Apostila Propriedade da Convolução com Exemplos-2021 2

5.6 Propriedade da convolução Dada duas funções contínuas por partes em [0,∞], a convolução de f e g denotada por f * g é definida pela integral (f * g)(t) = ∫⁰ᵗ f(τ)g(t − τ)dτ. (5.5) Exemplo 5.6.1. Dadas f(t) = eᵗ e g(t) = cos(t), vamos calcular f * g: (f * g)(t) = ∫⁰ᵗ eᵗ cos(t − τ)dτ = ½ eᵗ (cos(t − τ) − sen(t − τ)) |⁰ᵗ = ½ (eᵗ − cos(t) + sen(t)). onde usamos que ∫ eᵗ cos(t − τ)dτ = ½ eᵗ (cos(t − τ) − sen(t − τ)) + constante. Teorema 5.6.1. (Propriedade da convolução) Se F(s) = L{f(t)} e G(s) = L{g(t)}, então L{(f * g)(t)} = F(s)G(s). (5.5.1) ou L⁻¹{F(s)G(s)} = (f * g)(t). (5.5.2) Demonstração. Partimos da definição das transformadas: F(s) = L{f(t)} = ∫₀⁽⁻∞⁾ f(t)e⁻ˢᵗdt (5.5.3) e G(s) = L{g(τ)} = ∫₀⁽⁻∞⁾ g(τ)e⁻ˢᵗdτ. (5.5.4) Logo, F(s)G(s) = ∫₀⁽⁻∞⁾ f(t)e⁻ˢᵗdt ∫₀⁽⁻∞⁾ g(τ)e⁻ˢʳdτ = ∫₀⁽⁻∞⁾ f(t) ∫₀⁽⁻∞⁾ g(τ)e⁻ˢ⁽ᵗ⁺ʳ⁾dτdt Mantemos t fixo e fazemos a mudança de variável v = t + τ para obter: F(s)G(s) = ∫₀⁽⁻∞⁾ f(t) ∫ₜ⁽⁻∞⁾ g(v − t)e⁻ˢᵛdvdt Agora, vamos mudar a ordem de integração na região que é a metade inferior do primeiro quadrante: em vez de variar v em [t,∞] depois t em [0,∞], primeiro vamos variar t em [0,v], depois v em [0,∞], ou seja, F(s)G(s) = ∫₀⁽⁻∞⁾ ∫₀ᵛ f(t)g(v − t)e⁻ˢᵛdtdv = ∫₀⁽⁻∞⁾ ( ∫₀ᵛ f(t)g(v − t)dt ) e⁻ˢᵛdv = ∫₀⁽⁻∞⁾ (f * g)e⁻ˢᵛdv = L{f * g} Exemplo 5.6.2. Vamos calcular a transformada inversa de s/(s−1)(s²+1). Primeiro, observamos que a expressão pode ser escrita como um produto de duas funções da tabelas: s/(s−1)(s²+1) = 1/(s−1) 1/(s²+1), (5.5.6) onde L⁻¹{1/(s−1)} = eᵗ e L⁻¹{s/(s²+1)} = cos(t). Usando a propriedade 5.6.1 da convolução, temos L⁻¹{1/(s−1) s/(s²+1)} = ∫⁰ᵗ eᵗ cos(t − τ)dτ. (5.6.0) A convolução acima foi calculada no exemplo 5.6.1, logo L⁻¹{1/(s−1) s/(s²+1)} = ½ (eᵗ − cos(t) + sen(t)). (5.6.1) Exercícios E 5.6.1. Encontre por integração: a) 1 * 1 b) t * eᵗ c) 1 * cos(ωt) d) eᵏᵗ * e⁻ᵏᵗ 2 * 2 2 2 * ( ) ( ) * )( )1 ( * ) ( ) ( * 1 ) ( ( ) : 1 2 2 2 2 0 2 0 0 0 0 0 t g f t t t t g f d t d g f d t g f d g f t g f t g t f t Ex t t t t t t = = − = − = − = − = − = = =               ( )   1 * 1 * )1 ( ) ( * ) ( ) ( * ) )( ( * ) ( ) ( * ) ( ( ) : 2 0 0 0 0 0 0 − − = − + − − = − − − − − = − − = − = − = − = = =     t e g f e te t te g f e te t te e e te g f e d te d g f e d t g f d g f t g f e t g t f t Ex t t t t t t t t t t t t t t                ( )   t t g f t t t t t t t g f d d t g f d t g f d g f t g f t t g t f t Ex t t t t t t − = − − − − = − − = − = − = − = = =     sinh( ) * (0) sinh( )) ( cosh( ) cosh( ) sinh( ) cosh( ) cosh( ) * ( sinh( )) ( sinh( )) * )(sinh( )) ( * ) ( ) ( * sinh( ) ) ( ( ) : 3 0 0 0 0 0 0                           6 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin( ) 1 sin( ) * ) ( )sin( ) ( ( )*sin( ) ) ( ª 2 3 4 1 2 1 1 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 t t t y s L s L Y L s s s s Y s s s Y s s Y s Y s Y Y s s Y t L y L s Y t L y L t y L d t y t t y t y t t t y espécie IntegralVolterra de Equação t + =   +   = + = + =  =      +  =      + −  =      + −       + + = + = + = − + = + = − − −     )1 ( )1 ( 1 1 )1 ( )1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )* ( ) 1( 1 sinh( ) ) ( ) ) ( 1( 1 sinh( ) ( ) : 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 − = − − −  =      − − − − − − =             + − − − =       + −       + − + − = + + − = − + + = −  s s Y s s s s s s s Y s s s s s s Y s s Y s s Y s s Y Y s s s s Y y t t t t y d y t t y t Ex t    cosh( ) ( ) t y t = ( )( ) ( )t t e t y e d e t y e e d t y d e t y e t t y s s Y s s Y s Y y sY y t y y Ex t t t t t t t t cos sin 2 1 ) ( sin( ) ) ( sin( ) ) ( sin( ) ) ( sin( )* ) ( 1 1 1 1 1 1 )1 ( 1 1 0) ( 0 (0) sin( ), ' : 5 0 0 0 ) ( 2 2 2 − − = = = = = − + = + = − + = − − = = −    − − −          ( ) 2 sin 2 cos ) ( cos( ) sin ( ) sin( ) sin( )cos( ) ) ( sin( )cos( ) sin( ) sin( )cos( ) ) ( ) sin( )sin( ) ( sin( )*sin( ) ) ( 1 1 1 1 1 1 )1 ( 1 1 (' 0) 0) ( 0 (' 0) ,0 (0) sin( ), '' : 6 0 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 t t t t y d t d t t y t d t t y d t t y t t t y s s Y s s Y s Y y sy Y s y y t y y Ex t t t t + − = − = − = − = = + + = + = + + = + − − = = = +                 Sobre Funções Singulares (material em pdf) ( ) ? ) ( ( )* ) ( ( ) ( ) : 7 0 = = = − − −  t y e u t t y d e u y t Ex t t t   