Lista Física 3

Primeira Lista de Exercícios Física 3 2319 Duas cargas puntiformes q1 240 nC e q2 650 nC estão separadas por uma distância igual a 0100 m O ponto A está localizado na metade da distância entre as duas cargas o ponto B está a 0080 m da carga q1 e a 0060 m da carga q2 Figura E2319 Considere como zero o potencial a uma distância infinita das cargas Calcule a o potencial no ponto A b o potencial no ponto B c o trabalho realizado pelo campo elétrico para deslocar uma carga de 250 nC do ponto B até o ponto A 216 Identificar Pedese o número de elétrons em excesso isto é o número n de elétrons extras em cada esfera sabendo que as cargas são iguais e que a força de repulsão entre elas tem módulo F 333 1021 N Dados fornecidos distância entre centros r 200 cm módulo da força eletrostática F 333 1021 N cargas nas duas esferas são iguais mesmo sinal Variáveis a determinar n número de elétrons em excesso em cada esfera adimensional Preparar Usamos a lei de Coulomb módulo F k q2 r2 onde k é a constante eletrostática no vácuo k 89875517923 109 N m2 C2 q é a carga de cada esfera em coulomb r é a distância entre as cargas em metros Queremos n tal que q ne onde e é a carga elementar e 1602176634 1019 C Isolando q da lei de Coulomb q F r2 k Então n q e 1 e F r2 k Executar Primeiro convertemos a distância para metros r 200 cm 0200 m Calculamos r2 r2 0200 m2 00400 m2 Calculamos o numerador F r2 F r2 333 1021 N 00400 m2 1332 1022 N m2 Dividindo por k F r2 k 1332 1022 89875517923 109 1482360012 1032 C2 Agora extraímos a raiz quadrada para obter q q F r2 k 1482360012 1032 C 1217394708 1016 C Agora calculamos o número de elétrons n n q e 1217394708 1016 C 1602176634 1019 C 7598380114 102 Portanto numericamente n 7598380114 elétrons Como o número de elétrons deve ser um número inteiro arredondamos para o inteiro mais próximo n 760 elétrons em excesso por esfera Analisar Observação sobre o sinal a enunciado pergunta por elétrons em excesso portanto as cargas nas esferas seriam negativas mesmo sinal e o número 760 indica a magnitude do excesso de elétrons em cada esfera 2142 Identificar Pedese o campo elétrico resultante Eres no centro do quadrado direção sentido e módulo em função de q e a Dados lado do quadrado a unidade m módulo das cargas em cada vértice q unidade C configuração cargas q nos dois vértices superiores e cargas q nos dois vértices inferiores Notação adotada escolhemos o sistema de coordenadas com a origem no centro do quadrado eixo x apontando para a direita e eixo y apontando para cima Vetores unitários î direção x ĵ direção y Preparar Usaremos a expressão vetorial do campo elétrico devido a uma carga pontiforme qi localizada em ri avaliado no ponto r Eir k qi r ri r ri3 onde k 14πε0 é a constante eletrostática ou simplesmente k Avaliando no centro do quadrado r 0 Ei0 k qi ri ri3 Posições dos quatro vértices com origem no centro r1 a2 a2 topoesquerdo carga q r2 a2 a2 topodireito carga q r3 a2 a2 baixoesquerdo carga q r4 a2 a2 baixodireito carga q Distância do centro a qualquer vértice r ri a22 a22 a²4 a²4 a²2 a2 Logo ri3 a23 a³22 Para simplificar a expressão vetorial note que cada contribuição toma a forma Ei0 k qi ri ri3 22 k qi a³ ri 3 Portanto o campo resultante é Eres i14 Ei0 22 k a³ i14 qi ri Executar Calculemos o vetor i14 qi ri componente a componente Primeiro escreveremos qi ri para cada vértice q1 r1 qa2 a2 qa2 qa2 q2 r2 qa2 a2 qa2 qa2 q3 r3 qa2 a2 