Lista - Integrais Definidas Areas Solidos - 2024-1

Esboce o gráfico e calcule a área das regiões indicadas abaixo: 21. Região limitada pela curva y = x^3 no intervalo 0 ≤ x ≤ 1. 22. Região limitada pela curva y = x^3 e o eixo x no intervalo −1 ≤ x ≤ 1. 23. Região delimitada pelo gráfico da função y = 1 + x^2 e o eixo x, no intervalo −1 ≤ x ≤ 1. 24. Superfície delimitada pela parábola y = 6 − x − x^2 e o eixo x. 25. Região limitada pela curva y = √x para 0 ≤ x ≤ 4. 26. Região limitada pelos gráficos das funções y = x + 1 e y = -x^2 + 2x + 3. 27. Região compreendida entre os gráficos das funções y = 2 − x^2 e y = −x. 28. Região compreendida entre os gráficos das funções y = x^2 − 3x e y = −x^2 + 3x. 29. Superfície limitada pelas curvas y = √x e y = x^2. 30. Região limitada pelas curvas y = x^2 − 2x e y = −x^2 + 4 Gabarito 21. 1/4 22. 1/2 23. 8/3 24. 125/6 25. 16/3 26. 9/2 27. 9/2 28. 9 29. 1/3 30. 9 [1] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos x a região limitada pela curva y = sen(x), x ∈ [0, 2π] e o eixo dos x. Figura 8.44: Região e o sólido do exemplo [1]. Pela simetria do sólido, calculamos o volume da metade do sólido e multiplicamos o resultado por 2: V(S) = 2π ∫[0,π] sen^2(x) dx = π^2 u.v. [2] Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob o gráfico da função f(x) = x^3, no intervalo [1, 2]. V = 127π/7 [3] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos x a região limitada pelos gráficos de 4 y = 13 − x^2 e 2 y = x + 5. Figura 8.47: Região e o sólido do exemplo [4]. Os limites de integração são x = −3 e x = 1. V(S) = π ∫[−3,1] ((13 − x^2)/4)^2 − ((x + 5)/2)^2) dx = π/16 ∫[−3,1] [69 − 30x^2 + x^4 − 40x] dx = 64π/5 u.v. [4] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos x a região limitada pelos gráficos de 4 y = 13 − x^2 e 2 y = x + 5. Figura 8.47: Região e o sólido do exemplo [4]. Os limites de integração são x = −3 e x = 1. V(S) = π ∫[−3,1] ((13 − x^2/4)^2 − (x + 5)/2)^2) dx = π/16 ∫[−3,1] [69 − 30x^2 + x^4 − 40x] dx = 64π/5 u.v. [5] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos y a região limitada pelo gráfico de (x - b)^2 + y^2 = a^2, 0 < a < b. Figura 8.48: Região e o sólido do exemplo [5]. Sejam M(y) = b + \sqrt{a^2 - y^2} e N(y) = b - \sqrt{a^2 - y^2}. Os limites de integração são y = -a e y = a; então: V(S) = \pi \int_{-a}^a \left[(M(y))^2 - (N(y))^2\right] \, dy = 4b\pi \int_{-a}^a \sqrt{a^2 - y^2} \, dy. Note que 2\int_{-a}^a \sqrt{a^2 - y^2} \, dy é a área da região limitada por um círculo de raio a; logo, V(S) = 2\pi^2 a^2 b. A superfície de revolução obtida é chamada toro. [6] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos x a região limitada pelo gráfico de y = e^x , -1 \leq x \leq 1 o eixo dos x. Figura 8.49: Região e o sólido do exemplo [5]. V(S) = \pi \int_{-1}^1 e^{2x} \, dx = \frac{\pi(e^2 - e^{-2})}{2} \, u.v. [1] Calcule o comprimento de arco da curva y = \sqrt[3]{x^2} entre os pontos (8, 4) e (27, 9). Temos que: Então: f(x) = \sqrt[3]{x^2}, \; f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \; e \; \sqrt{1 + (f'(x))^2} = \frac{\sqrt{9\frac{x^{4/3}}{4}}}{3\sqrt[3]{x}}; logo: L = \frac{1}{3} \int_8^{27} \frac{\sqrt{9\frac{x^{4/3}}{4}}}{\sqrt[3]{x}} \, dx. \; Seja \; u = 9\sqrt{x^2 + 4}; \; logo, \; du = \frac{6}{\sqrt{x}} \, dx. L = \frac{1}{18} \int_4^{85} \sqrt{u} \, du = \frac{5}{27} (17\sqrt{85} - 16\sqrt{10}) \, u.c. (u.c. unidades de comprimento.) [2] Calcule o comprimento de arco da curva y = \frac{x^4}{4} + \frac{1}{3x^2} \; tal \; que \; 1 \leq x \leq 2. Primeiramente: y' = f'(x) = x^3 - \frac{1}{3x^3}; \; logo, \; 1 + (y')^2 = (x^3 + \frac{1}{3x^3})^2 \; e \; \sqrt{1 + (y')^2} = x^3 + \frac{1}{3x^3}; então: L = \int_1^2 \left[x^3 + \frac{1}{4x^3}\right] \, dx = \left[\frac{2x^6 - 1}{8x^2}\right]_1^2 = \frac{123}{32} \, u.c. [3] Calcule o comprimento de arco da catenária y = a\cosh\left(\frac{x}{a}\right) no intervalo [-b, b], tal que (a, b > 0). Figura 8.65: Gráfico da catenária. \; y' = \sinh\left(\frac{x}{a}\right); \; logo, \; \sqrt{1 + y'^2} = \cosh\left(\frac{x}{a}\right); \; então: L = \int_{-b}^b \cosh\left(\frac{x}{a}\right) \, dx = 2a\sinh\left(\frac{b}{a}\right) \, u.c. (u.c. unidades de comprimento.) [4] Calcule o comprimento de arco da curva y = \ln(\cos(x)) \; tal \; que \; 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}. Figura 8.66: Gráfico de y = \ln(\cos(x)). \; y' = -\tan(x). \; Logo, \; \sqrt{1 + (y')^2} = \sec(x). \; Então: L = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec(x) \, dx = \ln(\sec(x) + \tan(x)) \Big|_0^{\frac{\pi}{4}} = \ln(\sqrt{2} + 1) \, u.c. Exercícios Áreas Calcule a área sob o gráfico de y = f(x) entre x = a e x = b, esboçando cada região, se: 1. f(x) = 1 - x^2, x = -1, x = 1 2. f(x) = x^3 - x, x = -1, x = 1 3. f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x, x = 0, x = 2 4. f(x) = \frac{x - x^3}{3}, x = -1, x = 1 5. f(x) = \ln(x), x = 1, x = e 6. f(x) = \cos^2(x), x = 0, x = 2\pi 7. f(x) = 2 \sqrt{x - 1}, x = 1, x = 10 8. f(x) = x(x - 5)^2, x = 0, x = 1 9. f(x) = \frac{5}{\sqrt{x + 2}}, x = 0, x = 5 10. f(x) = x\sqrt{4x^2 + 1}, x = 0, x = 2 11. f(x) = |x|, x = -2, x = 6 12. f(x) = (x + 1)^3 + 1, x = -2, x = 0 13. f(x) = x^2 + 2x, x = -1, x = 3 14. f(x) = x^4 - x^2, x = -1, x = 1 Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas: 1. y = x^2, y = 2x + \frac{5}{4} 2. y = x^2 - 4, y = -8 3. y = 5 - x^2, y = x + 3 4. x = y^2, y = x + 3, y = -2, y = 3 5. y^3 = x, y = x 6. y = -x^2 - 1, y = -2x - 4 7. x = y^2 + 1, y + x = 7 8. y = 4 - x^2, y = x^2 - 14 9. y = x^3, y = \sqrt[3]{x} 10. y = x^2, y = x^4 11. x = y^2 - 2, x = 6 - y^2 12. y = x|x|, y = x^3 13. y = x + 4, y = \frac{x^2}{2} 14. y^2 = y = x, y - y^2 = x 15. y = x^2 + 1, y = x + 1 16. y = x^2, y = -x + 2 17. y = |x|, y = (x + 1)^2 - 7, x = -4 18. y = \ln(|x|), |y| = 3 19. y = \cosh(x), y = \sinh(x), x = \pm 1 20. y = \ln(x), x = 1, y = 4 21. y = x^4 - 2x^2, y = 2x^2 22. y = \cos(x), y = \cos^2(x), 0 \leq x \leq \pi 23. y = e^x, y = e^{2x-1}, x = 0 Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas: 1. y = x^2 - x, y = \sen(\pi x), x = -1, x = 1 2. y = \sen(x), y = \cos(x), x = 0, x = \frac{\pi}{2} 3. y = \cos(x), y = 1 - \cos(x), x = 0, x = \frac{\pi}{2} 4. 