Método dos Deslocamentos-2018-2

02/10/2018 1 PR 3 Método dos Deslocamentos Prof. Gavassoni 3.a Introdução Prof. Gavassoni Método das Forças Determinar reações de apoio de estruturas hiperestáticas Equações de Equilíbrio Equações de Compatibilidade Leis Constitutivas 02/10/2018 2 3.a Introdução Prof. Gavassoni Método dos Deslocamentos Determinar reações de apoio de estruturas hiperestáticas Equações de Compatibilidade Equações de Equilíbrio Leis Constitutivas ORDEM INVERSA 3.a Introdução Prof. Gavassoni Método dos Deslocamentos A idéia é somar uma série de soluções básicas que satisfazem a compatibilidade, mas não o equilíbrio da estrutura hiperestática original para depois superpor os efeitos (Lei Constitutiva) e reestabelecer o equilíbrio. P2 P1 P3 02/10/2018 3 3.a Introdução Prof. Gavassoni Método dos Deslocamentos A estrutura usada para superposição das soluções básicas é chamada Sistema Hipergeométrico (SH). O SH é uma estrutura hiperestática (mas cinematicamente determinada). P2 P1 P3 O SH é obtido pela adição de vínculos e os deslocamentos são vistos como as incógnitas do problema. P2 P1 P3 X1 X7 X2 X3 X5 X4 X6 a) Introdução b) Deslocabilidades c) Metodologia de análise d) Determinação do vetor dos termos de carga e) Determinação da matriz de rigidez f) Sequência de resolução do método g) Vigas hiperestáticas h) Pórticos planos hiperestáticos com barras inextensíveis i) Pórticos planos hiperestáticos com barras extensíveis j) Efeitos de temperatura k) Recalque Prof. Gavassoni 3 – Método dos Deslocamentos 02/10/2018 4 Prof. Gavassoni Caso Original (g = 2) Caso Básico 1 Caso Básico 2 Caso Básico 0 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Prof. Gavassoni Caso Básico 7 Caso Básico 4 Caso Básico 3 Caso Básico 6 Caso Básico 5 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades 02/10/2018 5 Prof. Gavassoni A configuração deformada de uma estrutura (regime linear) pode ser parametrizada em função das rotações e deslocamentos dos nós Deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações nodais que estão livres (não determinadas) As deslocabilidades são as incógnitas do método dos deslocamentos 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Prof. Gavassoni A configuração deformada de uma estrutura (regime linear) pode ser parametrizada em função das rotações e deslocamentos dos nós Deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações nodais que estão livres (não determinadas) As deslocabilidades são as incógnitas do método dos deslocamentos 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades No pórtico anterior haviam 7 deslocabilidades 02/10/2018 6 Prof. Gavassoni Deslocabilidades Internas - Di 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Considere que as barras não mudam de comprimento – Barras inextensíveis D é indeslocável C não tem DV C não tem DH (ligado a D) C pode girar – um deslocamento desconhecido B não tem DV (A) B não tem DH (D) A é indeslocável D1 B pode girar – um deslocamento desconhecido D2 Prof. Gavassoni Deslocabilidades Internas - Di Número de nós internos rígidos que uma estrutura possui 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades D1 D2 Di=2 rotações 02/10/2018 7 Prof. Gavassoni Deslocabilidades Externas - De 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Nós rotulados Di=0, rotação relativa conhecidas A é indeslocável B é indeslocável C é indeslocável D não tem DV (A) Considere que as barras inextensíveis D tem DH – deslocamento desconhecido D1 Prof. Gavassoni Deslocabilidades Externas - De 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Nós rotulados Di=0, momentos conhecidos G não tem DV (C) Considere que as barras inextensíveis D tem DH – deslocamento desconhecido D1 D2 E não tem DV (B) E tem DH = ao do nó D F indeslocável = dois nós indeslocáveis (E,G) 02/10/2018 8 Prof. Gavassoni Deslocabilidades Externas - De 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Nós rotulados Di=0, rotação relativa conhecidas Considere que as barras inextensíveis Apenas os DH dos nós D e G são independentes, D1 D2 Os DHE,F são função de DHD,G Prof. Gavassoni Deslocabilidades Externas - De 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades D1 D2 Número de apoios do 1º gênero que precisamos acrescentar para que todos os nós fiquem sem deslocamentos lineares De=2 d=Di + De 02/10/2018 9 Prof. Gavassoni Exemplos 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Di=? D2 