Estatistica Lista de Exercícios

Universidade Federal do Paraná Departamento de Eng Mecânica Disciplina Estatística Aplicada TMEC204 20251 Profa Sachiko A Lira LISTA DE EXERCÍCIOS NO 3 Atividade extraclasse que deverá ser entregue no dia 03062025 2ª Avaliação A resolução da lista de exercícios não contabilizará nota ou frequência 1 Uma indústria especializada em montagem de grandes equipamentos industriais recebeu setenta dispositivos de controle do fornecedor A e outros trinta dispositivos do mesmo tipo do fornecedor B O aspecto relevante que se deseja controlar relativo a esses dispositivos é a resistência elétrica ohm de certo componente crítico Admitindose que os cem dispositivos recebidos foram numerados de um a cem ao darem entrada no almoxarifado e que os setenta primeiros foram recebidos do fornecedor A e os trinta restantes do fornecedor B Vamos admitir também que os valores reais da variável de interesse resistência elétrica do componente crítico dos cem dispositivos recebidos sejam os dados apresentados abaixo respectivamente na ordem de entrada no almoxarifado lêse segundo as linhas 33 38 34 34 34 31 36 35 32 37 35 34 30 37 36 33 34 34 32 39 35 33 33 34 31 32 36 33 29 36 34 35 34 33 31 35 35 35 37 32 34 34 36 35 34 33 32 38 34 33 33 32 34 35 37 35 35 30 35 34 36 36 33 34 33 32 31 37 35 34 39 40 40 42 39 38 40 40 40 40 40 41 45 41 40 39 41 41 40 42 39 40 41 40 40 42 39 39 38 40 a Retire uma amostra de 10 resistências utilizando a amostragem aleatória simples sem reposição e calcule a média aritmética números aleatórios gerados 26 95 54 01 02 14 03 05 48 43 b Em uma amostra de 10 resistências utilizando a amostragem estratificada proporcional quantas resistências de cada fornecedor devemos selecionar Como deve ser feita a seleção 2 Suponha que amostras aleatórias de tamanho 36 sejam repetidamente extraídas com reposição de uma população com média 25 e desvio padrão 9 Calcule a média e a variância da distribuição amostral médias 3 Suponha que amostras aleatórias de tamanho 5 sejam repetidamente extraídas sem reposição de uma população finita de tamanho 𝑁 50 Suponha que a média e o desvio padrão da população sejam 18 e 5 respectivamente Calcule a média e a variância da distribuição amostral médias 4 Sabese que a vida útil em horas de bulbo de uma lâmpada de 75 W é distribuída normalmente com 𝜎 25 horas Uma amostra aleatória de 20 bulbos tem uma vida útil média de 1014 horas Construir um intervalo de confiança de 95 para a vida útil média Interpretar 5 Um engenheiro do setor de pesquisa de um fabricante de pneu está investigando a vida média do pneu em relação a um novo componente de borracha Ele fabricou 16 pneus e testouos até o final da vida em um teste na estrada A média e o desvio padrão da amostra são 601397 e 364594 km respectivamente Sabendose que a vida média do pneu é normalmente distribuída construir um intervalo de confiança de 95 para a vida média dos pneus Interpretar 6 Um fabricante de calculadoras eletrônicas retira uma amostra aleatória de 1200 calculadoras e encontra 80 unidades defeituosas Construir um intervalo de confiança de 95 para a proporção de calculadoras defeituosas na população Interpretar 7 Diâmetro mm de bastões de aço fabricados em duas máquinas extrusoras diferentes está sendo investigado Duas amostras aleatórias de tamanhos de 𝑛1 15 e 𝑛2 17 são selecionadas e as médias e variâncias das amostras são respectivamente 𝑋1 873 𝑆1 2 035 e 𝑋2 868 𝑆2 2 040 Suponha que 𝜎1 2 𝜎2 2 e que os dados sejam retirados de uma população normal Construir um intervalo de confiança de 98 para a diferença no diâmetro médio dos bastões Interpretar 8 Um experimento realizado para estudar várias características de pinos de ferro resultou em 10 observações sobre a resistência de corte kip de pinos de 38 polegada de diâmetro e 13 observações sobre a resistência de pinos de 12 polegada de diâmetro Os resultados obtidos foram NOTA 1 kip 4448 kN PINOS 𝑛 𝑋 𝑆 Pino diâmetro 38 10 6140 09 Pino diâmetro 12 13 4250 13 Construir um intervalo