2y(1+y^3)^3 - x = 0, y = 0, y = 1 5. y = \frac{8}{x^2}, y = x, y = 8x, x > 0 6. y = x(x - 3), y = x(3 - x) 7. y = \frac{\sqrt{1-x}}{1+x}, x = 0, x = 1, y = 0 8. y = \frac{\sen(2x)}{2}, y = \frac{\sen(2x)}{2} + \sen(2x), 0 \leq x \leq \pi 9. y(x^2 + 4) = 4(2 - x) e os eixos coordenados 10. y = \frac{1 - x^2}{1 + x^2} e o eixo dos x 11. x = \sqrt{4y^2 - y^4} e o eixo dos y 12. y = \frac{1}{(2x + 1)^2}, x = 1, x = 2 13. y = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}, x = 0, x = 4 14. y = e^{-x}, y = x + 1, x = -1 15. y = e^{-x}, y = \sqrt{x + 1}, x = 1 16. y = e^x, y = 10^x, y = e 17. y = -x^3 + 2x^2 + 3x, y = -5x 18. x^2y = 3, 4x + 3y - 13 = 0 19. x = y(y - 3)^2, x = 0 20. y = x^4 - 3x^2, y = x^2 21. x = 1 - y^2, x = y^2 - 1 22. y = xe^{-x^2}, y = 0, x = 0, x = c, onde c é a abcissa do ponto de inflexão da curva 23. y = xe^{-x^2}, y = 0, x = c, onde c é o máximo 24. y = \frac{\ln(x)}{x} , y = 0, x = c, onde c é o máximo 25. x^2 - 2y + y^2 = 0, x^2 + y^2 = 1 26. x = 3y, x + y = 0 e 7x + 3y = 24 27. x^2 = 4y, y = \frac{8}{x^2+4} Volumes de Revolução Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas seguintes curvas: 1. y = x + 1, x = 0, x = 2, y = 0 2. y = x^2 + 1, x = 0, y = 0, x = 2 3. y = x^2, y = x^3 4. y = \cos(x), y = \sen(x), x = 0, x = \frac{\pi}{4} 5. x + y = 8, x = 0, y = 0 6. y = x^4, y = 1, x = 0 7. xy = 1, x = 2, y = 3 8. x^2 = y^3 e x^3 = y^2 9. y = \cos(2x), 0 \leq x \leq \pi 10. y = xe^x, y = 0 e x = 1 11. O triângulo de vértices (0, 0), (0, 2) e (4, 2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região limitada pelas seguintes curvas: 12. y = \ln(x), y = -1, y = 2, x = 0 13. y = 4 - x^2 , no primeiro quadrante 14. x = 1 + \sen(y), x = 0, y = \pm \frac{5\pi}{2} 15. y^2 = 4x, y = 0 e x = 4 16. y = 1 - \frac{1}{x^4}, x = 1, y = 0 e y = \frac{15}{16} 17. 9x^2 + 16y^2 = 144 18. y = x^2 + 1, x = 0 e x = 2 19. y^2 = x, x = 0 e x = 2y 20. y = \sqrt{x^2 + 1}, x = 0 e x = 2 21. y = \sqrt[4]{x^2 - x}, x = 0 e x = 1 Comprimento de Arco Calcule os comprimentos de arco das seguintes curvas, entre os pontos indicados: 1. y = 5x - 2; (-2, -12) e (2, 8) 2. 12xy = 4x^4 + 3; (1, \frac{7}{12}) e (3, \frac{109}{12}) 3. x - \frac{y^3}{3} = \frac{1}{4}y = 0; (\frac{7}{12},1) e (\frac{67}{24},3) 4. y = \ln(x); (x, y) tal que \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{8} 5. y = \frac{1}{6}(x^3 + \frac{3}{x}); (1, \frac{2}{3}) e (3, \frac{14}{3}) 6. x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} 7. y = \frac{1}{3}(x^2 + 2)^{\frac{3}{2}}; (x, y) tal que 0 \leq x \leq 1 8. y = \int_4^{x^2}\sqrt{t-1} dt, do ponto (4, 0) até (9, \int_4^9 \sqrt{t-1}dt) 9. y = \int_0^x t\sqrt{t^2 + 1}dt, do ponto (0, 0) até (2, \int_0^2 t\sqrt{t^2+1}dt) 10. y = \int_1^x \sqrt{4 + t^2 - 1}dt, do ponto (1, 0) até (3, \int_1^3 \sqrt{4 + t^2 - 1}dt) 11. y = \sqrt{x^3}, do ponto (0, 0) até (1, 1) 12. y = \sqrt[3]{x}, do ponto (0, 0) até (1, 1) 13. y = x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{4}x, de x = 1 até x = 3 14. y = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{x}}{2}, de x = 1 até x = 4 14. y = \ln(\sin(x)), de x = \frac{\pi}{3} até x = \frac{\pi}{2} 15. y = \ln(\sec(x)), de x = 0 até x = \frac{\pi}{3} 16. y = (1 - x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}, de x = \frac{1}{3} até x = 1 17. y = \ln(\cos(x)) de x = 0 a x = \frac{\pi}{4} 18. y = 2\sqrt{x} de x = 1 a x = 2 19. y = \text{arcsen}(e^{-x}) de x = 0 a x = 1