Estatistica

Universidade Federal do Paraná Departamento de Eng Mecânica Disciplina Estatística Aplicada TMEC204 20251 Profa Sachiko A Lira LISTA DE EXERCÍCIOS NO 2 1 Uma caixa contém 20 peças das quais 5 são defeituosas Extraemse duas ao acaso sem reposição Qual a probabilidade de a ambas serem boas b ambas serem defeituosas c uma boa e outra defeituosa 2 Dois aparelhos de alarme independentes funcionam no caso de avaria com a probabilidade 095 e 090 respectivamente Achar a probabilidade de que numa avaria funcione apenas um dos aparelhos 3 Um circuito elétrico é constituído de três elementos ligados em série que deixam de funcionar com probabilidade 𝑝1 010 𝑝2 015 𝑝3 020 respectivamente Achar a probabilidade de que não haja corrente no circuito 4 Os automóveis são equipados com circuitos redundantes de frenagem os freios falham somente quando todos os circuitos falham Consideremos o caso de dois circuitos redundantes ou paralelos cada um com 095 de confiabilidade probabilidade de sucesso Determine a confiabilidade do sistema supondo que os circuitos atuem independentemente 5 Respectivamente 60 e 84 por cento das peças fornecidas por duas máquinas automáticas são de alta qualidade sendo que a produtividade da primeira é o dobro da segunda Tendo constatado que uma peça escolhida ao acaso é de alta qualidade achar a probabilidade de que provenha da primeira máquina 6 Suponha que na fabricação de semicondutores as probabilidades de que um chip sujeito a alto médio ou baixo nível de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto sejam respectivamente iguais a 010 001 e 0001 Em um experimento particular da produção 20 dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação 30 a níveis médios de contaminação e 50 a baixos níveis de contaminação Qual a probabilidade de um produto falhar ao usar um desses chips 7 Durante um processo de fabricação 15 unidades são selecionadas aleatoriamente da linha de produção a cada dia para a checagem de itens com defeitos Sabese de dados históricos que a probabilidade de um item defeituoso é de 005 Quando dois ou mais itens defeituosos são encontrados na amostra de 15 o processo é paralisado Tal procedimento é usado para fornecer um sinal no caso de a probabilidade de itens defeituosos ter aumentado a Qual é a probabilidade de que em um dia o processo de produção seja paralisado Assuma 5 de itens defeituosos b Suponha que a probabilidade de itens defeituosos tenha aumentado para 007 Qual é a probabilidade de que em um dia a produção não seja paralisada 8 Um proprietário acaba de instalar 20 lâmpadas em uma nova casa Supondo que cada lâmpada tenha 020 de probabilidade de funcionar por mais de três meses pedese a qual a probabilidade de ao menos cinco delas durarem mais de três meses b qual o número médio de lâmpadas que deverão ser substituídas em três meses 9 Suponha que 90 de todas as pilhas do tipo D de certo fabricante tenham voltagens aceitáveis Um determinado tipo de lanterna necessita de 2 pilhas tipo D e ela só funciona se as duas pilhas tiverem voltagem aceitável Entre 10 lanternas selecionadas aleatoriamente qual é a probabilidade de a pelo menos 9 funcionarem b no máximo 2 funcionarem 10 Num lote de 20 pneus enviadas a um fornecedor sabese que há 5 defeituosos Um cliente vai a esse fornecedor comprar 4 pneus Qual a probabilidade de levar 1 defeituoso 11 Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional depois de serem preenchidos com chips semicondutores Um lote contém 140 cartões e 20 são selecionados sem reposição para o teste funcional a se 20 cartões forem defeituosos qual será a probabilidade de no mínimo 1 cartão defeituoso estar na amostra b se 5 cartões forem defeituosos qual será a probabilidade de 1 cartão defeituoso aparecer na amostra 12 Seja X o número de falhas na superfície de uma caldeira de um determinado tipo selecionado aleatoriamente com distribuição de Poisson de parâmetro 𝜆 5 Calcular 𝑃5 𝑋 8 13 Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas havia em média 1 estouro de pneu a cada 5000 km Admitindo que a distribuição do número de estouro de pneus é dada pela distribuição de Poisson qual é a probabilidade de que num teste de 3000 km haja no máximo 1 pneu estourado 14 Suponha que as frequências indesejáveis para um determinado sinal elétrico tenham uma variação normal com média 60 Hz e desvio padrão 15 Hz a Qual a probabilidade desse sinal elétrico possuir