Slide Integral Dupla-2022 1

C´alculo diferencial e integral de varias vari´aveis Juan Carlos Vila Bravo Universidade Federal do Paran´a UFPR CM202 Integral dupla Parte I Integral Dupla UFPR CM202 eee cy Revisao de integrais simples _ n=7 L IN Definimos a soma V \ , y=f(x) \ ) Sn = S> f(t;)Ax; + j=1 \| [| / chamada como soma \ de Riemann de f sobre [a, 5], 4| Ae onde Ax; = x; — Xj_1. ah x2 X, ty X34 X4's X; eX, hb x Il ll X X; Definicao Se a sequencia {S,} das somas de Riemann da fun¢ao f converge quando n tende para +oo e este limite é independente da escolha dos pontos t; nos subintervalos |x;_1, x;| dizemos que f é integrdvel no intervalo [a, b] e escrevemos: b n f(t) dt = lim f(t) )Ax; [ plim, 32 F(8) a {= eee cy Integral duplo de Riemann ' Definimos a soma stay eget) Sm = SFT dy iL chamada como soma de Riemann de f sobre R. Onde: |i a Ax; = Xi — Xi-1, Poon AR AY) = Yi ~ Yi-u- / | LB fp AA +65) bd if . AY, y ex Definicao Se a sequencia {Spm} das somas de Riemann da funcao f converge quando n em tendem para +co e este limite é independente da escolha dos pontos (x;,y;) nos sub-retangulos Ri; = [x;-1, xi] x [yj-1, yj] dizemos que f é integravel na regiao 7 e escrevemos: n m [ f Foey) ax dy = im SY FH. Ady, i=1 j=1 aK te)¢ctaa Toda fun¢ao continua definida numa regiao fechada e limitada R é integravel sobre R. ate) ¢-aa Seja R uma regiao fechada e limitada do plano. Se f é continua, exceto num conjunto de drea nula, entao f é integravel em R. Integral dupla Observa¸c˜ao conjuntos de comprimento nulo no reta: pontos. conjuntos de ´area nula no plano: pontos e curvas. conjuntos de volume nulo no espa¸co: pontos, curvas e superficies. UFPR CM202 Teorema Sejam f e g funcées integrdveis numa regiao R e X constante real. e Entao f + Ag é integrdvel sobre R e /I pag daa |/ pda+d | eda R R R @ Se f(x,y) >e(x,y), V(x, y) € R entao // f dA> II g dA R R @ I. f dal < ff |f| dA R R @ Sejam Ri e R2 duas regides de R?: int(R1)/M int(R2) = eR = Ri UR» entdo Jf eaa= | fdas ff f dA R Ri Rez eee cy Teorema de Fubini (primeira forma) Se f(x, y) for continua na regido retangular R = [a, b] x [c,d], entdo a integral dupla de f sobre R pode ser obtida através de integrais iteradas, ou seja: b b[ pd // f(x, y)dxdy = / A(x)dx = / / f(x, y)dy| dx R a a c 0 i \4_|_ oe y b ae oY x ou d d b // Flx.y)didy = | Ayy)dy = | / Hari dy R c Cc a 0 ~~ ies d io, 7 y Xx eee cy Teorema de Fubini (segunda forma) Seja f uma fun¢ao definida e continua num subconjunto limitado, fechado e nao retangular D C R?. YP) Se D conjunto de (x,y) € R?, tal que asx<b e gi(x) Sy < 2x). Neste caso D é chamado de regido do tipo I. Entao, a integral de f em D é calculado = 0G) é atraves da seguinte integral iterada a & b p2(x) // f(x, y)dxdy -| / f(x,y)dy| dx. D a 1(x) a Se D conjunto de (x,y) € R?, tal que , 1 a c<y<de oily) < x < do(y). i | 2 Neste caso D é chamado de regido do tipo II. x=¢itv) | *=er'S) Entdo, a integral de f em D é€ calculado ce oT 3 é atraves da seguinte integral iterada ' » d 2(x) // f(x, y)dxdy = / / f(x, y)dx| dy. D c o1(x) eee cy Areas e volumes usando integrais duplos @ Seja S = {(x,y,z) € R?: 0 <z < f(x,y), (x,y) € D} entao volume de (S$) = // f(x,y) dxdy D ; ; z »z=f(x,,y,) <a a; a z= fix y) | ee = J (x ¥) ———- ~=!°)h lh dt - y °F a ee : x (x; yy) x @ Seja R uma regido limitada de R? ent3o drea de (D) = /I 1 dxdy D Z » 2=f(x,y)=1 Jt . . ; eee cy Aplicacoes Sendo p(x, y) a funcdo que indica a densidade em cada ponto (x, y) de uma placa com a forma da regiao R. e@ A massa de uma placa com a forma da regiao R é dada por / | p(x,y) dA R @ O centro de massa de uma regido R é (x,y) onde / | xp(x, y)dA / | yp(x,y) dA x — JIR e y= lr Jf ona Jf oe) a R R @ O momento de uma lamina: Em torno do eixo-x é M,. = /I yp(x,y) dA R Em torno do eixo-y é My = /I xp(x,y) dA R onde p(x, y) é a fun¢do que indica a densidade de massa em cada ponto. @ O momento de inércia: Em torno do eixo-x é: k= /I y?o(x,y) dA R Em torno do eixo-y é: y= // x°p(x,y) dA R @ O momento de inércia em torno da origem (ou momento polar de inércia) é =k +h = // (x° + y*)p(x, y) dA R eee cy Exercicios: @ Em cada caso, esboce a regido e integracao e calcule a integral iterada se achar conveniente inverta a ordem de integracao 2 3 Q / / |x — 2|siny dx dy oO 1 @ / / ex dy dx 0 x2 @ Em cada caso, esboce a regido D e calcule a integral /I f(x, y)dA. D Escolha a ordem de integracao de modo a tornar o calculo mais simples. @ D={(x,y) eR? 0<x <1, 2x <y <2}; f(x,y) =e” @ D={(x,y)E Rs 0S y <8, Y¥VSx <2}; f(xy) =r" Integral dupla 3 Use integral dupla e calcule a ´area da regi˜ao D indicada na figura UFPR CM202