Lista de Exercícios 1 Módulo3-2023 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN´A SETOR DE CIˆENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM´ATICA Lista 1 - M´odulo 3 - CM043 1. Em cada um dos itens abaixo, calcule: (i) as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica; (ii) o Wronskiano das correspondentes solu¸c˜oes; (iii) a f´ormula para a solu¸c˜ao geral. (a) y′′′(t) − y′′(t) − y′(t) + y(t) = 0 (b) y′′′(t) − 3 y′′(t) + 3 y′(t) − y(t) = 0 (c) y(4)(t) − 4 y′′′(t) + 4 y′′(t) = 0 (d) y(4)(t) − 5 y′′(t) + 4 y(t) = 0 (e) y(5)(t) − 3 y(4)(t) + 3 y′′′(t) − 3 y′′(t) + 2 y′(t) = 0 2. Em cada um dos itens abaixo, determine a solu¸c˜ao do PVI dado e examine o comportamento da solu¸c˜ao conforme t → +∞. (a) y′′′(t) + y′(t) = 0 ; y(0) = 0 , y′(0) = 1 , y′′(0) = 2 (b) y(4)(t) + y(t) = 0 ; y(0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = −1 , y′′′(0) = 0 (c) y(4)(t) − 4 y′′′(t) + 4 y′′(t) = 0 ; y(1) = −1 , y′(1) = 2 , y′′(1) = 0 , y′′′(1) = 0 (d) y′′′(t) − y′′(t) + y′(t) − y(t) = 0 ; y(0) = 2 , y′(0) = −1 , y′′(0) = −2 (e) 2 y(4)(t) − y′′′(t) − 9 y′′(t) + 4 y′(t) + 4 y(t) = 0 ; y(0) = −2, y′(0) = 0, y′′(0) = −2, y′′′(0) = 0 (f) 4 y′′′(t) + y′(t) + 5 y(t) = 0 ; y(0) = 2 , y′(0) = 1 , y′′(0) = −1 (g) 6 y′′′(t) + 5 y′′(t) + y′(t) = 0 ; y(0) = −2 , y′(0) = 2 , y′′(0) = 0 3. Para cada um dos PVIs abaixo: (i) determine yh(t), a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao homogˆenea; (ii) determine uma solu¸c˜ao particular yp(t) da equa¸c˜ao n˜ao-homogˆenea, utilizando o MCI; (iii) determine a solu¸c˜ao do PVI. (a) y′′′(t) + 4 y′(t) = t ; y(0) = y′(0) = 0 ,, y′′(0)1 (b) y(4)(t) + 2 y′′(t) + y(t) = 3 t + 4 ; y(0) = y′(0) = 0 , y′′(0) = y(0) = 1 (c) y′′′(t) − 3 y′′(t) + 2 y′(t) = t + et ; y(0) = 1 , y′(0) = − 1 4 , y′′(0) = − 3 2 (d) y(4)(t) + 2 y′′′(t) + y′′(t) + 8 y′(t) − 12 y(t) = 12 sen t + e−t ; y(0) = 3 , y′(0) = 0 , y′′(0) = −1 , y′′′(0) = 2 4. Nos itens abaixo, considere que pretende-se utilizar o MCI e proponha (sem calcular!) uma forma adequada para a solu¸c˜ao yp(t). (Lembre-se de calcular as solu¸c˜oes L.I. da equa¸c˜ao homogˆenea e evite que yp(t) contenha algum termo que seja uma solu¸c˜ao homogˆenea!) (a) y′′′(t) − 2 y′′(t) + y′(t) = t3 + 2 et (b) y′′′(t) − y′(t) = t e−t + 2 cos t (c) y(4)(t) − 2 y′′(t) + y(t) = et+ sen t (d) y(4)(t) + 4 y′′(t) = sen 2 t + t et + 4 (e) y(4)(t) − y′′′(t) − y′′(t) + y′(t) = t2 + 4 + t sen t (f) y(4)(t) + 2 y′′′(t) + 2 y′′(t) = 3 et + 2 t e−t + e−t sen t 5. Considere o seguinte PVI: y(4)(t) + 2 y′′(t) + y(t) = sen t ; y(0) = 2 , y′(0) = 0 , y′′(0) = −1 , y′′′(0) = 1 . (a) Determine