Análise de Transferência de Calor em Regime Transiente e Estacionário - Pão de Queijo e Cilindro

a Bi hLs K 120 Wm²c 25103 m 3 95 Wmc 2 2 01 Parâmetros distribuídos To 100c To 70c Pelos cantos do T transiente Θo To T Ti T 70 100 8 100 0278 1 3α 1 2 05 θo To T Ti T gráfico com linhas e pontos destacados 0278 05 045 Portanto τ 045 τ αt L₀² 045 16107 m²s t 215102 m² t 1758 s 2 Um pão de queijo esférico α16107 m²s k05 WmC ρ15103 kgm³ Cp25kJkgC congelado com 5 cm de diâmetro inicialmente na temperatura uniforme de 8C é introduzido em um forno a 100C O coeficiente de transferência de calor entre o ar e a superfície do pão é h 120Wm²C Sabendose que o pão tornase assado quando a temperatura em seu centro atinge 70C e considerando que o tamanho do pão de queijo não varie durante o processo calcule os itens 2a e 2b Regime transiente sem geração de energia convecção entre a superfície e o meio e condução no interior propriedades constantes b q ρ V Cp Ti T 15 103 4 π 25 102 m3 215 103 8 100 26507 kJ Q Qmax 093 Bi 6 162 Sphere Bi2 τ h2 α t k2 Q Qmax 093 Q 093 13254 kJ min 12326 kJ min O calor para assar 500 pães é 500 x o calor para assar 1 pão O calor então é proporcional ao número de pães O tempo para assar é aceitável 1758 s 30 min a Cilindro pois é tubulação b To 30C h0 250 Wm2C Ti1900C D 254 cm 30 m Hipótese Regime estacionário condução unidimensional propriedades constantes e sem geração de energia c A 254102 2 127102 m Analogia com resistores qi Ti Rcond Rconv To Sem revestimento qn Ti Ta Rconv Ti To Rconv 12pirhL 1900C 20C 2π 127102m 250 Wm2C 30 m qn 5266576 W Porém deve se reduzir em 30 portanto 52665707 q 3686596 𝑅𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐾 ℎ 02 250 8104𝑚 𝑟2 𝑅𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑟2 Análise crítica c A espessura do material isolante é bem fina 0037 cm Mesmo assim o isolante consegue reter 70 do calor do material Ou seja podese concluir que o material é um bom isolante d Como a temperatura no interior do cilindro é de 900 ºC e no meio em que ele está inserido é de 20 ºC a temperatura no exterior do isolante 6186 ºC é condizente Ela isola o cilindro mas ainda assim sofre influência da temperatura do meio Exercício 02 Um ferro elétrico industrial de passar tem uma base de alumínio densidade 2700 kgm3 Cp0896 KJkg C K204 Wm C que pesa 15 kg A base do ferro tem a face de passar com 006 m2 e é aquecida na outra face por um calefator de 800 W Inicialmente o ferro está na temperatura do ar ambiente que é de 20 C Perguntase a Quanto tempo passará para que o ferro atinja 120 C se o coeficiente de transferência de calor entre o ferro e o ar ambiente for h20 Wm2C b Quanto tempo passará para que o ferro atinja 120 C se o coeficiente de transferência de calor entre o ferro e o ar ambiente for h40 Wm2C c Qual será a temperatura estacionária ou temperatura de equilíbrio do ferro elétrico Calefator 800W Área Hipóteses Transferência de calor por convecção na superfície e condução no interior em regime transiente Propriedades constantes Sem