qa2 qa2 q4 r4 qa2 a2 qa2 qa2 Somando as componentes x e y i14 qi rix qa2 qa2 qa2 qa2 0 i14 qi riy qa2 qa2 qa2 qa2 4 qa2 2qa Assim i14 qi ri 0 2qa Substituindo na fórmula para Eres Eres 22 k a³ 0 2qa 22 k a³ 2qa ĵ 42 k q a² ĵ Portanto o vetor campo no centro é Eres 42 k q a² ĵ unidades NC O módulo valor absoluto do campo é Eres 42 k q a² Se preferirmos escrever k 14πε0 temse alternativamente Eres 424πε0 qa² ĵ 2 π ε0 q a² ĵ Analisar O campo aponta no sentido negativo do eixo y que definimos As componentes verticais dos campos se somam e as componentes x se cancelaram por simetria cargas esquerdas e direitas contribuem com sinais opostos iguais 4 2245 Identificar Pedido campo elétrico Er módulo direção e sentido para as cinco regiões radiais indicadas e gráfico de Er vs r Dados esfera pequena raio interno a raio externo b carga total 2q esfera grande raio interno c raio externo d carga total 4q Notaçãosistema simetria esférica escolhemos coordenadas esféricas com origem no centro r é a distância radial do centro k 14πε0 Preparar Princípio físico usado teorema de Gauss simetria esférica e propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático Em região onde existe material condutor em equilíbrio eletrostático E 0 dentro do metal A carga de um condutor isolado em equilíbrio se distribui nas superfícies se houver outro condutor concêntrico podem aparecer cargas induzidas nas superfícies internas do condutor externo Para uma superfície gaussiana esférica de raio r a lei de Gauss dá E dA Qint ε0 Er 4πr² Qint ε0 Er k Qint r² onde Qint é a carga total contida dentro da esfera de raio r Executar Analisamos cada região considerando Qint apropriada Região i r a Dentro da cavidade interna da esfera oca pequena não existe carga pontual nem carga distribuída a carga da pequena esfera está nas suas superfícies Portanto Qint 0 Pela lei de Gauss Er k Qint r² k 0 r² 0 Direçãosentido nenhum campo vetor nulo 5 Regiao ii a r b Esta regiao e o proprio material condutor da esfera oca pequena entre raios a e b Em equilıbrio eletrostatico no metal E 0 Portanto Er 0 Regiao iii b r c Aqui estamos no espaco vazio entre a superfıcie externa da esfera pequena raio b e a superfıcie interna da esfera grande raio c A carga interna contida em r b e apenas a carga total da esfera pequena que e 2q Assim Qint 2q Pela lei de Gauss simetria esferica Er k 2q r2 direcao radial sentido para fora outward pois q 0 Logo o vetor campo Er k 2q r2 ˆr b r c Regiao iv c r d Esta regiao e o material condutor da esfera oca grande entre c e d Em equilıbrio eletrostatico dentro do condutor E 0 Logo Er 0 para c r d Nota importante para que E 0 dentro do metal entre c e d deve existir carga induzida na superfıcie interna r c que anule o efeito das cargas internas Determinamos essa carga na parte b abaixo Regiao v r d Fora de ambas as esferas a carga total encerrada e a soma das cargas totais fornecidas no enunciado Qint 2q 4q 6q Pela lei de Gauss Er k 6q r2 direcao radial sentido para fora outward Assim Er k 6q r2 ˆr r d 6 Analisar Temos Err 0 r a 0 a r b k 2q r2 b r c 0 c r d k 6q r2 r d Vetorialmente Er 0 r a 0 a r b k 2q r2 ˆr b r c 0 c r d k 6q r2 ˆr r d Interpretacao fısica dentro dos condutores o campo e nulo no espaco entre as esferas o campo corresponde apenas a carga da esfera interna 2q enquanto fora de tudo vemos a carga total 6q O sentido e radial para fora porque as cargas sao positivas Grafico