yh(t), a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao homogˆenea; (b) Utilize o MVP para determinar yp(t), a solu¸c˜ao particular da equa¸c˜ao n˜ao-homogˆenea; (c) Determine a ´unica solu¸c˜ao do PVI. 6. Dada a EDO x3 y′′′(x) + x2 y′′(x) − 2 x y′(x) + 2 y(x) = 2 x4, com x > 0, (a) Mostre que y1(x) = x , y2(x) = x2 e y3(x) = 1 x s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao homogˆenea; (b) Calcule W(y1(x), y2(x), y3(x)) ; (c) Use o MVP para determinar yp(x), a solu¸c˜ao particular da equa¸c˜ao n˜ao-homogˆenea. (Lembre-se de considerar o coeficiente de y′′′(x) igual a 1) 7. Considere a equa¸c˜ao y′′′(t) − y′′(t) + y′(t) − y(t) = g(t) , onde g(t) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua. (a) Determine 3 solu¸c˜oes L.I. para a equa¸c˜ao homogˆenea; (b) Calcule o Wronskiano das solu¸c˜oes obtidas no item anterior; (c) Utilize o MVP para expressar a solu¸c˜ao particular yp(t) atrav´es de uma integral. Respostas l. (a)r, =r, =1,r, =—-1; W(e',te’,e') =4e'; y(t) =c,e' +e,te’+e,e% (b) r, =r, =r, =1; W(e',te’,t? ce) = 2°; y(t) =c,ei +e,te +e,tet (c)r, =r, =0,7r, =r, =2; W(1,t, e?*,te?") = 16e** ; y(t) =c, +e,t +c, e?* +, te?! (d)r, =1,r,=—l,r,; =2,r,=-2; We',e*,e?*,e°-7") = 72; y(t) =c, e' +e, e' +e, e?' +c, e°7! (e)r, =O,r, =1,r, =2, 7, =i, 75 = -4; W(1, e!, e?", cos t, sen t) = 10 e3¢ y(t) =c, +c,e' +c, €7' +e, cost +c, sent 2. (a) y(t) =2—2cost+ sent; y(t) apresenta oscilacao limitada 1 1 (b) y(t) = 3 e/V2 sen (t/V/2) — sel? sen (t/V/2) ; y(t) apresenta oscilagao crescente (c) y(t) =2t—3; y(t) > +co (de forma linear) (d) y(t) =2 cost— sent; y(t) apresenta oscilacao limitada 2 1 1 16 (e) y(t) = -3 ef — 10 et — S e 2t is e 2. y(t) + —0o 2 ot 4 24 aye 34/2 Tack (f) y(t) = B° + 13 © /? cos t+ ° /2 sent; y(t) apresenta oscilacdo crescente (g) y(t) =8— Be" +8e?; y(t) +8 3 1 3. (a) y(t) = 1 (b> cos 2) "8 ? (b) y(t) = (t— 4) cos t— (5t+4) sen t+3t+4 1 (c) y(t) =1+ qe + 3t) —te! 2 4 1 81 73 77 A9 (d) y(t) =~ cos t— = snt+ 556 ' +376 + aye + Ge cos 2t- 735 sen 2t 4. (a) y,(t) =t(A,t?+ 4,0? + A,t+A,)+ Bee! (b) y,(t) =t(A,t+ A,)e* + Bcost+C sent (c) y,(t) = At? e' + B cost +C sen t (d) y,(t) = At? + (Bt + B,) e' +t(C cos 2t + D sen 2t) (ce) y,(t) =t (A, t? + A, t+ A,) + (Bo t+ B,) cost+(C)t+C,) sent (f) y,(t) = Ae’ + (B,t+ B,)e*+te*(C cost + D sen t) 5. (a) y,(t) =¢, cost+c, sent+c,t cost+c,tsent 1 (b) y, (t) = “3 t? sen t 7 7 1 1 (c) y(t) =2 cost + = sen t — et cos t+ >t sen t— = t° sen t 6 xt 6. (b) W(y, (©), Yo(2), Ys (@)) = a (c) y, (x) = 15) 7. (a) y, = (t) =e, y,(t) = cos t, y,(t) = sen t (b) W (4 (4), Yo(t), s(t) = 2e" (c) y,(t) = fle sen (s — t)— cos (s — t)| as) ds