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1 Relatório de Cálculo 2 Nome: Data: Este documento tem como objetivo a resolução dos exercícios propostos. Sumário Continuidade de........................................................................................................................................... 1 Comprimento do cabo entre dois isoladores........................................................................................2 Função densidade de probabilidade......................................................................................................4 Temperatura em seção transversal de um bloco de concreto.........................................................4 Continuidade de f (x , y ) Uma função f (x , y ) é contínua se para todo (a,b)∈ D om (f ), vale: lim(x , y )→ (a,b) f (x , y )=f (a,b). Sendo assim, para determinar o valor de a tal que: f (x , y )={ x 2 y 2 √ y 2+1−1 ,se (x , y )≠ (0,0) a−4 ,se (x , y )=(0,0) precisamos calcular o limite de f (x , y ) quando (x , y ) tende para (0,0). Temos que: lim(x , y )→ (0,0) x 2 y 2 √ y 2+1−1 =lim(x , y )→ (0,0) x 2 y 2 √ y 2+1−1 ∙ √ y 2+1+1 √ y 2+1+1 ¿lim(x , y )→ (0,0) x 2 y 2(√ y 2+1+1) (√ y 2+1) 2−1 2 ¿lim(x , y )→ (0,0) x 2 y 2(√ y 2+1+1) y 2+1−1 ¿lim(x , y )→ (0,0) x 2 y 2(√ y 2+1+1) y 2 ¿lim(x , y )→ (0,0) x 2(√ y 2+1+1) ¿0 2⋅(√0 2+1+1) ¿0. Portanto, temos que: 2 f (0,0)=0↔a−4=0↔a=4. Comprimento do cabo entre dois isoladores Segundo o enunciado da questão, podemos expressar a curva formada pelo cabo por uma parábola. Desta forma, podemos representar o cabo no plano cartesiano, considerando como o vértice da parábola o ponto (0,0). Com este modelo, temos que −250≤ x ≤250, pois A=500. Além disso, f (−250)=f (250)=7. Assim, podemos determinar a equação de f . Temos que: f (x )=a x 2 3 pois o gráfico intercepta o eixo y quando y=0. Para encontrar o valor de a basta substituir x por 250 e y por 7: 7=a⋅ (250) 2→a= 7 250 2= 7 62500=1.12×10 −4. Logo, f (x )=1.12×10 −4 x 2. Para simplificar os cálculos vamos utilizar a função f (x )=a x 2 e no final substituímos a por 1.12×10 −4. O comprimento do cabo é dado pela integral: L0= ∫ −250 250 √1+(f ' (x )) 2dx onde: f ' (x )= d dx (a x 2)=2ax . Assim, temos que: L0= ∫ −250 250 √1+(2ax ) 2dx= ∫ −250 250 √1+4 a 2 x 2dx=2⋅∫ 0 250 √1+4 a 2 x 2dx Pois a função √1+4 a 2 x 2 é par. Além disso, considerando k=4 a 2, temos pelo formulário que: L0=2⋅[ x√1+4 a 2 x 2 2 + ln|√4 a 2+√1+4 a 2 x 2| 2√4 a 2 ]| 0 250 ¿2⋅( 250√1+4 (1.12×10 −4) 2250 2 2 + ln|√4 (1.12×10 −4) 2+√1+4 (1.12×10 −4) 2250 2| 2√4 (1.12×10 −4) 2 )−0 ≅502.20m Finalmente, vamos determinar a variação do comprimento do cabo para uma variação de 30ºC, considerando a equação de dilatação térmica linear: Δ L=L0⋅α ⋅ ΔT Onde L0=502.20m, α=18.9×10 −6 / °C e ΔT=30°C. Portanto: Δ L=502.20⋅18.9×10 −6⋅30≅0.28m 4 Função densidade de probabilidade A partir de uma função densidade de probabilidade f (x ) podemos calcular a probabilidade de a≤ x ≤b pela equação: P (a≤ x ≤b)=∫ a b f (x )dx Assim, considerando a função densidade de probabilidade f (x )=0.002e −0.002 x podemos calcular as seguintes probabilidades: (a) P (0<x<600)=∫ 0 600 0.002e −0.002 x dx=−e −0.002 x|0 600=(−e −0.002⋅600)−(−e 0) ¿−e −1.2+1≅−0.301+1=0.699. (b) P (x>600)=1−P (0<x<600)=1−0.699=0.301. Temperatura em seção transversal de um bloco de concreto Primeiramente, vamos representar em um mesmo gráfico os limites da seção transversal do bloco de concreto e as curvas de nível da função temperatura T (x , y )=36−x 2− y 2: 5 As curvas de nível são dadas pela equação T (x , y )=C, no exemplo acima escolhemos os seguintes valores de C :0,11,20,28,32,35,36. Em seguida vamos determinar o vetor gradiente de T: ∇T (x , y )=( ∂T ∂ x , ∂T ∂ y)=( ∂ ∂ x (36−x 2− y 2), ∂ ∂ y (36−x 2− y 2))=(−2 x ,−2 y ). Com isso, podemos fazer uma análise da temperatura na seção transversal do bloco:  Partindo do ponto (1,1) a temperatura aumenta na direção do vetor gradiente ∇T (1,1)=(−2,−2), ou seja, aumenta em direção ao centro. 6  Partindo do ponto (−1,−1) a temperatura aumenta na direção do vetor gradiente ∇T (−1,−1)=(2,2), ou seja, aumenta em direção ao centro.  Partindo do ponto (0,0) a temperatura não aumenta, pois o vetor gradiente é: ∇T (1,1)=(−2,−2), ou seja, aumenta em direção ao centro. A partir da análise do vetor gradiente e da equação de T, temos que o ponto mais quente da seção transversal é o centro, cuja temperatura é: T (0,0)=36−0 2−0 2=36°C . Por outro lado, as regiões mais frias são as extremidades da seção transversal, cujas temperaturas coincidem e são dadas por: T (2,2)=T (−2,2)=T (−2,−2)=T (2,−2)=36−2 2−2 2=36−4−4=28°C . Por fim, supondo que a temperatura de deposição do concreto era de 28°C e que uma elevação de temperatura superior a 4°C provoque a fissuração térmica, temos que a região em que as fissuras poderiam acontecer neste instante é: T (x , y )>28↔36−x 2− y 2>28↔ x 2+ y 2<36−28↔ x 2+ y 2<4 , isto é, a região do interior da circunferência centrada na origem e de raio 2. Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Prova: 03 Prof. Roberto Pettres Estudante ____________________________________ 1. 2. Em virtude da variação térmica e da carga dos condutores, os mesmos sofrem dilatação, fazendo com que o cabo varie seu comprimento, tornando se em determinadas situações mais comprido e em outra mais curto. As linhas de transmissão deverão ser projetadas para que esta dilatação não resulte em um aumento da flecha, assim comprometendo a segurança do sistema, esta flecha é definida como a distância entre o ponto mais baixo da linha e uma referência reta imaginária interligando os isoladores de ancoragem como representado pela letra F na figura abaixo. Os dados utilizados são baseados em rede de alta tensão 230 kV, com cabo CAA 763 KCM com coeficiente de dilatação de 18,9x10-6, localiza em zona rural, onde as torres possuem uma altura de 26 metros de altura até o isolante (H) e de 500 metros de distância representada pela letra A, necessitando de um vão livre de no mínimo 7 metros de altura em sua parte mais baixa (F) (dados retirados da NBR 5422). Calcule o comprimento do cabo entre dois isoladores, supondo que a curva se aproxima de uma parábola, e a variação no comprimento do cabo para uma variação de temperatura de 30 oC. Figura 1: Linha de transmissão. Sugestões: Fixe como (0, 0) o ponto mais baixo a curva e 3. Numa fábrica de circuitos impressos, a vida útil desses circuitos tem uma distribuição descrita pela densidade de probabilidade f(x) = 0.002 e −0.002x se x ≥ 0, onde x é medido em horas. (a) Qual é a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de 600 horas? (b) Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após 600 horas 4. Reação de hidratação O concreto armado é o elemento estrutural mais usado no mundo por conta do seu alto custo-benefício. Além da resistência que pode adquirir, possui um custo relativamente baixo comparado com outras alternativas de construção. Porém, os cuidados que se deve tomar com o concreto para garantir a sua eficiência e sua durabilidade são grandes. Um desses cuidados refere- se às ações para combater o calor de hidratação do cimento na mistura do concreto. O processo de hidratação do cimento é exotérmico, ou seja, libera calor enquanto a reação química ocorre. Parte deste calor liberado é absorvido pelo próprio concreto, elevando a temperatura da mistura. Devido ao crescimento do número de edifícios cada vez mais altos, a execução de peças muito robustas, com grande volume de concreto, passou a ser comum nas obras mais convencionais, e não mais apenas em obras especiais, como barragens e pontes. A produção de grandes volumes de concreto, portanto, necessita de cuidados especiais para que a temperatura no interior do concreto seja dissipada antes de atingir valores muito altos, o que pode causar fissuração interna do concreto e, consequentemente, perda de resistência. O nome dado a este fenômeno é calor de hidratação, que é um problema térmico de natureza intrínseca do concreto. E todo concreto que necessite de estudos prévios para o controle deste problema é chamado de concreto massa. Em geral, os problemas por elevação descontrolada do calor de hidratação aparecem no sétimo dia, quando as reações internas diminuem e a temperatura do concreto começa a cair. São muitos fatores que influenciam a temperatura interna final atingida pelo concreto: tipo do cimento, quantidade de água, temperatura ambiente, temperatura de lançamento do concreto, espessura das camadas de concreto etc. Para evitar o problema térmico no concreto, deve-se fazer uma análise aprofundada de todos os fatores que podem resultar no aumento de temperatura no seu interior e controlar o que possivelmente poderá vir a ser um problema para a estrutura. APLICAÇÃO: Supondo que a distribuição de temperatura em certo instante em uma seção transversal de um bloco de concreto seja dada por T(x,y) = 36 - x 2 - y 2 (em °C) , cujas arestas da seção transversal tem vértices iguais a (-2, -2), (2, -2), (2, 2) e (-2, 2), determine: a) As curvas de nível de T(x,y). b) O vetor gradiente de temperatura. c) Partindo do (1, 1), em qual direção a temperatura aumenta. d) Partindo do ponto (-1, -1), em qual direção a temperatura aumenta. e) Partido do ponto (0, 0), em qual direção a temperatura aumenta. f) Quais são as temperaturas máxima e mínima na seção transversal? g) Supondo que a temperatura de deposição do concreto era de 28 ° C e que uma elevação de temperatura superior a 4 °C provoque a fissuração térmica, indique a região onde tais fissuras poderiam ocorrer naquele instante.