de confiança de 98 para diferença entre as resistências médias de corte supondo normalidade das duas populações e variâncias distintas Interpretar 9 Qual o tamanho mínimo de amostra para se estimar a média de uma população cujo desvio padrão é igual a 12 com confiança de 95 e precisão igual a 3 Supor que a amostragem é obtida sem reposição de uma população com 2000 elementos 10 Determinar o número mínimo de elementos de uma amostra se desejamos estimar a média populacional com 99 de confiança e erro amostral de 2 sendo que de uma amostra piloto com 25 elementos obtevese variância igual a 36 11 Um fabricante de peças acredita que aproximadamente 5 de seus produtos são defeituosos se ele deseja estimar a verdadeira porcentagem com erro de 005 com 90 de confiança Qual deverá ser o tamanho da amostra a ser retirada 12 Um novo sistema de lançamentos de foguetes está sendo considerado para a implementação de foguetes pequenos e de certo alcance Uma amostra de 80 lançamentos experimentais com novo sistema é realizada e 68 obtêm sucesso O tamanho da amostra é suficiente para estimar a verdadeira proporção de sucesso nos lançamentos se desejamos um erro máximo de 008 ao nível de 95 de confiança 13 Sabese que os diâmetros internos de rolamentos usados no trem de pouso de aviões têm desvio padrão 𝜎 0009 𝑐𝑚 e normalmente distribuídos Uma amostra de 15 acusa um diâmetro interno médio de 82535 cm Testar a hipótese de que o diâmetro interno médio do rolamento é maior que 825 cm Usar 𝛼 005 a Fazer a conclusão calculando a estatística de teste e comparando com o valor de Z crítico b fazer a conclusão do teste calculando o valorp 14 Uma montadora de automóveis por intermédio do seu gerente de marketing durante o lançamento de um novo carro do tipo popular afirma que esse novo carro consome em média 10 litros de combustível a cada 100 km com desvio padrão de 117 litro Posteriormente uma revista especializada em assuntos automobilísticos realizou pesquisa com uma amostra de 43 veículos da referida marca e modelo em condições normais de uso e tráfego quando constatou consumo médio de 106 litros a cada 100 km Ao nível de significância de 5 pedese o que a revista pode concluir sobre a hipótese levantada pelo gerente de marketing a Fazer a conclusão calculando a estatística de teste e comparando com o valor de Z crítico b fazer a conclusão calculando o valorp 15 A força média de resistência de uma fibra sintética é uma característica de qualidade de interesse do fabricante que deseja testar a hipótese de que a força média é maior que 50 psi usando 𝛼 005 O desvio padrão populacional da força de resistência é desconhecido Uma amostra de 16 exemplares de fibra é selecionada e são obtidos os seguintes resultados 𝑋 5086 𝑆 166 Sabese que a distribuição da força de resistência é normal 16 Uma fundição produz cabos de aço usados na indústria automotiva Desejase testar a hipótese de que a fração de itens não conformes é menor que 10 Em uma amostra aleatória de 250 cabos detectouse que 24 estavam fora das especificações Usar 𝛼 005 17 Dois catalisadores estão sendo testados para determinar como afetam o rendimento médio de um processo químico Especificamente o catalisador 1 está sendo usado atualmente mas o catalisador 2 é aceitável Como o catalisador 2 é mais barato ele poderia ser adotado desde que não alterasse o rendimento do processo Um teste é realizado em uma fábrica piloto e os resultados são apresentados na tabela abaixo Existe alguma diferença entre os rendimentos médios Usar 𝛼 005 e supor que as populações são normais e as variâncias iguais Dados 𝑋1 9226 𝑆1 139 𝑛1 8 𝑋2 9268 𝑆2 128 𝑛2 8 18 Um produto fabricado por injeção de plástico é analisado em dois níveis de percentual de talco Os dados seguintes apresentam os resultados da dureza HRC segundo o percentual de talco utilizado NÍVEL PERCENTUAL DE TALCO TAMANHO DA AMOSTRA MÉDIA DESVIO PADRÃO Baixo 8 6475 996 Alto 8 6639 808 Os dados mostram evidência suficiente para afirmar que a dureza média do produto fabricado