Lista 3-2023-2

CM312 - Calculo 2 ELTDA e BCC - 2sem2023 Prof. Diego Otero Lista de Exercicios 3 Problemas 1 Polinédmio de Taylor 1. Nos itens abaixo calcule 0 polindmio de Taylor de 2a ordem no ponto a € R? indicado e verifique que lim, ao = 0, onde rz é o resto de 2a ordem, isto é, v> 1 ra(v) = flat v) = (f(a) = VF(a) -v = 50" Ha), onde Of Of T Of, io 4 OF Of, 9 Vif(a)-v= 7g Dnt By vr e v' H(ajv= 52 whe + andy he + 92 F , com v = (h,k). a) f(x,y) =sen(2x) + cosy, a = (0,0). c) f(a, y) = In(2? + y? +1), a = (0,0). b) f(x,y) = ze¥, a = (1,0). d) f(x,y) = arctg(x + 2y), a = (1,0). 2 Maximos e Minimos 1. Determine os pontos criticos das fungdes abaixo e classifique-os: a) z= 22? + ry + 3y? + 102 — 9y + 11. f) z= ay. — 3 24,23 b) =a soy @) z= Ya? + ley + dy? — ba — 1dy c) z=yV/ax—-y*? —x4 by. = _ —(x? +ayt+y”) d) z= y! + 4e2y — 42? — 8y?. h) z= (5a + Ty — 25)e ; e) z =In(32? + 4y? — 22 +7). i) c= (a? + ye Ow), 2. Considere a fungao f(x,y) = ry (100 — = — re). Determine o maior valor de R tal que todos os pontos criticos de f no disco {(x, y);x? + y? < R?} sejam pontos de sela. 3. (Método dos Quadrados Minimos) Dados n pontos distintos x1,...,7%, € Re n valores Y1,;---,Yn © R (nao necessariamente distintos), em geral é impossivel encontrar uma reta dada pelo grafico de f(a) = ax + b que passa por todos os pontos (2;,y;), isto é, tal que f(x;) = y, i= 1,...,n. Porém podemos tentar encontrar uma tal funcao f de modo a tornar o “erro total quadrado” E(a,b) = d—(F (x) — yi)” i=l o menor possivel. Determine os valores de a,b que tornam o erro acima 0 menor possivel. 4. Estenda o Método dos Quadrados Minimos para o espaco tridimensional. Isto é, encontre uma fungao do tipo f(x,y) = ax + by +c tal que o erro total quadrado E(a,b, ) = Sof (zi, yi) _ zi), i=l 1 seja o menor possivel, onde (2x;,y;) € R? sao pontos distintos e z; € R, nao necessariamente distintos, 7 = 1,...,n. 5. Sejam 21,..., Zn € R™ pontos distintos. Para x € R™, defina f(x) = 7), ||x — z;||?.. Mostre que f tem um minimo no ponto a = ty z;. Este ponto a é chamado de centroide dos pontos By +++ 5 Sn. 3 Multiplicadores de Lagrange 1. Para despachar um pacote em formato retangular (paralelepipedo), uma companhia aérea imp6e a condicgéo que a soma da altura do pacote mais o perimetro da secao transversal a altura do pacote, seja de no maximo 120cm. Seguindo essa condigao, qual é o maior volume que um pacote pode ter ao ser despachado? 2. Encontre os pontos da elipse x7 + zy + y? = 3 mais préximos e mais afastados da origem. 3. Sejam a,b > 0. Em cada um dos itens abaixo, faga o que se pede e interprete geometricamente. a) Encontre os pontos extremos de z = z/a+ y/b para r+y=l. b) Encontre os pontos extremos de z = 27+ y? para z/a+y/b= 1. 4. Encontre os extremos de z = cos? x + cos? y para x — y = 77/4. 5. Encontre os pontos da superficie 22 — xy = 1 que estao mais préximos da origem. 6. Encontre a menor distancia do ponto (1,0) até a parabola y? = 4z. 7. Qual é 0 ponto do plano x + 2y — z + 4 = 0 que esta mais proximo do ponto (1,1, 1). 8. Considere a funcao f(x,y) = 1-2? — y? definida em U = {(2,y) € R?;x > 0,y > 0}. Determine o plano tangente ao grafico de f que forma com os planos coordenados o tetraedro de volume minimo. 9. Determine a distancia entre as retas com equacoes paramétricas c(t) = (4¢-—2,t+ 3,5t-—1),t ER, e c(s) = (—2s—1,35,54+3),5 ER, 10. Seja f(x,y) = a(x? + y”) — 2ry, onde a E R. Faca o que se pede: a) Verifique que para todo a € Ro par (0,0) é ponto critico de f. b) Para cada valor a, classifique o ponto critico (0,0). c) Existem valores de a para os quais podemos afirmar que (0,0) é extremo global de f? 11. A temperatura no ponto (x,y,z) € R® é dada por T(z, y, z) = xy + yz. Determine os pontos da esfera x? + y? + z2 = 1 onde a temperatura é mais alta e onde 6 mais baixa. Justifique. 12. Determine as dimensoes de um paralelepipedo de volume maximo, com faces paralelas aos planos coordenados, de modo que uma das faces esta contida no plano z = 0 e a correspondente face oposta tem os seus vértices no paraboloide z = 4 — x? — y?, z > 0. 13. Um pentagono de 12 cm de perimetro é construido colocando-se um tridngulo isdsceles sobre um retangulo. Dentre esses pentagonos, determine as medidas dos lados daquele que tem area maxima. 14. Encontre os pontos da curva dada pela interseccao das superficies x? -—xry+y?— 2? = 1leaw?+y? = 1 que estao mais proximos da origem. 2 15. Encontre o volume minimo da regiao delimitada pelos planos « = 0, y = 0, z = 0 e por um plano tangente ao elipsoide x?/a? + y?/b? + z?/c? = 1 em um ponto no primeiro octante x > 0,y > 0,z > 0. 16. Encontre o valor maximo de Inz + ny+3lnz para (2, y, z) satisfazendo x? + y? + 2? = 5r?. Use o resultado para provar que para quaisquer numeros positivos a,b,c € IR temos b 5 abc? < 27 ("9 . 5 4 Extremos Globais em Compactos 1. Determine os extremos globais nas regides D indicadas a) f(x,y) =5—32 +4 4y, D éa regiao delimitada pelo triangulo de vértices (0,0), (4,0) e (4,5). b) f(x,y) = aye"), D = {(2,y) € Ra? +? < 2,0 < 0,4 > Of. c) f(t,y) = 20° +y", D= {(a,y) © R32? +y’ <1}. d) f(x,y) = 2a? -ayt+y? +72, D= {(x,y) © R*;-3 <@ <3,-3 <y < 3}. e) f(v,y) = (4% — 2) cosy, D = {(a,y) € R31 <a <3,-7 <y< Fh. 3