geração de energia Ls VA MAρ 15kg 006 m² 2700 kgm³ 925910³ m Bi hLs k 20 Wm² ºC 925910³ m 204 Wm ºC 907710⁴ Bi 01 Parâmetros concentrados e Análise Global m Ah ρVCp Ah mCp 006 m² 20 Wm² ºC 15 kg 0896 10³ Jkg ºC 0892910³ s¹ q 800 006 13333 10³ W m² θt θ0 qh eᵐᵗ qh t 1m ln θ0 qh θt qh t 1m ln T0 T qh Tt T qh t 1 0892910³ ln 20ºC 20ºC 1333310³ W m² 20 W m² ºC 120ºC 20ºC 1333310³ W m² 20 W m² ºC t 182 s Exercício 01 Uma esfera de aço inoxidável de 2 cm de diâmetro é aquecida uniformemente até T 900 C Ela será temperada mergulhandose de repente em um banho de óleo a T 50 C Se a têmpera ocorre quando a esfera atinge 100 C e o coeficiente de transferência de calor entre o óleo e a esfera for 300 Wm² C Propriedades Esfera de aço ρ 7865 kgm³ Cp 04 KJKg C K 61 Wm C Perguntase a Quanto tempo a esfera deve ser mantida no óleo a T 50 C para que ocorra a têmpera E qual é a energia que a esfera dissipa para o banho b Quanto tempo a esfera deve ser mantida no óleo a T 25 C para que ocorra a têmpera O tempo será reduzido à metade do calculado no item a Por que E qual é a energia que a esfera dissipa para o banho neste caso c Se forem temperadas 100 esferasmin determine a taxa de calor que deverá ser retirada do banho de óleo a fim de manter sua temperatura a 25 C b Bi hLsk 40 Wm²ºC 925910³ m 204 WmºC 1815410⁴ m Ah ρVCp Ah mCp 006 m² 40 Wm²ºC 15 kg 0896 10³ JkgºC 1785810³ s¹ t 1m lnθ0 qh θt qh 1 1785810³ ln20ºC 20ºC 1333310³ Wm² 40 Wm²ºC 120ºC 20ºC 1333310³ Wm² 40 Wm²ºC t 200s c t Caso h 40 Wm²ºC T θ T θ 1333310³ Wm² 40 Wm²ºC 33333 ºC T 33333ºC 20ºC T 35333ºC Hipóteses REGIME TRANSIENTE PROPRIEDADES CONSTANTES SEM GERAÇÃO DE ENERGIA TROCA DE CALOR POR CONVECÇÃO DO BANHO PARA A ESFERA E POR CONDUÇÃO NO INTERIOR DA ESFERA Ls r3 001 m 3 3333 103 m Bi h ro 3 k 300 W m2 ºC 001 m 3 61 W m ºC 001639 Bi 01 Parâmetros concentrados e análise global m ρ V 7865 4 3 π 0013 32945 104 kg Q m Cp T Ti 32945 104 400 50 400 Q 11201 kW E 11210 kJ s m A h ρ Cp V 6 h D ρ Cp 6 300 002 7865 400 00286 s1 θtθ0 Tt T T0 T emt 100 50 900 50 e00286 t t 99 s b A equação não é linear para o tempo portanto o novo tempo não será a metade do anterior Q mCpT Ti 3294510⁴40025 400 Q 11531 kW E 11531 kJs θtθ0 Tt TT0 T eⁿᵗ 100 25900 25 e⁰⁰²⁸⁶ᵗ t 86s c A taxa de calor não depende do tempo Q 100ρCpT Ti Q 1003294510⁴40025 900 1153 kW q Qt 115360 19218 kWs θt θ0 qn emt qn j 1m lnθ0 qn θt qn j 1112 x 103 ln20 20 1429020 110 20 1429020 120 b EXERCÍCIO 2 FEN II ANA CAROLINA BAUMEL DOS SANTOS GRR 20202433 Um ferro elétrico industrial de passar tem uma base de alumínio densidade 2700 kgm³ Cp 0896 kJkg C K 204 Wm C que pesa 14kg A base do ferro tem a face de passar com 007 m² e é aquecida na outra face por um calefator de 1000W Inicialmente o ferro está na temperatura do ar ambiente que é de 20 C ENUNCIADO a Quanto tempo passará para que o ferro atinja 110 C se o coeficiente de transferência de calor entre o ferro e o ar ambiente for h 20 Wm² C b Quanto tempo passará para que o ferro atinja 110 C se o coeficiente de transferência de calor entre o ferro