no nível baixo de percentual de talco é menor do que a dureza média de alto percentual de talco ao nível de significância de 5 Supor normalidade dos dados e variâncias populacionais diferentes 19 Foram testados três tipos de lâmpadas elétricas e os tempos de vida em horas obtidos foram lâmpada A 1245 1354 1367 1289 lâmpada B 1235 1300 1230 1189 lâmpada C 1345 1450 1320 Existe diferença significativa entre os tempos médios de vida dessas três marcas de lâmpadas ao nível de significância de 1 Se necessário aplicar o teste de Scheffé TABELA A2 DISTRIBUIÇÃO DE STUDENT TESTE UNILATERAL 0550 0600 0650 0700 0750 0800 0850 0900 0950 0975 0990 0995 1 0158 0325 0510 0727 1000 1376 1963 3078 6314 12706 31821 63657 2 0142 0289 0445 0617 0817 1061 1386 1886 2920 4303 6965 9925 3 0137 0277 0424 0584 0765 0979 1250 1638 2353 3182 4541 5841 4 0134 0271 0414 0569 0741 0941 1190 1533 2132 2776 3747 4604 5 0132 0267 0408 0559 0727 0920 1156 1476 2015 2571 3365 4032 6 0131 0265 0404 0553 0718 0906 1134 1440 1943 2447 3143 3707 7 0130 0263 0402 0549 0711 0896 1119 1415 1895 2365 2998 3500 8 0130 0262 0400 0546 0706 0889 1108 1397 1860 2306 2897 3355 9 0129 0261 0398 0544 0703 0883 1100 1383 1833 2262 2821 3250 10 0129 0260 0397 0542 0700 0879 1093 1372 1813 2228 2764 3169 11 0129 0260 0396 0540 0697 0876 1088 1363 1796 2201 2718 3106 12 0128 0259 0395 0539 0696 0873 1083 1356 1782 2179 2681 3055 13 0128 0259 0394 0538 0694 0870 1080 1350 1771 2160 2650 3012 14 0128 0258 0393 0537 0692 0868 1076 1345 1761 2145 2625 2977 15 0128 0258 0393 0536 0691 0866 1074 1341 1753 2131 2603 2947 16 0128 0258 0392 0535 0690 0865 1071 1337 1746 2120 2584 2921 17 0128 0257 0392 0534 0689 0863 1069 1333 1740 2110 2567 2898 18 0127 0257 0392 0534 0688 0862 1067 1330 1734 2101 2552 2878 19 0127 0257 0391 0533 0688 0861 1066 1328 1729 2093 2540 2861 20 0127 0257 0391 0533 0687 0860 1064 1325 1725 2086 2528 2845 21 0127 0257 0391 0533 0686 0859 1063 1323 1721 2080 2518 2831 22 0127 0256 0390 0532 0686 0858 1061 1321 1717 2074 2508 2819 23 0127 0256 0390 0532 0685 0858 1060 1320 1714 2069 2500 2807 24 0127 0256 0390 0531 0685 0857 1059 1318 1711 2064 2492 2797 25 0127 0256 0390 0531 0684 0856 1058 1316 1708 2060 2485 2787 26 0127 0256 0390 0531 0684 0856 1058 1315 1706 2056 2479 2779 27 0127 0256 0389 0531 0684 0855 1057 1314 1703 2052 2473 2771 28 0127 0256 0389 0530 0683 0855 1056 1313 1701 2048 2467 2763 29 0127 0256 0389 0530 0683 0854 1055 1311 1699 2045 2462 2756 30 0127 0256 0389 0530 0683 0854 1055 1310 1697 2042 2457 2750 40 0127 0255 0388 0529 0681 0851 1050 1303 1684 2021 2423 2705 50 0126 0255 0388 0528 0679 0849 1047 1299 1676 2009 2403 2678 60 0126 0255 0387 0527 0679 0848 1046 1296 1671 2000 2390 2660 70 0126 0254 0387 0527 0678 0847 1044 1294 1667 1994 2381 2648 80 0126 0254 0387 0527 0678 0846 1043 1292 1664 1990 2374 2639 90 0126 0254 0387 0526 0677 0846 1042 1291 1662 1987 2369 2632 100 0126 0254 0386 0526 0677 0845 1042 1290 1660 1984 2364 2626 200 0126 0254 0386 0525 0676 0843 1039 1286 1653 1972 2345 2601 300 0126 0254 0386 0525 0675 0843 1038 1284 1650 1968 2339 2592 400 0126 0254 0386 0525 0675 0843 1038 1284 1649 1966 2336 2588 0126 0253 0385 0524 0675 0842 1036 1282 1645 1960 2326 2576 0100 0200 0300 0400 0500 0600 0700 0800 0900 0950 0980 0990 TESTE BILATERAL t P P TABELA A4 DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR Nível de significância de 1 2 3 4 5 6 7 8 12 24 1 405218 499950 540335 562458 576365 585899 592836 598107 610632 623463 636583 2 9850 9900 9917 9925 9930 9933 9936 9937 9942 9946 9950 3 3412 3082 2946 2871 2824 2791 2767 2749 2705 2660 2613 4 2120 1800 1669 1598 1552 1521 1498 1480 1437 1393 1346 5 1626 1327 1206 1139 1097 1067 1046 1029 989 947 902 6 1375 1092 978 915 875 847 826 810 772 731 688 7 1225 955 845 785 746 719 699 684 647 607 565 8 1126 865 759 701 663 637 618 603 567 528 486 9 1056 802 699 642 606 580 561 547 511 473 431 10 1004 756 655 599 564 539 520 506 471 433 391 11 965 721 622 567 532 507 489 474 440 402 360 