “11 X(t). 9. Encontre a solucao geral para os seguintes sistemas de equacgoes diferenciais de primeira ordem lineares homogéneos com coeficientes constantes: X’(t) = AX(t), onde X(t) representa um vetor coluna de n coordenadas x;(t) onde n é a ordem da matriz A do sistema. |[Lembre que quando existe uma base de autovetores de A e os autovalores sao reais, a solugao geral pode ser escrita como X(t) = Cer Uy Hoge tv +... +6,€°"' Up, onde 0s v; sao os autovetores associados aos autovalores A;. Quando nao existe uma base formada por autovetores de A, estes devem ser completados com autovetores generalizados para gerar as solugoes L.I. que faltam/]. @) X(Q=(5 | )XO. MxXH=(5 7 )XO. 1 1 3 1 2 -l 1 9 / _ / __ oxo=(7 4 )x0. @x=(_) 3 )x0. 12 101 (e) X‘(t) = X(t). (f) X(t) ={[ 0 1 0 | X(#). 3 2 00 1 0 10 1 (g) X‘(t) = | —-1 -2 0 | X(t), X(0)=] 1 |. 0 O01 1 10. (a) Encontre a solucao geral para o problema 2’(t) = 2x — 9y; y/(t) = x + 8y. Observe que aqui neste exemplo nao existe uma base de autovetores e portanto deve determinar o autovetor generalizado. (b) Encontre a solugao tnica para o problema anterior com condicoes iniciais 7(0) = 2; y(0) = 1. (c) Encontre a tnica solugdéo para o problema de valor inicial 2/(t) = y + z; y/(t) = 3x + 2; 2'(t) = 3x + y, com condicgoes iniciais 7(0) = 1; y(0) = 0; z(0) = 1. 11. Encontre a solucao geral para os sistemas lineares homogéneos: 1 2 0 3 ! _ / —_— @) X=(_5 7) XO XW=(_f Gg) XO. 2 -l 1 (c) X'(t) = 1 0 1 X (t). [Ai = 1; 2 = a3 A3 = —i| —2 0 -l [Observe que nestes casos aparecem autovalores complexos]. 12. Encontre a solugao geral dos sistemas abaixo. Quando uma condigao inicial for dada, encontre a unica solucao. Para encontrar a solucao particular, use ou método dos coeficientes a determinar ou a f6rmula da variagao dos parametros. (nesta questao pode ser util lembrar que a inversa de uma matriz 2 x 2 nao singular é -1 a b 1 d —b dada por ( C 1) -a-5( 2 )) vy (12 (1 @) x0 =(5 XW Fe (;) ray. | 2 -5 sec(t) _ (0 mxm=(7 3 )xo+(™). x@=( ra. { 3 4 sent {7 oxo=(3 5 )xO+(). xoO=(4 Gabarito 1. (b) e (c) sao sistemas de e.d.o. lineares de primeira ordem. (b) xi(t)\ [t 1) fai(t) 1 (2t+ 1)? (c) ri(t)\ — (cos(2nt) 3 \ (xi(t) vi(t)) |e 1} \xo(t))~ |—cos(xt)] ’ J \ah(t)) — 1 4t?)} \ ao(t) zy = 292 ! ky = £2 2. ,= b) 4 (a) ° £3 , ( ) 1 _— (t+ 4) _ 3e7"z, 24 = 5(t + 1)z3 + 622 + cos(3t) x% 24 = 22 Cc 2g = 23 OV me a, 8 3 42t 7 32 42¢ 32427 za\ 0 1\ (a 0 3. (b) (2) — (3 s) (2) + (2, 4. Se 2, = a(t),z22 =a'(t) e 23 = y(t), 24 = y'(t) temos que: 2 = 22, % = —62, + 223, 2% = 24, 24 = 221 — 223 + 4sin(2t) , x 0 1)\ («x 5. (a) v= 293275 = —w*r, onde w? = k/m; ou (*)) = (2. s) (*:) (b) x, = c, cos(wt) + cy sen(wt) Denotando X(t) = (73) e considerando o sistema do item (a): X'(t) = AX(t) vemos 2 que os autovalores da matriz do sistema sao complexos, logo as duas solugdes fundamentais do sistema sao: 1 0 X(t) = cos(wt) (5) — sen(wt) (*) X,(t) = sen(ut) (4) + cos(wt) (" a(t) = sen(wt) | 4 cos(wt) [ xi(t)\ _ _ ( ci cos(wt) + c2 sen(wt) (7) =X) = 1 Xi(8) + e2Xo(t) = (3 sin(wt) + cow cos(wt) 6. Idem questao 4. 7. Seja Z(t) = c,X4(t) + coNXo(t) +...+¢,X,(t) observe que Z'(t) = c, X{(t) + cgX5(t) + ... + ¢,X/(t), por outro lado AZ(t) = A(e,X1(t) + coXo(t) +... + Gp Xn(t)) AZ(t) = oX}(t) + oXG(t) +... +O, X/(t) = Z(t) logo é solucao do sistema. 8. Considere X,(t) como a primeira coluna da matriz © e verifique que satisfaz X} = AX. Idem para X» (segunda coluna da matriz fundamental). — _ , (cos(t) , (—sin(t) 9. (a) X(t) = qe (on) + ce ( cos(t) (b) X(t) = cye™ (;) + cge~* (7) 1 1 0 (c) X(t) = ce* (4) + ce*" ( (4) + (")| — ent (—3 -2 |, (—3 —1 (d) X(t) = ce G Foe" Jt | + 0 (e) X(t) =cje* , + cge# | ' 1 \3/2 —3 —3 1 9. (a) X(t) = cye™ ( 1 ) + ce" *( 1 ) - (;) ; (b) cq =1, C2 =95