e o ar ambiente for h 40 Wm² C c Qual será a temperatura estacionária ou temperatura de equilíbrio do ferro elétricopara ambos os coeficientes convectivos ENUNCIADO REGIME TRANSIENTE PROPRIEDADES CONSTANTES SEM GERAÇÃO DE ENERGIA TROCA DE CALOR POR CONVECÇÃO HIPÓTESES a Quanto tempo passará para que o ferro atinja 110 C se o coeficiente de transferência de calor entre o ferro e o ar ambiente for h 20 Wm² C j 1223 x 103 ln20 20 1429040 110 20 1429040 130 b b Quanto tempo passará para que o ferro atinja 110 C se o coeficiente de transferência de calor entre o ferro e o ar ambiente for h 40 Wm² C j 1223 x 103 ln20 20 1429040 110 20 1429040 130 b c Qual será a temperatura estacionária ou temperatura de equilíbrio do ferro elétricopara ambos os coeficientes convectivos EXERCÍCIO 1 FEN II ANA CAROLINA BAUMEL DOS SANTOS GRR 20202433 Uma esfera de aço inoxidável de 254 cm de diâmetro é aquecida uniformemente até T 800 C Ela será temperada mergulhandose de repente em um banho de óleo a T 50 C Se a têmpera ocorre quando a esfera atinge 100 C e o coeficiente de transferência de calor entre o óleo e a esfera for 300 Wm²C Propriedades da esfera de aço ρ 7865 kgm³ Cp 04 KJkg C K 61 Wm C ENUNCIADO Perguntase a Quanto tempo a esfera deve ser mantida no óleo a T 50 C para que ocorra a têmpera b Quanto tempo a esfera deve ser mantida no óleo a T 40 C para que ocorra a têmpera c Se forem temperadas 100 esferasmin determine a taxa de calor que deverá ser retirada do banho de óleo afim de manter sua temperatura a 40 C ENUNCIADO REGIME TRANSIENTE PROPRIEDADES CONSTANTES SEM GERAÇÃO DE ENERGIA TROCA DE CALOR POR CONVECÇÃO DO BANHO PARA A ESFERA E POR CONDUÇÃO NO INTERIOR DA ESFERA HIPÓTESES a Quanto tempo a esfera deve ser mantida no óleo a T 50 C para que ocorra a têmpera m A h ρ cp V 6 h 00254 7865 400 002252 s¹ θ t Tt T emt θ0 To T 100 50 e002252 t 0066 e002252 t t 12025 s 800 50 t 120 s b Quanto tempo a esfera deve ser mantida no óleo a T 40 C para que ocorra a têmpera c Se forem temperadas 100 esferasmin determine a taxa de calor que deverá ser retirada do banho de óleo afim de manter sua temperatura a 40 C RESOLUÇÃO EXERCÍCIO 4 Ana Carolina Baumel dos Santos Ana Laura de Souza Lima Água entra em um tubo trocador de calor na temperatura de 50 F e a 20 galmin os tubos tem diâmetro de 1 polegada e 10 ft pés de comprimento Assumindo que a temperatura da parede é constante e igual a 210F estime a temperatura de saída da água usando a a analogia de Reynolds b a analogia de Colburn c a analogia Prandtl d a analogia de Von Kármán e Correlações empíricas use as correlações empíricas disponíveis na apostila para Calcule o valor de h f Análise crítica dos valores de h e da temperatura de saída da água obtida nos itens anteriores ENUNCIADO CÁLCULO DO VALOR DE ST DIAGRAMA PARA A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA ITERAÇÕES PARA ENCONTRAR A TEMPERATURA DE SAÍDA CÁLCULO DO H REGIME ESTACIONÁRIO NÃO HÁ GERAÇÃO DE ENERGIA AS PROPRIEDADES DO FLUÍDO SÃO CONSTANTES HIPÓTESES CONSIDERADAS 5 Conversão