Trabalho Transcal

Trabalhos OBS trabalho individual ou em dupla Resolver numericamente os problemas proposto em sala Apresentar para os dois problemas as isotermas e linhas de fluxo 1 Problema conforme solução analítica Comparar o erro da solução numérica em relação a analítica Calcular os fluxos de calor vertical e horizontal nas paredes e as taxas de transferência de calor no centro vertical e horizontal das figuras Considerar 5 x 5 volumes e dimensões W100mm x L100mm Apresentar as isotermas e linhas de fluxo 2 Problema alterado com geração de calor Δx Δy1m k100 WmK Calcular as temperaturas em cada volume e o fluxo de calor horizontal e vertical em cada parede Apresentar as isotermas e linhas de fluxo Volumes não cotados com dimensões Δx e Δy 1 Solução Numérica para Problema de Transferência de Calor em Placa Retangular 11 Descrição do Problema Neste estudo analisamos a condução de calor em estado estacionário em uma placa retangular com dimensões de W 100 mm de largura e L 100 mm de comprimento O domínio foi discretizado em uma malha de 55 volumes permitindo uma análise detalhada da distribuição de temperatura As condições de contorno são definidas conforme ilustrado na Figura 1 Temperatura na borda superior T2 1 ou θ 1 Temperatura nas bordas inferior e laterais T1 0 ou θ 0 Essas condições representam um cenário onde a borda superior é mantida a uma temperatura elevada enquanto as demais bordas são mantidas a uma temperatura inferior Figura 1 Esquema do domínio com condições de contorno 12 Formulação Matemática A equação governante para a condução de calor em estado estacionário sem geração interna de calor é a equação de Laplace 2θ x2 2θ y2 0 Esta equação descreve como a temperatura varia ao longo do domínio Para resol ver esta equação utilizamos o método das diferenças finitas que aproxima as derivadas parciais por diferenças entre os valores nos nós da malha 13 Método de Solução Optamos pelo método iterativo de GaussSeidel para determinar a distribuição de tem peratura na placa O algoritmo segue os seguintes passos 1 Inicialização Aplicamos as condições de contorno nas bordas e atribuimos valores iniciais para os nós internos 2 Iteração Atualizamos as temperaturas nos nós internos com base na média das temperaturas dos nós vizinhos 1 3 Convergência Repetimos o processo iterativo até que a diferença entre as iterações seja inferior a uma tolerância de 106 Após 20 iterações a solução atingiu a convergência desejada garantindo a precisão dos resultados 14 Cálculo dos Fluxos de Calor Os fluxos de calor nas direções x e y no centro da placa foram calculados utilizando as relações qx kT x qy kT y Onde qx e qy são os fluxos de calor nas direções x e y respectivamente k é a condutividade térmica do material T x e T y são os gradientes de temperatura nas direções x e y As derivadas parciais foram aproximadas por diferenças centrais entre os nós adjacen tes No centro do domínio x 50 mm y 50 mm obtivemos qx 596 109 Wm2 qy 000857 Wm2 15 Resultados e Gráficos Os resultados obtidos são apresentados a seguir incluindo as isotermas e as linhas de fluxo de calor que fornecem uma visualização gráfica da distribuição térmica e do compor tamento do fluxo de calor na placa 151 Isotermas As isotermas representam as linhas de temperatura constante ao longo do domínio Conforme mostrado na Figura 2 observamos uma transição gradual da temperatura evi denciando a condução de calor da borda superior mais quente para as demais bordas mais frias Isso indica que o calor está se dissipando uniformemente através da placa 152 Linhas de Fluxo de Calor As linhas de fluxo de calor apresentadas na Figura 3 indicam a direção e a intensidade do fluxo térmico no domínio Elas mostram o movimento do calor das regiões de alta temperatura para as de baixa temperatura seguindo o gradiente térmico estabelecido As setas maiores indicam fluxos de calor mais intensos 2 Figura 2 Distribuição de temperatura no domínio Isotermas 16 Conclusão Por meio do método de GaussSeidel e da discretização por diferenças finitas foi pos sível determinar com precisão a distribuição de temperatura na placa retangular Os resul tados demonstram o comportamento esperado da condução de calor em estado estacio nário com o fluxo térmico direcionado da borda superior para as bordas inferior e laterais As isotermas e as linhas de fluxo de calor fornecem uma compreensão visual clara dos fenômenos térmicos envolvidos sendo ferramentas importantes para o projeto e análise de sistemas térmicos 2 Análise de Transferência de Calor em Placa com Gera ção de Calor 21 Descrição do Problema Neste segundo problema estudamos a distribuição de temperatura em uma placa que apresenta geração interna de calor em um dos volumes A placa foi dividida em 14 volu mes com as seguintes características e condições de contorno Dimensões dos volumes x y 1 m Condutividade térmica do material k 100 WmK Geração de calor no volume T12 q 106 Wm3 Temperaturas fixas nas bordas T1 0C canto inferior esquerdo T3 10C canto inferior direito T13 10C canto superior direito Condição de contorno na borda superior T 10C 3 Figura 3 Linhas de fluxo de calor no domínio A Figura 4 ilustra o domínio do problema incluindo as condições de contorno e a loca lização da geração de calor Figura 4 Esquema do domínio com condições de contorno e geração de calor 22 Equação de Transferência de Calor A equação diferencial que descreve a condução de calor em estado estacionário com geração interna de calor é 2T x2 2T y2 q k 0 Onde T é a temperatura q é a taxa de geração de calor por unidade de volume k é a condutividade térmica 4 No volume onde há geração de calor T12 o termo q k é diferente de zero Nos demais volumes esse termo é nulo pois não há geração interna de calor 23 Discretização e Método de Solução Utilizamos o método das diferenças finitas para discretizar a equação diferencial nos 14 volumes da malha Em seguida aplicamos o método iterativo de GaussSeidel para resolver o sistema de equações resultante O processo iterativo continuou até que a di ferença entre as temperaturas calculadas em iterações consecutivas fosse inferior a 106 garantindo a convergência da solução 24 Resultados 241 Distribuição de Temperatura Isotermas As temperaturas calculadas em cada volume são apresentadas abaixo evidenciando o efeito da geração interna de calor no volume T12 T1 000C T2 31594C T3 1000C T4 57425C T5 114526C T6 162372C T7 119185C T8 191407C T9 96519C T10 124374C T11 103325C T12 342554C T13 1000C T14 141516C A distribuição de temperatura é visualizada na Figura 5 onde as isotermas mostram claramente o aumento significativo de temperatura no volume com geração de calor e sua influência nos volumes adjacentes 5 Figura 5 Distribuição de temperatura Isotermas nos volumes 242 Linhas de Fluxo de Calor As linhas de fluxo de calor ilustradas na Figura 6 indicam como o calor gerado no volume T12 se propaga para os demais volumes As setas representam a direção e a mag nitude do fluxo de calor entre os volumes destacando os gradientes térmicos resultantes da geração interna Figura 6 Linhas de fluxo de calor entre os volumes 6 25 Conclusão A análise realizada demonstra como a geração interna de calor em um volume especí fico afeta a distribuição de temperatura em toda a placa O método das diferenças finitas aliado ao método iterativo de GaussSeidel mostrouse eficaz na obtenção da solução numérica Observamos que o volume com geração de calor atingiu uma temperatura sig nificativamente mais alta influenciando os volumes vizinhos e criando gradientes térmicos acentuados As isotermas e as linhas de fluxo de calor proporcionam uma compreensão detalhada do comportamento térmico do sistema evidenciando a importância de conside rar a geração interna de calor em projetos térmicos 7