12 933 693 595 541 506 482 464 450 416 378 336 13 907 670 574 521 486 462 444 430 396 359 317 14 886 651 556 504 470 446 428 414 380 343 300 15 868 636 542 489 456 432 414 400 367 329 287 16 853 623 529 477 444 420 403 389 355 318 275 17 840 611 519 467 434 410 393 379 346 308 265 18 829 601 509 458 425 401 384 371 337 300 257 19 818 593 501 450 417 394 377 363 330 292 249 20 810 585 494 443 410 387 370 356 323 286 242 21 802 578 487 437 404 381 364 351 317 280 236 22 795 572 482 431 399 376 359 345 312 275 231 23 788 566 476 426 394 371 354 341 307 270 226 24 782 561 472 422 390 367 350 336 303 266 221 25 777 557 468 418 386 363 346 332 299 262 217 26 772 553 464 414 382 359 342 329 296 258 213 27 768 549 460 411 378 356 339 326 293 255 210 28 764 545 457 407 375 353 336 323 290 252 206 29 760 542 454 404 373 350 333 320 287 249 203 30 756 539 451 402 370 347 330 317 284 247 201 40 731 518 431 383 351 329 312 299 266 229 180 60 708 498 413 365 334 312 295 282 250 212 160 120 685 479 395 348 317 296 279 266 234 195 138 663 461 378 332 302 280 264 251 218 179 101 1 1 2 TABELA A5 DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR Nível de significância de 25 GRAUS DE LIBERDADE DO NUMERADOR 1 2 3 4 5 6 7 8 12 24 1 64779 79950 86416 89958 92185 93711 94822 95666 97671 99725 101823 2 3851 3900 3917 3925 3930 3933 3936 3937 3941 3946 3950 3 1744 1604 1544 1510 1488 1473 1462 1454 1434 1412 1390 4 1222 1065 998 960 936 920 907 898 875 851 826 5 1001 843 776 739 715 698 685 676 652 628 602 6 881 726 660 623 599 582 570 560 537 512 485 7 807 654 589 552 529 512 499 490 467 441 414 8 757 606 542 505 482 465 453 443 420 395 367 9 721 571 508 472 448 432 420 410 387 361 333 10 694 546 483 447 424 407 395 385 362 337 308 11 672 526 463 428 404 388 376 366 343 317 288 12 655 510 447 412 389 373 361 351 328 302 273 13 641 497 435 400 377 360 348 339 315 289 260 14 630 486 424 389 366 350 338 329 305 279 249 15 620 477 415 380 358 341 329 320 296 270 240 16 612 469 408 373 350 334 322 312 289 263 232 17 604 462 401 366 344 328 316 306 282 256 225 18 598 456 395 361 338 322 310 301 277 250 219 19 592 451 390 356 333 317 305 296 272 245 213 20 587 446 386 351 329 313 301 291 268 241 209 21 583 442 382 348 325 309 297 287 264 237 204 22 579 438 378 344 322 305 293 284 260 233 200 23 575 435 375 341 318 302 290 281 257 230 197 24 572 432 372 338 315 299 287 278 254 227 194 25 569 429 369 335 313 297 285 275 251 224 191 26 566 427 367 333 310 294 282 273 249 222 188 27 563 424 365 331 308 292 280 271 247 219 185 28 561 422 363 329 306 290 278 269 245 217 183 29 559 420 361 327 304 288 276 267 243 215 181 30 557 418 359 325 303 287 275 265 241 214 179 40 542 405 346 313 290 274 262 253 229 201 164 60 529 393 334 301 279 263 251 241 217 188 148 120 515 380 323 289 267 252 239 230 205 176 131 502 369 312 279 257 241 229 219 195 164 103 1 2 TABELA A6 DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR Nível de significância de GRAUS DE LIBERDADE DO NUMERADOR 1 2 3 4 5 6 7 8 12 24 1 16145 19950 21571 22458 23016 23399 23677 23888 24391 24905 25431 2 1851 1900 1916 1925 1930 1933 1935 1937 1941 1945 1950 3 1013 955 928 912 901 894 889 885 874 864 853 4 771 694 659 639 626 616 609 604 591 577 563 5 661 579 541 519 505 495 488 482 468 453 437 6 599 514 476 453 439 428 421 415 400 384 367 7 559 474 435 412 397 387 379 373 357 341 323 8 532 446 407 384 369 358 350 344 328 312 293 9 512 426 386 363 348 337 329 323 307 290 271 10 496 410 371 348 333 322 314 307 291 274 254 11 484 398 359 336 320 309 301 295 279 261 240 12 475 389 349 326 311 300 291 285 269 251 230 13 467 381 341 318 303 292 283 277 260 242 221 14 460 374 334 311 296 285 276 270 253 235 213 15 454 368 329 306 290 279 271 264 248 229 207 16 449 363 324 301 285 274 266 259 242 224 201 17 445 359 320 296 281 270 261 255 238 219 196 18 441 355 316 293 277 266 258 251 234 215 192 19 438 352 313 290 274 263 254 248 231 211 188 20 435 349 310 287 271 260 251 245 228 208 184 21 432 347 307 284 268 257 