componentes entre 40 e 70 Hz devido a essas frequências indesejáveis b Qual a maior frequência do sinal para que a probabilidade de contaminação por frequências indesejáveis seja de 10 15 A tensão de ruptura em newtons de uma fibra sintética é representada por X e distribuída como 𝑁800122 O controle de qualidade na fabricação da fibra exige uma tensão de no mínimo 772 N Uma amostra da fibra é randomicamente testada Qual é a probabilidade de obtermos 𝑃𝑋 772 16 O tempo de operação de uma máquina de embalagem de frascos sem interrupção para manutenção tem distribuição exponencial com média igual a duas horas Qual a probabilidade dessa máquina conseguir operar mais de uma hora sem interrupção 17 O tempo em horas necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória exponencialmente distribuída com parâmetro 𝜆 1 2 Determine a probabilidade de que o tempo de reparo exceda duas horas 18 Suponha que uma variável aleatória X em horas seja distribuída como Weibull com parâmetros 𝛼 250 𝛽 025 a calcular a média da variável aleatória X b calcular a probabilidade 𝑃5000 𝑋 7000 19 A vida útil em minutos de um componente mecânico tem uma distribuição Weibull com parâmetros 𝛽 05 e 𝛼 33 a Calcular a média e a variância da vida útil desse componente b Qual é a probabilidade de um componente ainda operando após 30 minutos 01 20 peças 5 defeituosas a ambos serem boas Primeira 1520 após a retirada restam 14 boas e 19 peças 1419 PBoas 1520 1419 34 1419 4276 ou 2138 b ambas com defeito 1º 520 14 2º 419 Pdefeito 520 419 14 419 476 119 c uma boa e outro com defeito boa e ruim 1520 519 34 519 1576 ruim e boa 420 519 14 519 1576 Pboa e ruim 1576 1576 3076 ou 1538 02 Alarme 1 PA 095 Alarme 2 PB 090 PA 1PA 005 PB 1PB 010 A probabilidade de que apenas um funcione ou seja O alarme 1 funciona e o 2 falha ou 1 falhe e o 2 funcione Papenas um PA B A B PA B PA PB 095 010 0095 PA B PA PB 005 090 0045 PA B A B 0095 0045 014 03 Pelo menos um falhou P1010 P2015 P3020 Pfalha de falhar q11P1090 q21P2085 q31P3080 Pc correto q1 q2 q3 090 085 080 0612 Psem correto 1 Pcorreto 10612 0388 3 04 confiabilidade095 Pfalha 1095005 Pfalha total 005 x 005 00025 Psucesso do sistema 1Pfalha total 1 00025 09975 9975 05 PAltaM1 060 PAltaM2 084 PM1 23 PM2 13 5897 PAlta 06 23 084 13 040 028 068 PM1Alta 060 23 068 040 068 0588 06 nº de contaminação Pdo chip falhar dado o caso Alto PFA 010 médio PFM 001 Baixo PFB 0001 Pnivel PA 02 PM 03 PB 05 PF PFAPA PFMPM PFBPB PF 010020 001030 0001050 PF 002 0003 00005 00235 ou 235 07 a n 15dia X Bnn15 P005 Pparalisar PX2 1 PX0 PX1 PX0 15 0005009515 09515 04633 PX1 15 1005109514 1500509514 150050487 03653 PX2 1 04633 03653 01714 4 b p007 PX0 09315 0349 PX1 15 1 007 09314 150070375 03937 PX2 1 0349 03937 02573 08 n20 p02 q1p08 X Bn20020 a PX5 1 PX4 PX4 Σ 4 k0 20 k020k 08020k PX4 06302 PX5 106302 03698 b EX np onde p08 Esatisfetudos 20080 16 09 Pcorreto 090 Pcontorno funciona 0902 081 X Binomialn10p081 a PX9 PX9 PX10 PX9 0133 0122 0255 PX9 10 908190191 0233 PX10 10 1008110 0122 b PX2 PX0 PX1 PX2 PX0 0000 PX1 00007 PX2 00067 PX2 0000 00007 00067 00074 10 20 penéus 5 sítos defectuosos compra 4 PX 1 5 115 3 20 4 5455 4845 2275 4845 04695 11 40 cortes 20 defectuosos a Pmin 1 corte defectuoso PX 1 1 PX 0 PX 0 20 0 40 20 PX 0 0223 PX 1 1 0223 0777 b PX 1 5 1 35 19 40 20 0393 12 λ 5 P5 x 8 P5 x 8 Px 5 Px 6 Px 7 Px 8 Px k eλ λk k Px 5 e5 55 5 e5 3125 120 01755 Px 6 01462 Px 4 01044 Px 8 00653 P5 x 8 04914 13 λ a cada 5000 km λ 3000 5000 06 PX 1 P0 P1 P0 e06 060 0 e06 05488 P1 e06 061 1 e06 06 03293 PX 1 098781 14 N 60 Hz σ 15 Hz a z1 40 60 15 133 z2 40 60 15 067 PZ 067 07486 PZ 133 00918 P40 x 40 Pz 067 Pz 133 07486 00918 06658 b Px xα 010 Pz zα 090 zα 128 Xα μ zσ 60 128 15 60 192 792 Hz 15 X N800 322 PX 772 Z 772 800 32 28 32 233 PX 772 PZ 233 1 PZ 233 1 00099 09901 16 μ 2 λ 1μ 12 PT 2 eλt e12 4 e05 06065 17 λ 13 PT 2 eλt e12 2 et 03679 18 α 250 β 025 a media de X EX α r 1 1β EX 250 Γ 1 1 025 250 Γ 5 Γ5 5 1 4 24 EX 250 24 6000 b P5000 x 7000 Fx 1 e xαβ P5000 x 7000 F7000 F5000 5000 250025 20025 21142 F5000 1 e21142 1 012184 07569 7000 250025 28025 2478 F7000 1 e2478 1 008328 09172 P5000 x 7000 09172 07569 00151 19 a Ex α Γ 1 1 β EX 33 Γ 1 1 05 33 Γ 3 33 2 66 min varX λ2 Γ1 2 k Γ1 1 k2 λ 33 e k 05 1 k 2 2 k 4 EX 33 Γ3 33 2 33 2 66 minutos varX 332 Γ5 Γ32 Γ5 4 24 Γ3 2 2 varX 1089 24 4 1089 20 21480 minutos2 b PX x eexp xλk PX 30 eexp 303305 30 33 0909 0909 0953 PX 30 e0953 0385