Trabalho Mecanica Geral 2 Resolvido-2022 2

1. Atividades Objetivo: Análise do equilíbrio de modelos estruturais discretos utilizando conceitos de energia. 2. Instruções gerais: • O trabalho 3 consta da solução das questões propostas no item 3 deste documento por grupos de 1 a 5 estudantes; • Este trabalho deve ser entregue em arquivo único extensão pdf via grupo teams do curso de Mecânica GERAL III 2022/01 até às 23 h 59 min do dia 28 de agosto de 2022; APENAS UM INTEGRANTE DE CADA GRUPO PRECISA ENVIAR O TRABALHO. • Os trabalhos devem ter todas as páginas numeradas e as questões respondidas na mesma ordem apresentada no item 3. Sem essa organização o trabalho será desconsiderado e a nota relativa ao mesmo será nula; • Trabalhos entregues fora do prazo e das regras estipuladas receberão avaliação e nulo; • O arquivo resposta deve conter o(s) nome(s) completo(s) do estudante(s), sem abreviações e sua(s) assinatura(s); Sem esses dados o trabalho será desconsiderado e a nota relativa ao mesmo será nula. • O trabalho tem valor entre 0 e 100 pontos; • A interpretação do texto é parte integrante do trabalho; • Se achar que falta algum dado, assuma-o, desde que coerente e realmente ausente, os resultados serão considerados; • Seja objetivo, sua nota será fruto da correção das informações e não da quantidade de palavras, se não souber a resposta opte por deixar em branco em lugar de dar respostas evasivas; • Não serão aceitas para avaliação as questões respondidas, quando aplicável, que não contenham o seu inteiro desenvolvimento (passos de desenvolvimento e cálculos intermediários para obtenção da resposta final); • A pontuação é apresentada junto das questões no item 3 deste documento; • Trabalhos com respostas idênticas referidas às questões sem resposta padronizada terão notas referentes a estas partes iguais a zero; • Respostas sem as devidas unidades, quando aplicável, serão consideradas erradas; • O uso de ferramentas computacionais só é permitido quando especificamente indicado. • Os dados não disponibilizados devem ser obtidos com o professor na aula do dia 17/08/2022 informando-se os componentes do grupo, ou pelo aplicativo teams também informando o nome dos participantes do grupo; 3. Atividades 3.1 Modelos Os modelos são descritos a seguir: Modelo 1 (Figura 1): Uma barra rígida de comprimento L que gira no plano com um ângulo θ(t) que varia no tempo t em torno de uma rótula sem atrito e sem massa. A massa pontual do sistema é igual a m e está aplicada na extremidade superior da barra. O conjunto está suportado por uma mola rotacional sem massa de rigidez C. A posição de referência é aquela vertical (θ=0). Figura 1 - Modelo 1 1. Considerando o modelo 1 da Figura 1, pedem-se: a. As equações da variação da energia