249 242 225 205 181 22 430 344 305 282 266 255 246 240 223 203 178 23 428 342 303 280 264 253 244 237 220 201 176 24 426 340 301 278 262 251 242 236 218 198 173 25 424 339 299 276 260 249 240 234 216 196 171 26 423 337 298 274 259 247 239 232 215 195 169 27 421 335 296 273 257 246 237 231 213 193 167 28 420 334 295 271 256 245 236 229 212 191 165 29 418 333 293 270 255 243 235 228 210 190 164 30 417 332 292 269 253 242 233 227 209 189 162 40 408 323 284 261 245 234 225 218 200 179 151 60 400 315 276 253 237 225 217 210 192 170 139 120 392 307 268 245 229 218 209 202 183 161 125 384 300 261 237 221 210 201 194 175 152 101 5 1 2 Lista de Estatıstica Questao 1 Uma industria especializada em montagem de grandes equipamentos industriais recebeu 70 dispositivos do fornecedor A e 30 dispositivos do fornecedor B A variavel de interesse e a resistˆencia eletrica em ohms de um componente crıtico Letra A Amostragem Aleatoria Simples sem Reposicao Os seguintes numeros foram sorteados 26 95 54 01 02 14 03 05 48 43 As resistˆencias correspondentes extraıdas da tabela sao 26 1057 95 1043 54 1013 01 1034 02 1044 14 1033 03 1060 05 1024 48 1049 43 1014 x 1057 1043 1013 1034 1044 1033 1060 1024 1049 1014 10 10371 ohms 1 Letra B Amostragem Estratificada Proporcional A populacao possui 70 dispositivos do fornecedor A e 30 do fornecedor B Para uma amostra de 10 resistˆencias a alocacao proporcional sera Fornecedor A 70 100 10 7 dispositivos Fornecedor B 30 100 10 3 dispositivos Como realizar a selecao Sortear 7 numeros distintos entre 1 e 70 para o fornecedor A Sortear 3 numeros distintos entre 71 e 100 para o fornecedor B Localizar os valores das resistˆencias nas posicoes sorteadas e se necessario calcular a media Questao 2 Suponha que amostras aleatorias de tamanho n 36 sejam repetidamente ex traıdas com reposicao de uma populacao com Media populacional µ 25 Desvio padrao populacional σ 9 Queremos calcular a media e a variˆancia da distribuicao amostral das medias X Formulas da distribuicao amostral das medias µ X µ σ2 X σ2 n Aplicando os valores µ X 25 σ2 X 92 36 81 36 225 Resposta final Media da distribuicao amostral µ X 25 Variˆancia da distribuicao amostral σ2 X 225 2 Questão 3 Suponha que amostras aleatórias de tamanho n 5 sejam extraídas sem reposição de uma população finita com Tamanho da população N 50 Média populacional μ 18 Desvio padrão populacional σ 5 Queremos calcular a média e a variância da distribuição amostral das médias X Fórmulas da distribuição amostral das médias população finita μX μ σ2X σ2 n N n N 1 Aplicando os valores μX 18 σ2X 25 5 45 49 5 45 49 4592 Resposta final Média da distribuição amostral μX 18 Variância da distribuição amostral σ2X 4592 Questão 4 Sabese que a vida útil em horas de bulbos de uma lâmpada de 75 W é distribuída normalmente com Desvio padrão populacional σ 25 horas Uma amostra aleatória de n 20 bulbos apresentou média x 1014 horas Desejase construir um intervalo de confiança de 95 para a vida útil média da população Fórmula do intervalo de confiança para a média com σ conhecido x zα2 σ n Para um nível de confiança de 95 z0025 196 Aplicando os valores Erro padrao EP 25 20 5590 Margem de erro ME 196 5590 1095 Intervalo de confianca 1014 1095 100305 102495 Resposta final Intervalo de confianca de 95 Interpretacao Com 95 de confianca podemos afirmar que a vida util media da populacao de bulbos esta entre 100305 e 102495 horas Questao 5 Um engenheiro do setor de pesquisa de um fabricante de pneus esta investi gando a vida media dos pneus com um novo componente de borracha Foram fabricados n 16 pneus testados ate o final da vida util com Media amostral x 601397 km Desvio padrao amostral s 364594 km Desejase construir um intervalo de confianca de 95 para a vida media da populacao de pneus Como σ e desconhecido e n 30 utilizamos a dis tribuicao t de Student com df 15 graus de liberdade Formula do intervalo de confianca x tα2 s n Para 95 de confianca e 15 graus de liberdade t002515 2131 Aplicando os valores EP 364594 16 