esquematico do componente radial Er em funcao de r 0 a b c d r Er 0 Er 2q r2 Er 6q r2 r Er Parte b Cargas nas superfıcies Determinar a carga total em cada superfıcie superfıcie internaexterna de cada esfera oca Raciocınio em equilıbrio dentro do metal o campo e zero Isso implica que a carga total encerrada por uma superfıcie gaussian a situada dentro do metal logo dentro da espessura do condutor deve ser zero Usamos isso para determinar cargas induzidas 7 1 Superfície interna da esfera oca pequena raio a Não há nenhuma carga no interior da cavidade a carga total da esfera pequena é 2q Numa esfera oca isolada sem carga dentro da cavidade nenhuma carga aparece na superfície interna Logo Q pequena interna 0 2 Superfície externa da esfera oca pequena raio b Como a carga total da pequena é 2q e a superfície interna tem carga zero toda a carga está na superfície externa Q pequena externa 2q 3 Superfície interna da esfera oca grande raio c Colocando uma superfície gaussian logo dentro do metal da esfera grande entre c e d devemos ter carga líquida encerrada igual a zero para que E 0 no metal Essa superfície gaussian encerra a pequena esfera com 2q e também a carga da superfície interna da grande Portanto a carga na superfície interna da grande deve ser tal que 2q Q grande interna 0 Q grande interna 2q 4 Superfície externa da esfera oca grande raio d A carga total declarada da esfera grande é 4q Essa totalidade se distribui entre sua superfície interna e externa portanto Q grande externa 4q Q grande interna 4q 2q 6q Resumo da parte b Q pequena interna 0 Q pequena externa 2q Q grande interna 2q Q grande externa 6q 2319 Identificar Pedidos VA VB e trabalho W campo para mover q test 250 nC de B para A Dados converter para coulomb ao usar nas fórmulas q1 240 109 C q2 650 109 C rA1 rA2 0050 m rB1 0080 m rB2 0060 m q test 250 109 C Preparar Potencial elétrico total devido a cargas puntiformes referência V 0 Vr k i qiri onde ri é a distância do ponto ao iésimo carregamento Trabalho realizado pelo campo ao deslocar uma carga de B para A W campo UB UA qtest VB VA pois U qtest V e W campo ΔU UB UA movendo de B para A Executar a Potencial no ponto A Aplicando a expressão do potencial no ponto A VA kq1rA1 q2rA2 Substituindo valores com rA1 rA2 0050 m q1rA1 240 109 0050 480 108 Cm q2rA2 650 109 0050 130 107 Cm Somando q1rA1 q2rA2 480 108 130 107 820 108 Cm Agora multiplicando por k VA k820 108 89875517923 109 820 108 V 73697924697 V Arredondando VA 737 102 V 737 V b Potencial no ponto B Aplicando a fórmula VB k q1rB1 q2rB2 kq10080 q20060 Calculemos os termos separadamente q1rB1 240 109 0080 300 108 Cm q2rB2 650 109 0060 10833 107 Cm Multiplicando por k e arredondando VB 704 102 V 704 V c Trabalho realizado pelo campo ao deslocar qtest de B para A Usamos Wcampo qtest VB VA Primeiro calculamos a diferença de potenciais VB VA 704024890397 736979246970 32954356573 V Agora multiplicamos por qtest 250 109 C Wcampo 250 109 32954356573 8238589143 108 J Arredondando Wcampo 824 108 J positivo indicando que o campo realiza trabalho positivo ao deslocar a carga do ponto B para A Analisar Tanto VA quanto VB são negativos porque a carga negativa q2 domina módulo maior e está relativamente próxima dos pontos considerados VA é mais negativo que VB isto é VA VB portanto VB VA 0 e o trabalho realizado pelo campo ao mover uma carga positiva de B para A é positivo o campo ajuda a mover a carga nessa direção