D1 D3 Di = 3 D4 De=? D5 De = 2 d = 5 Prof. Gavassoni Exemplos 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Di=? D2 D1 D3 Di = 3 D4 De=? D5 De = 2 d = 5 02/10/2018 10 Prof. Gavassoni Exemplos 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Di=? Di = 8 De=? De = 4 d = 12 Prof. Gavassoni Exemplos 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Di=? Di = 4 De=? De = 3 d = 7 02/10/2018 11 Prof. Gavassoni Exemplos 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Di=? Di = 4 De=? De = 1 d = 5 Vinculando as duas barras horizontais os nós das barras inclinadas ficam ligados a dois nós indeslocáveis Prof. Gavassoni Exemplos 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Di=? Di = 1 De=? De = 0 d = 1 Externamente indeslocável 02/10/2018 12 Prof. Gavassoni Exemplos 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Di=? Di = 1 De=? De = 1 d = 2 Estrutura equivalente Prof. Gavassoni Edifícios de múltiplos pavimentos 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Barras Inextensíveis d = 4+2 = 6 Barras Extensíveis d = 4+8 = 12 02/10/2018 13 Prof. Gavassoni Edifícios de múltiplos pavimentos – Contraventamento parcial 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Barras Inextensíveis d = 4+1 = 5 Barras Extensíveis d = 4+8 = 12 Prof. Gavassoni Edifícios de múltiplos pavimentos – Contraventamento Total 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades Barras Inextensíveis d = 4+0 = 4 Barras Extensíveis d = 4+8 = 12 Pórtico Indeslocável 02/10/2018 14 Prof. Gavassoni Resumo: 3.b Determinação do Número de Deslocabilidades 1 nó ligado a dois nós fixos (não alinhados) por duas barras inextensíveis fica também fixo; Caso o nó esteja ligado a um nó fixo por uma barra ou a dois nós fixos por 2 barras alinhadas, deve-se adicionar um apoio do 1º gênero; Um conjunto de barras inextensíveis agrupadas em um triângulo se comporta como corpo rígido; A consideração da inextensibilidade das barras não altera as deslocabilidades internas (rotações) Prof. Gavassoni 3.c Metodologia de Análise Exemplo – barras extensíveis   3 2 1    d E = 1,2 x 107 kN/m² I = 1,2 x 10-3 m4 02/10/2018 15 Prof. Gavassoni 3.c Metodologia de Análise Exemplo – barras extensíveis D1 = translação em x do nó B 3 Deslocabilidades D2 = translação em y do nó B D3 = rotação do nó B Prof. Gavassoni 3.c Metodologia de Análise Exemplo – barras extensíveis Existem infinitos valores de D1, D2, D3, que satisfazem as condições de compatibilidade, mas só 1 satisfaz o equilíbrio (resposta da estrutura ao carregamento). Quais são os valores de D1, D2 e D3 para que o nó interno esteja em equilíbrio? SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO: (SH) 02/10/2018 16 Prof. Gavassoni 3.c Metodologia de Análise SH – satisfaz compatibilidade, mas não equilíbrio Caso 0 Isola o carregamento externo no SH Prof. Gavassoni 3.c Metodologia de Análise Caso Básico 0 – SH com solicitação externa As forças e momentos nos apoios fictícios em função do carregamento externo são chamados de termos de carga. βi0 reação no apoio fictício associado à deslocabilidade i provocada pela solicitação externa O vetor dos termos de carga tem a dimensão do número de deslocabilidades. 02/10/2018 17 Prof. Gavassoni 3.c Metodologia de Análise Caso Básico 1 – SH com deslocamento unitário na direção de D1 Tabelamos as soluções fundamentais: Caso 1 D1 isolada no SH Quais as reações? - A estrutura não é livre para mover-se. Aplicar um deslocamento ,D1, unitário (D1 = 1m) As forças que aparecem nos apoios fictícios quando um deslocamento unitário é aplicado na direção da deslocabilidade. Kij coeficientes de rigidez Kij Deslocamento aplicado Apoio 3.c Metodologia de Análise Caso Básico 2 02/10/2018 18 3.c Metodologia de Análise Caso Básico 2 Caso 2 Aplicar um deslocamento, D2, unitário (D2 = 1m) Caso 3 Aplicar uma rotação, D3, unitária (D3 = 1rad) 3.c Metodologia de Análise Caso Básico 3 02/10/2018 19 Prof. Gavassoni 3.c Metodologia de Análise Superpondo os casos básicos (0, 1) restabelecemos o equilíbrio de deslocamentos Aplicar equilíbrio nos nós. A resultante é zero. D1 = 0,405 x 10-3 m D2 = -1,048 x 10-3 m D3 = -0,753 x 10-3 rad Prof. Gavassoni 3.c Metodologia de Análise Equação Matricial do Método dos Deslocamentos – uma equação de Equilíbrio de 3 sistemas que satisfazem a compatibilidade mas não o equilíbrio em separado         1 1 1 0 0 dx dx dxd dx D k    0} – Vetor dos