911485 ME 2131 911485 194355 IC 601397 194355 5819615 6208325 Resposta final 4 Intervalo de confiança de 95 5819615 6208325 km Interpretação Com 95 de confiança podemos afirmar que a vida média dos pneus com o novo componente está entre 5819615 km e 6208325 km Questão 6 Um fabricante de calculadoras eletrônicas retira uma amostra aleatória de n 1200 unidades e encontra x 80 defeituosas Proporção amostral de defeituosas p 80 1200 00667 Desejase construir um intervalo de confiança de 95 para a proporção de calculadoras defeituosas na população Fórmula do intervalo de confiança para proporções p zα2 p1 p n Para 95 de confiança z0025 196 Aplicando os valores EP 00667 1 00667 1200 00072 ME 196 00072 00141 IC 00667 00141 00526 00808 Resposta final Intervalo de confiança de 95 para a proporção de defeituosas 00526 00808 Interpretação Com 95 de confiança a proporção de calculadoras defeituosas na população está entre 526 e 808 Questão 7 Está sendo investigado o diâmetro em mm de bastões de aço produzidos por duas máquinas extrusoras diferentes Foram extraídas duas amostras aleatórias com os seguintes dados Amostra 1 n1 15 X1 873 s2 1 035 Amostra 2 n2 17 X2 868 s2 2 040 Assumese que as variâncias populacionais são iguais e que as populações seguem distribuição normal Desejase construir um intervalo de confiança de 98 para a diferença entre os diâmetros médios Fórmula do intervalo de confiança com variâncias iguais X1 X2 tα2 sp2 1 n1 1 n2 Passo 1 Variância combinada pooled sp2 n1 1s2 1 n2 1s2 2 n1 n2 2 113 30 03767 Passo 2 Erro padrão da diferença EP 03767 1 15 1 17 02164 Passo 3 Valor crítico t00130 2457 Passo 4 Intervalo de confiança X1 X2 t EP 005 2457 02164 005 0531 0481 0581 Resposta final Intervalo de confiança de 98 0481 0581 mm Interpretação Como o intervalo contém o valor 0 não há evidências suficientes para afirmar que há diferença significativa entre os diâmetros médios das duas máquinas Questão 8 Um experimento analisou a resistência de corte em kip de dois tipos de pinos de ferro com diferentes diâmetros Pinos de diâmetro 38 pol n1 10 X1 6140 s1 09 Pinos de diâmetro 12 pol n2 13 X2 4250 s2 13 Desejase construir um intervalo de confiança de 98 para a diferença entre as resistências médias assumindo variâncias distintas e distribuição normal Fórmula X₁ X₂ tα2ν s₁²n₁ s₂²n₂ Aplicando os valores X₁ X₂ 6140 4250 189 EP 09²10 13²13 04593 t₀₀₁₂₁ 2518 IC 189 2518 04593 189 1156 0734 3046 Resposta final Intervalo de confiança de 98 0734 3046 kip Interpretação Com 98 de confiança a diferença entre as resistências médias de corte está entre 0734 e 3046 kip Como o intervalo não contém zero há evidência de que as resistências médias são significativamente diferentes Questão 9 Qual o tamanho mínimo de amostra para se estimar a média de uma população cujo desvio padrão é igual a 12 com confiança de 95 e precisão igual a 3 Supor que a amostragem é obtida sem reposição de uma população com 2000 elementos Fórmula sem correção para população finita n₀ zα2 σ E ² Aplicando os valores z₀₀₂₅ 196 σ 12 E 3 n₀ 196 12 3 ² 784² 6147 Correção para população finita N 2000 n n₀ N n₀ N 1 6147 2000 6147 1999 597 Resposta final Tamanho mínimo da amostra 60 Interpretação Para estimar a média populacional com 95 de confiança e erro máximo de 3 é necessário selecionar ao menos 60 elementos da população Questão 10 Determinar o número mínimo de elementos de uma amostra se desejamos estimar a média populacional com 99 de confiança e erro amostral de 2 sendo que de uma amostra piloto com 25 elementos obtevese variância igual a 36 Fórmula n zα2 σ E ² Aplicando os valores z₀₀₀₅ 2576 s² 36 σ 36 6 E 2 n 2576 6 2 ² 7728² 5974 Resposta final Tamanho mínimo da amostra 60 Interpretação Para estimar a média populacional com 99 de confiança e erro máximo de 2 é necessário selecionar ao menos 60 elementos Aplicando os valores z₀₀₅ 1645 p 005 E 005 n 1645² 005 095 005² 2706 00475 00025 0128535 00025 5141 Resposta final Tamanho mínimo da amostra 52 Interpretação Para estimar a proporção de