de unidades para o SI 1 Cálculo da temperatura de Bulk Tbulk 55 C 2 Cálculo do número de Reynolds Re 133 105 4 Obtenção dos dados para a água os quais estão presentes no anexo B1 3 Obtenção do fator de atrito pelo diagrama de Moody f 0017 PROCEDIMENTOS INICIAIS 6 Cálculo de Cf2 pela equação abaixo Cf2 213103 TABELA PARA OS DADOS DA ÁGUA TBULK 55 C EQUAÇÃO PARA O CÁLCULO DE H h St ρ v Cp EQUAÇÃO CÁLCULO ITERATIVO PARA TEMPERATURA DE SAÍDA St 213 103 h 22 104 WCm² Tsaída 30136 K CORRELAÇÃO DE REYNOLDS St 102 103 h 105 104 WCm² Tsaída 37032 K CORRELAÇÃO DE COULBURN St 145 103 h 15 104 WCm² Tsaída 3489 K CORRELAÇÃO DE PRANDTL St 126 103 h 13 104 WCm² Tsaída 35941 K CORRELAÇÃO DE VAN KARMÁN Num 4496 h 115 104 WCm² Tsaída 3684 K CORRELAÇÃO EMPÍRICA DITTUS ANÁLISE CRÍTICA DOS VALORES DE H E TSAÍDA Houve pouca variação nos valores de h a faixa de variação ficou entre 105 104 a 22 104 WC m² A maior variação foi relacionada a correlação de Reynolds já que essa necessida de um número de Prandlt de 1 e devido a isso a temperatura mais destoante foi dessa correlação Como prova de que as correlações são coerentes nenhuma temperatura de saída alcançou o valor da temperatura da parede isso já era esperado 653 QUESTÃO B PROVA 2 FENÔMENOS DE TRANSPORTE 2 Gabriel Henrique da Silva GRR20191916 07052022 ENUNCIADO A água entra em um tubo trocador de calor na temperatura de 50 F e a 20 galmin os tubos tem diâmetro de 1 polegada e 10 ft pés de comprimento Assumindo que a temperatura da parede é constante e igual a 210F estime a temperatura de saída da água usando 4a a analogia de Reynolds4b a analogia de Colburn 4c a analogia Prandtl 4d a analogia de Von Kármán 4e Correlação empíricause todas as opções de correlações empíricas aplicáveis e faça uma análise crítica dos resultados obtidos bCalcule o valor de h para cada um dos casos Considerações Os efeitos de entrada deverão ser negligenciados e as propriedades da água poderão ser obtidas utilizando a temperatura média 2 ESQUEMA E DADOS Mercado de serviços 3 RESOLUÇÃO Pela 1ª lei da termodinâmica Q1 Q2 Q3 Q3 Q1 Q2 0 DaIlese que Q1 ρ π D²4 θ x Cp Txx Q2 h π D Δx Ts T Q3 ρ π D² 4 θ x cp TxΔx Logo π D²Vx Cp TxΔx Tx hπ D Δx Ts T 0 D4 T1Δx TlxΔx h ρ Vx Cp Ts T 0 Se Δx tende a zero temos dTdx h ρ θ x cp 4 D T Ts 0 Integrando to a t2 dTTTs h ρ v x Cp 4 D 0 a L dx 0 lnT1 Ts T0 Ts h ρ V x Cp 4L D 0 I número de Stanton Como a equação tem como incógnitas Tl e h precisamos utilizar mais uma equação Assumindo que a temperatura média é 90F temos que 90 210 2 150F ou seja a T FILME 150F Com isso v 0479 10⁵ Ft²s TUBOS LISCOS Re D Vx v 112 817 0479 10⁵ 14363572 Escoamento turbulento Pelo diagrama de Moody Re 1800 f 00042 RESOLUÇÃO Sabese que qTL TS To Ts h v x Cp 9L D 0 h ln TL TS To TS ρ x Cp D 4 L Cte ρ x Cp D L 980230 kgm3 418736 Jkg K 2493 ms 1 pol 410 Ft 12 pol Ft 213181 Wm²K Para a correlação de Reynolds h ln 152210 50210 213181 2763 Wm²K Para a correlação de Colburn h ln 115210 50210 213181 7111 Wm²K Para a correlação de Prandtl h ln 132210 50210 213181 1532 Wm²K Para