potencial total do sistema (20 pontos) e da energia cinética (10 pontos) em termos das constantes do problema m, L, C e g do ângulo θ(t); b. Para o domínio de significado físico de θ plote o gráfico da energia potencial total utilizando C=2,0 N.m/rad; L=1,0 m e m=100 g (5 pontos); c. Determine a existência e as coordenadas dos pontos de equilíbrio neutro, estável e instável na curva obtida em b) (15 pontos); d. Determine analiticamente e mostre graficamente utilizando a curva obtida em b) as coordenadas dos pontos de retorno se a quantidade total de energia mecânica do sistema disponível para sua oscilação for de 0,500 J (10 pontos); e. Qual a máxima velocidade em rad/s da massa m para a quantidade de energia indicada em d) e para qual(is) coordenada(s) θ ela ocorre (10 pontos)? f. Refaça os itens b) e c) utilizando C=2,0 N.m/rad; L=1,0 m e m=310 g (30 pontos). a) Pode-se escrever uma expressão para a energia potencial U do sistema em função de 𝜃. Essa energia potencial vem de duas fontes: a energia potencial gravitacional 𝑚𝑔𝐿 cos 𝜃 e a energia potencial elástica 1 2 𝐶𝜃². Para melhor compreensão desse fenômeno, estabelece-se a linha 𝑦 = 0 no ponto mais baixo da trajetória, quando 𝜃 = 180°. Dessa forma, a energia potencial gravitacional é 𝑚𝑔𝐿(1 + cos 𝜃) e a energia potencial gravitacional máxima é 2𝑚𝑔𝐿. 𝑈(𝜃) = 𝑚𝑔𝐿(1 + cos 𝜃) + 1 2 𝐶𝜃2 (1) Pode-se estudar o máximo e o mínimo dessa função para obter, assim, a variação da energia potencial: Para isso, deriva-se a expressão 1 em relação a 𝜃 e iguala essa a expressão a zero. 𝑑𝑈 𝑑𝜃 = −𝑚𝑔𝐿 sin 𝜃 + 𝐶𝜃 = 0 Considerando que seja um ponto de mínimo potencial gravitacional (a julgar que 𝑚𝑔𝐿 cos 𝜃 diminui em 0° < 𝜃 < 180°): Então 𝑈𝑚í𝑛(𝜃) ocorre quando: 𝐶𝜃 = 𝑚𝑔𝐿 sin 𝜃 𝐶 = 𝑚𝑔𝐿 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜃 Como: lim 𝜃→0° 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜃 = 1 Para ângulos pequenos, 𝐶 ≅ 𝑚𝑔𝐿 O que implica em: • Se 𝐶 > 𝑚𝑔𝐿, não haverá um mínimo • Se 𝐶 < 𝑚𝑔𝐿, haverá um mínimo em ±𝜃𝑚í𝑛 Substituindo na expressão de 𝑈: 𝑈𝑚í𝑛(𝜃) = 𝑚𝑔𝐿(1 + cos 𝜃) + 1 2 𝐶𝜃2 𝑈𝑚í𝑛(𝜃) = 𝑚𝑔𝐿(1 + cos 𝜃) + 1 2 𝑚𝑔𝐿𝜃 sin 𝜃 Logo, a variação total de energia potencial é: ∆𝑈(𝜃) = 𝑚𝑔𝐿(1 − cos 𝜃) − (𝑚𝑔𝐿(1 − cos 𝜃) + 1 2 𝑚𝑔𝐿𝜃 sin 𝜃) ∆𝑈(𝜃) = − 1 2 𝑚𝑔𝐿𝜃 sin 𝜃 Com a condicionante: 𝐶 < 𝑚𝑔𝐿, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝜃 < 𝜃𝑚í𝑛 Caso 𝐶 > 𝑚𝑔𝐿, qualquer variação de 𝜃 implica em variação da energia mecânica total do sistema, considerando que a energia mecânica inicial é 𝐸𝑚(𝑖) = 2𝑚𝑔𝐿 Por conservação da energia mecânica, a variação da energia potencial total é a variação da energia cinética total: ∆𝑈 = −∆𝐾 ∆𝐾(𝜃) = 1 2 𝑚𝑔𝐿𝜃 sin 𝜃 Com a condicionante: 𝐶 < 𝑚𝑔𝐿, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝜃 < 𝜃𝑚í𝑛 Caso 𝐶 > 𝑚𝑔𝐿, qualquer variação de 