produtos defeituosos com 90 de confiança e erro máximo de 5 é necessário selecionar ao menos 52 peças Questão 12 Um novo sistema de lançamentos de foguetes está sendo considerado para a implementação de foguetes pequenos e de certo alcance Uma amostra de 80 lançamentos experimentais com o novo sistema é realizada e 68 obtêm sucesso O tamanho da amostra é suficiente para estimar a verdadeira proporção de sucesso nos lançamentos se desejamos um erro máximo de 008 ao nível de 95 de confiança Fórmula n zα2² p 1 p E² Aplicando os valores p 6880 085 z₀₀₂₅ 196 E 008 n 196² 085 015 008² 38416 01275 00064 0490046 00064 7657 Resposta final Tamanho mínimo necessário 77 Tamanho da amostra 80 Conclusão Como o tamanho da amostra utilizada é maior que o mínimo necessário ela é suficiente para estimar a proporção de sucesso com 95 de confiança e erro máximo de 008 Questao 13 Sabese que os diˆametros internos de rolamentos usados no trem de pouso de avioes tˆem desvio padrao σ 0009 cm e sao normalmente distribuıdos Uma amostra de 15 rolamentos apresenta diˆametro interno medio de X 82535 cm Testar a hipotese de que o diˆametro interno medio do rolamento e maior que 825 cm Usar α 005 Hipoteses H0 µ 825 H1 µ 825 Como σ e conhecido usamos o teste Z Z X µ0 σn 82535 825 0009 15 00035 0002324 106 a Comparando com valor crıtico Zcrıtico 1645 nıvel de 5 unilateral Como Z 106 1645 nao rejeitamos H0 b Calculando o valorp valorp PZ 106 01446 Como valorp α tambem nao rejeitamos H0 Conclusao final Nao ha evidˆencia suficiente para afirmar que o diˆametro medio e maior que 825 cm ao nıvel de 5 de significˆancia Questao 14 Uma montadora de automoveis por intermedio do seu gerente de marketing du rante o lancamento de um novo carro do tipo popular afirma que esse novo carro consome em media 10 litros de combustıvel a cada 100 km com desvio padrao de 117 litro Posteriormente uma revista especializada realizou pesquisa com uma amostra de 43 veıculos da referida marca e modelo constatando consumo medio de 106 litros a cada 100 km Ao nıvel de significˆancia de 5 pedese o que a revista pode concluir sobre a hipotese levantada pelo gerente Hipoteses H0 µ 10 H1 µ 10 Como σ e conhecido usamos o teste Z Z X µ0 σn 106 10 117 43 06 01785 336 10 a Comparando com valor crıtico Zcrıtico 196 nıvel de 5 bilateral Como Z 336 196 rejeitamos H0 b Calculando o valorp valorp 2 PZ 336 2 000039 000078 Como valorp 005 rejeitamos H0 Conclusao final Existe evidˆencia significativa para concluir que o consumo medio do novo carro e diferente de 10 litros por 100 km contrariando a afirmacao do gerente de marketing Questao 15 A forca media de resistˆencia de uma fibra sintetica e uma caracterıstica de qualidade de interesse do fabricante que deseja testar a hipotese de que a forca media e maior que 50 psi usando α 005 O desvio padrao populacional e desconhecido Uma amostra de 16 exemplares de fibra apresenta media X 5086 e desvio padrao amostral s 166 Sabese que a distribuicao da forca de resistˆencia e normal Hipoteses H0 µ 50 H1 µ 50 Como σ e desconhecido e n e pequeno usamos o teste t t X µ0 sn 5086 50 166 16 086 0415 2072 a Comparando com valor crıtico df 15 tcrıtico 1753 nıvel de 5 unilateral Como t 2072 1753 rejeitamos H0 b Calculando o valorp valorp 0028 para t 2072 com df 15 Como valorp 005 rejeitamos H0 Conclusao final Ha evidˆencia significativa para concluir que a forca media de resistˆencia da fibra e maior que 50 psi 11 Questão 16 Uma fundição produz cabos de aço usados na indústria automotiva Desejase testar a hipótese de que a fração de itens nãoconformes é menor que 10 Em uma amostra aleatória de 250 cabos detectouse que 24 estavam fora das especificações Usar α 005 Hipóteses H0 p 010 H1 p 010 Como n é grande usamos o teste Z para proporções p 24250 0096 e p0 010 z p p0p01p0n 0096 010010090250 0004000036 0004001897 0211 a Comparando com o valor crítico Para α 005 teste unilateral à esquerda zcrítico 1645 Como z 0211 1645 não rejeitamos H0 b Calculando o valorp valorp PZ 0211 0416 Como