termos de carga – depende do carregamento externo k – Matriz de rigidez – depende apenas da estrutura e é simétrica (teorema de Maxwell) D} – Vetor das deslocabilidades 02/10/2018 20 Prof. Gavassoni 3.d Determinação dos Esforços Internos Superposição dos Efeitos Exemplo – Momentos fletores:       d i MiDi M M 1 0 Prof. Gavassoni 3.e Determinação do Vetor dos Termos de Carga Método das Forças – SH é hiperestático i0 – Reação na direção da deslocabilidade i causado pela solicitação real (0). Número de elementos igual a d. SISTEMA PRINCIPAL – SP: DIAGRAMA DE MOMENTOS: Caso 0 Caso 1 02/10/2018 21 Prof. Gavassoni 3.e Determinação do Vetor dos Termos de Carga Método das Forças – SH é hiperestático Prof. Gavassoni 3.e Determinação do Vetor dos Termos de Carga Método das Forças – SH é hiperestático Tabela 02/10/2018 22 Prof. Gavassoni 3.e Determinação do Vetor dos Termos de Carga TABELAS Prof. Gavassoni 3.e Determinação do Vetor dos Termos de Carga TABELAS 02/10/2018 23 Prof. Gavassoni 3.e Determinação do Vetor dos Termos de Carga TABELAS {β0}1x1 número de elemento igual à deslocabilidade Reações, Forças e Momentos nos apoios fictícios. Convenção de sinais (sentidos positivos): deslocamentos e forças horizontais deslocamentos e forças verticais rotações e momentos externos Prof. Gavassoni 3.f Determinação da Matriz de Rigidez Método das forças - recalque kij – O deslocamento na direção do hiperestático i causado por deslocamento aplicado na direção da deslocabilidade j. 02/10/2018 24 Prof. Gavassoni 3.f Determinação da Matriz de Rigidez Método das forças - recalque Prof. Gavassoni 3.f Determinação da Matriz de Rigidez Método das forças - recalque 02/10/2018 25 Prof. Gavassoni 3.f Determinação da Matriz de Rigidez Método das forças - recalque Prof. Gavassoni 3.f Determinação da Matriz de Rigidez Método das forças - recalque TABELA DE COEFICIENTES DE RIGIDEZ 02/10/2018 26 Prof. Gavassoni 3.f Determinação da Matriz de Rigidez Tabelas Prof. Gavassoni 3.f Determinação da Matriz de Rigidez Tabelas 02/10/2018 27 Prof. Gavassoni 3.f Determinação da Matriz de Rigidez Tabelas Prof. Gavassoni 3.f Determinação da Matriz de Rigidez Pelo teorema de MAXWELL: Kij = Kji Posição do deslocamento aplicado Kij Matriz de rigidez é simétrica Posição do vínculo Forças e momentos necessários para equilibrar o sistema 02/10/2018 28 Prof. Gavassoni 3.g Seqüência do Método Passo 1 – Obter SH Passo 2 – Calcular vetor dos termos de carga Passo 3 – Calcular matriz de rigidez Passo 4 – Escrever a equação de equilíbrio Passo 5 – Determinar deslocabilidades Passo 6 – Determinar esforços internos Prof. Gavassoni 3.h Vigas Hiperestáticas Vigas Contínuas Ex. 3-1 02/10/2018 29 Prof. Gavassoni Obtenha os diagramas de esforços da viga abaixo: EI=6.104 kN.m2: Exercício 3.1 A B C Prof. Gavassoni 3.i Pórticos hiperestáticos Barras Inextensíveis Ex. 3-2, 3-3 02/10/2018 30 Prof. Gavassoni Obtenha os diagramas de esforços do pórtico abaixo: Barras inextensíveis Exercício 3.2 A B C D E Prof. Gavassoni Obtenha os diagramas de esforços do pórtico abaixo:Barras inextensíveis Exercício 3.3 A B C D 02/10/2018 31 Prof. Gavassoni 3.i Pórticos hiperestáticos Barras extensíveis Ex. 3-4 Prof. Gavassoni Obtenha os diagramas de esforços do pórtico abaixo: Barras extensíveis EA=2EI Exercício 3.4 A B C 6,00 m 4,00 m 10 kN 6 kN 02/10/2018 32 Prof. Gavassoni 3.i Pórticos hiperestáticos Barras extensíveis – variação de temperatura Ex. 3-5 Prof. Gavassoni Obtenha os diagramas de esforços do pórtico abaixo: Barras extensíveis – EA=2EI EIa=1kN.m2/OC – h = 30cm ( seção simétrica) Exercício 3.5 A B C 02/10/2018 33 Prof. Gavassoni 3.i Pórticos hiperestáticos Barras inextensíveis – variação de temperatura Ex. 3-6 Prof. Gavassoni Exercício 3.6 Obtenha os diagramas de esforços do pórtico abaixo: Barras inextensíveis – EIa=1kN.m2/OC – h = 50cm ( seção simétrica) A B C 02/10/2018 34 Prof. Gavassoni 3.i Pórticos hiperestáticos Barras extensíveis – recalque Ex. 3-7 Prof. Gavassoni Exercício 3.7 Obtenha os diagramas de esforços do pórtico abaixo: Barras extensíveis – EA=2EI 02/10/2018 35 Prof. Gavassoni 3.i Pórticos hiperestáticos Barras inextensíveis – recalque Ex. 3-8 Prof. Gavassoni Exercício 3.8 Obtenha os diagramas de esforços do pórtico abaixo: Barras inextensíveis. Considere um recalque de 2 cm para baixo no apoio B e variação uniforme de temperatura em todas as barras de +20oC. EI=1.105kN/m2, a=1.10-5/oC D B C E A