a correlação de von Kármán h ln 125210 50210 213181 1398 Wm²K Análise crítica A analogia de Reynolds é a que mais difere dos resultados obtidos pelas outras analogias isso se deve a desconsideração do número de Prandtl Pr 1 o que gera um erro de análise considerável RESOLUÇÃO item A Delta T Tx TSAT 100C a 1 atm Delta T 118 100 18C Segundo a figura 1061 a ebulição nucleada ocorre pois Delta T está entre 5C e 30C qnuc μe hfg g ρe ρl12 g c1σ Cpe Delta T Csf hfg Pre n3 Utilizando os dados de tabelas do livro de Çengel 2020 σ 00589 Nm Pre 175 ρe 9579 kgm3 Csf 00066 ρv 05978 kgm3 n 10 hfg 2257 KJKg g 98 ms2 Cpe 4217 Jkg K Ts 118C μe 0282 103 Pas TSAT 100C qnuc 834692152 Wm² Q Aq Q πD²4 q π03²4 q 59000911 W 653 QUESTÃO C PROVA 2 FENÔMENOS DE TRANSPORTE 2 Gabriel Henrique da Silva GRR20191916 07052022 ENUNCIADO Água deve ser fervida à pressão atmosférica em uma panela de Latão colocada em cima de uma unidade de aquecimento como mostrado na Fig1015 A superfície interna da parte inferior da panela é mantida a T 118C Considerando que o diâmetro da parte inferior da panela é 30 cm determine a A taxa de transferência de calor para a água b A taxa de evaporação da água c fluxo máximo 2 RESOLUÇÃO Pela analogia de Reynolds St f2 00021 ln TL TS To TS 00021 4L D 0 Pela analogia de Colburn St f2 Pr23 00021 27213 000108 ln TL TS To TS 000108 4L D 0 Pela analogia de Prandtl St f2 15 sqrtf2Pr1 000151 ln TL TS To TS 000151 4L D 0 Pela analogia de von Kármán St f2 1 52 sqrtPr1 ln 1 56 Pr1 000131 TL 152F TL 115F TL 132F TL 125F ln TL TS To TS 000131 4L D 0 item B Q ṁ hfg ṁ Q hfg 59000911 225710³ 02614 Kgs item c qmáx FL0131ρv½hfg σgρc ρv ρo¼ Utilizando as propriedades do vapor na temperatura média Tp Tw Ts 2 100 118 2 109 ρv interpolação de ρ T 100ºC e ρ 7 110ºC ρTp 109ºC 08035 Kgm³ L L gρr ρ0 σ½ L 1972 m Considerando uma placa infinita voltada para cima L 27 FL 119 qmáx 119013108035½225710³ 00589989579 02035¼ qmáx 146978850 Wm² 653 QUESTÃO D PROVA 2 FENÔMENOS DE TRANSPORTE 2 Gabriel Henrique da Silva GRR20191916 07052022 ENUNCIADO Vapor de água saturado inseto de ar a 𝑇𝑠65C P2503KPa condensase na superfície externa de um tubo longo vertical de 25 cm de diâmetro externo e 6 m de comprimento mantido à temperatura uniforme 𝑇𝑤35C pelo fluxo de água de refrigeração dentro do tubo Admitindo que haja condensação pelicular calcule a O coeficiente de transferência de calor médio sobre todo o comprimento do tubo e a vazão do condensado na base do tubo b Considerando que este tubo esteja instalado horizontalmente calcule o coeficiente de transferência de calor médio sobre todo o comprimento do tubo e a vazão do condensado no tubo Compare com os valores encontrados para o item anteriora c Considerando que seja instalado um condensador contendo um feixe de tubos com n8 segundo dois arranjos possíveis o quadrado e o triangular conforme ilustração a seguir Avalie coeficiente de transferência de calor médio e a vazão de condensado para os dois arranjos e compare mostrando qual dos dois arranjos é mais eficiente 2 I CONSIDERE