valorp 005 não rejeitamos H0 Conclusão final Não há evidência estatística suficiente ao nível de 5 para afirmar que a fração de cabos de aço nãoconformes seja menor que 10 Questão 17 Dois catalisadores estão sendo testados para determinar como afetam o rendimento médio de um processo químico Especificamente o catalisador 1 está sendo usado atualmente mas o catalisador 2 é aceitável Como o catalisador 2 é mais barato ele poderia ser adotado desde que não alterasse o rendimento do processo Um teste é realizado em uma fábrica piloto e os resultados são apresentados na tabela abaixo Existe alguma diferença entre os rendimentos médios Usar α 005 e supor que as populações são normais e as variâncias iguais Catalisador X s n 1 9226 139 8 2 9268 128 8 Hipóteses H0 μ1 μ2 H1 μ1 μ2 Como as variâncias são assumidas iguais usamos o teste t com variâncias agrupadas sp2 n1 1s12 n2 1s22n1 n2 2 71392 7128214 sp2 719321 71638414 135247 11468814 24993514 1785 sp 1785 1336 t X1 X2sp 1n1 1n2 9226 92681336 18 18 0421336 025 0421336 05 0420668 0629 a Comparando com valor crítico df n1 n2 2 14 Para α 005 bilateral tcrítico 2145 Como t 0629 está entre 2145 e 2145 não rejeitamos H0 b Calculando o valorp valorp 2 PT 0629 com df 14 valorp 2 027 054 Como valorp 005 não rejeitamos H0 Conclusão final Não há evidência significativa de que os rendimentos médios dos dois catalisadores sejam diferentes Questão 18 Um produto fabricado por injeção de plástico é analisado em dois níveis de percentual de talco Os dados seguintes apresentam os resultados da dureza HRC segundo o percentual de talco utilizado Nível de talco n X s Baixo 8 6475 996 Alto 8 6639 808 Desejase verificar se há evidência suficiente para afirmar que a dureza média do produto com nível baixo de talco é menor do que com nível alto Usar α 005 Supor normalidade e variâncias populacionais diferentes Hipóteses H0 μbaixo μalto H1 μbaixo μalto Como as variâncias são diferentes usamos o teste t de Welch t X1 X2 s12n1 s22n2 6475 6639 99628 80828 164 9920168 6512648 164 124002 81408 164 20541 164 4533 036 Graus de liberdade aproximados fórmula de Welch df s12n1 s22n22 s12n12 n11 s22n22 n21 124002 81408212400227 8140827 205412 1537617 662887 422903 31886 1327 Usamos df 13 a Comparando com valor crítico tcrítico 1771 para α 005 unilateral à esquerda df 13 Como t 0362 1771 não rejeitamos H0 b Calculando o valorp valorp PT 0362 036 Como valorp 005 não rejeitamos H0 Conclusão final Não há evidência estatística suficiente para afirmar que a dureza média do produto com nível baixo de percentual de talco seja menor do que com nível alto Lâmpada B 1235 1300 1230 1189 Lâmpada C 1345 1450 1320 Existe diferença significativa entre os tempos médios de vida dessas três marcas de lâmpadas ao nível de significância de 1 Se necessário aplicar o teste de Scheffé Hipóteses H0 μA μB μC H1 pelo menos uma média é diferente 1 Estatísticas descritivas nA 4 XA 12451354136712894 52554 131375 nB 4 XB 12351300123011894 49544 12385 nC 3 XC 1345145013203 41153 137167 N 11 Xgeral 52554954411511 1432411 130218 2 Soma dos quadrados entre os grupos SQTrat SQTrat niXi Xgeral2 4131375 1302182 412385 1302182 3137167 1302182 411572 463682 369492 413389 440546 3482903 53556 162184 144871 3124106 3 Soma dos quadrados dentro dos grupos SQErro Lâmpada A SQA 1245 1313752 1354 1313752 1367 1313752 1289 1313752 475506 Lâmpada B SQB 1235 123852 1300 123852 1230 123852 1189 123852 67420 Lâmpada C SQC 1345 1371672 1450 1371672 1320 1371672 456133 SQErro SQA SQB SQC 475506 67420 456133 1605839 4 Graus de liberdade glTrat k 1 3 1 2 glErro N k 11 3 8 5 Quadrados medios e estatıstica F QMTrat SQTrat glTrat 3124106 2 1562053 QMErro SQErro glErro 1605839 8 20073 F QMTrat QMErro 1562053 20073 778 6 Valor crıtico da F nıvel de 1 gl1 2 gl2 8 Fcrıtico001 2 8 865 Como F 778 865 nao rejeitamos H0 Conclusao final Ao nıvel de 1 nao ha evidˆencia estatıstica suficiente para afirmar que ex iste diferenca significativa entre os tempos medios de vida das trˆes marcas de lˆampadas 16