𝜃 implica em variação da energia mecânica total do sistema, considerando que a energia mecânica inicial é 𝐸𝑚(𝑖) = 2𝑚𝑔𝐿 b) Para 𝐶 = 2.0 𝑁∙𝑚 𝑟𝑎𝑑, 𝐿 = 1.0 𝑚, 𝑚 = 100𝑔 = 0.100 𝑘𝑔: Verificando a condição 𝐶 < 𝑚𝑔𝐿 2 < 0.1 ∙ 9.8 ∙ 1.0 2 < 0.98 (𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜) Logo, qualquer 𝜃 ≠ 0 irá acrescentar energia mecânica do sistema considerando que a energia mecânica inicial é 𝐸𝑚(𝑖) = 2𝑚𝑔𝐿. 𝑈(𝜃) = 𝑚𝑔𝐿(1 + cos 𝜃) + 1 2 𝐶𝜃2 𝑈(𝜃) = 0.10 ∙ 9.8 ∙ 1.0(1 + cos 𝜃) + 1 2 ∙ 2.0𝜃2 𝑈(𝜃) = 𝜃2 + 0.98(1 + cos 𝜃) Seu gráfico: c) é a relação entre C e mgL que vai determinar se o equilíbrio é estável, instável ou neutro. • Caso 𝐶 < 𝑚𝑔𝐿, há uma posição de equilibrio instável e duas posição de equilíbrio estável. • Caso 𝐶 > 𝑚𝑔𝐿, há uma posição de equilibrio estável apenas. • Caso 𝐶 = 𝑚𝑔𝐿, existirá um intervalo em 𝜃 de equilíbrio neutro. No caso em específico nessa questão, 𝐶 > 𝑚𝑔𝐿, o que implica em uma posição de equilíbrio estável apenas, localizado em 𝜃 = 0° d) Agora sabe-se que qualquer variação de 𝜃 implica em variação da energia mecânica, pois sabe-se que 𝐶 > 𝑚𝑔𝐿. Considerando que foi dado ao sistema 0.500 J a mais do que o sistema já tinha em energia mecânica. Como temos apenas um ponto de equilíbrio estável, toda essa energia a mais se tornará energia potencial: 𝑈 = 0.500 + 2𝑚𝑔𝐿 = 𝜃2 + 0.98(1 + cos 𝜃) 0.500 + 2(0.1)(9.8)(1) = 𝜃2 + 0.98(1 + cos 𝜃) 2.46 = 𝜃2 + 0.98(1 + cos 𝜃) É uma equação transcendental pela presença do cosseno. Portanto, não há nenhuma forma de se determinar 𝜃 de forma analítica. Porém, graficamente, é possível: Cuja soluções são: 𝜃 = ±0,956726 𝑟𝑎𝑑 𝜃 = ±54,8164° e) Essa energia potencial a mais será convertida em energia cinética em 𝜃 = 0° 0.500 𝐽 = 𝑚𝑣2 2 𝑣 = √2(0.500) 0.1 𝑣 = 3,16228 𝑚 𝑠 f) Para 𝐶 = 2.0 𝑁∙𝑚 𝑟𝑎𝑑, 𝐿 = 1.0 𝑚, 𝑚 = 310𝑔 = 0.310 𝑘𝑔: Verificando a condição 𝐶 < 𝑚𝑔𝐿 2 < 0.31 ∙ 9.8 ∙ 1.0 2 < 3,038 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) Então: 𝑈(𝜃) = 𝑚𝑔𝐿(1 + cos 𝜃) + 1 2 𝐶𝜃2 𝑈(𝜃) = 3.038(1 + cos 𝜃) + 1 2 ∙ 2.0𝜃2 𝑈(𝜃) = 𝜃2 + 3.038(1 + cos 𝜃) Seu gráfico: É a relação entre C e mgL que vai determinar se o equilíbrio é estável, instável ou neutro. • Caso 𝐶 < 𝑚𝑔𝐿, há uma posição de equilibrio instável e duas posição de equilíbrio estável. • Caso 𝐶 > 𝑚𝑔𝐿, há uma posição de equilibrio estável apenas. • Caso 𝐶 = 𝑚𝑔𝐿, existirá um intervalo em 𝜃 de equilíbrio neutro. No caso em específico nessa questão, 𝐶 < 𝑚𝑔𝐿, o que implica em duas posições de equilíbrio estável e uma posição de equilíbrio instável. No caso, a posição de equilíbrio instável ocorre em 𝜃 = 0° Sabendo que as posições de equilibrio ocorrem quando 𝐶𝜃 = 𝑚𝑔𝐿 sin 𝜃, essa equação é transcendental, ou seja, não possui soluções analíticas. Porém, em um app de resolução de equações: 𝜃 = ±1,51678 𝑟𝑎𝑑 𝜃 = ±86,905°