O ARRANJO QUADRADO ABAIXO II CONSIDERANDO O ARRANJO TRIANGULAR ABAIXO RESOLUÇÃO D Ts 65C Tw 35C P 2503 kPa Condensação pelicular Tubo longo vertical De 25 cm L 6 m item A Admitindo regime laminar e condensação em tubos verticais Tf TsTw2 50C hn ed 113 g ρl plp0 hfg Ke ³₄ μl TsTw L ¹₄ Dados para Tf 50C Gengel Tabela A9 ρl 9581 Kgm³ μl 0547 10³ Rs Kℓ 0694 Wm c hf g 2383 kJKg Cp l 41815 KJkg Pr 355 ρ0 00831 Kgm³ hn ed 113 58 9581 ² 2383 10³ 0694 0547 10³ 6535 ³₄ 316895 Wm²C m π DLh ned TsTwhfg π 0025 6 316895 6535 238363 188 10² Kgs Verificando o regime de esca mento Re 4ṁ πDl 4 188 10² π 0025 0547 10³ 175041 Considerando que Re 1800 configura esca mento laminar a resolução está correta RESOLUÇÃO item B Admitindo instalação horizontal hn ed 0 125 g ρl ² hf g K e ³₄ μl TsTw D 8002 59 Wm²C m πDLh nedtsTw 475 10² Kg s hf g Como a instalação horizontal tem maior taxa de troca térmica convectin é plausível que a condensação seja maior item C Arranjo quadrado 2 arranjos de 1 tubo horizontais 2 arranjos de 3 tubos hm1 hm4 hm2 hn3 hm 1N ¼ hn ed RESOLUÇÃO hm1 hm4 1h ¼ hn ed hn ed 800259 Wm²C hm2 hn3 13 ¼ hn ed 608065 Wm²C hn total hn1hn2hn3hn4 2816698 Wm²C m πDLhn total 6535hf g 01671 Kgs Arranjo triangular 4 arranjos de 2 tubos hm1 hm2 hm3 hm4 hn ed2 ¼ 672935 Wm²C hn total hn1hn2hn3hn4 2691790 Wm²C m π DL hn total 6535hf g 01597 Kgs Análise crítica O arranjo quadrado tem maior coeficiente de troca convectiva logo tem uma taxa de condensado maior sendo então mais eficiente Resolução nas páginas abaixo 2 Dados Tw 80C To 60C D 00254 m L 35 m U 002 ms Hipóteses escorramento totalmente desenvolvido radiação desprezível sem efeitos de entrada Hipóteses N 1 Tl arbitrário 80C Tbulk To Tl 2 60C 80C 2 70C Dados da água em Tbulk TABELA B2 Oziski ρ 97977 kgm³ Cp 41904 JkgC ν 42110⁷ m²s k 06595 WmK Pr 262 Cálculo de Reynolds Re U D ν 00200254 42110⁷ 1207 10⁴ LAMINAR Correlação de Seider e Tate p regime Laminar μbulk 40110⁴ Pas μw 114 0044 μbulkμw 975 μw 35510⁴ Pas Gz RePr LD 2294 Gz13 μbulk μw014 9893817 2 048 Pr 16700 Portanto 𝑇𝐿 7220º𝐶 b Portanto 𝑚 001773 𝑘𝑔𝑠 6283 𝑘𝑔ℎ c Portanto ℎ𝑚𝑣𝑒𝑟𝑡 436833 𝑊𝑚2𝐾 E também 𝑅𝑒 2279 1800 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜 d Substituindo os dados na equação e chutando um valor de L encontrase hmsf e hminf Tendo esses valores precisamos substituílos na expressão abaixo para encontrar L Q hmsf hminf e L Tw To L0 L eL eL 2L 2e Percebese que essa resolução pode ser resolvida por cálculos iterativos Utilizando a ferramenta Atingir Metas do excel e substituindo todos os valores nas expressões acima encontrase L 227 m b Análise crítica O valor do comprimento está condizente Caso o calor dissipada fosse menor que 1000w o comprimento da fita teria que ser menor também De maneira similar essa e largura fosse maior o comprimento seria menor Resolução a 𝑚 𝐴 ℎ 𝜌 𝑉 𝐶𝑝 𝐴 ℎ 𝑚 𝐶𝑝 006 𝑚2 20 𝑊𝑚2º𝐶 15 𝑘𝑔 0896 103𝐽𝑘𝑔º𝐶 08929103 𝑠1 𝑞 800 006 13333 103𝑊𝑚2 𝜃𝑡 𝜃0 𝑞 ℎ 𝑒𝑚𝑡 𝑞 ℎ 𝑡 1 𝑚 ln 𝜃0 𝑞 ℎ 𝜃𝑡 𝑞 ℎ 𝑡 1 08929103 ln 20º𝐶 13333103𝑊𝑚2 20𝑊𝑚2º𝐶 120º𝐶 13333103𝑊𝑚2 20𝑊𝑚2º𝐶 188 𝑠 b 𝑡 1 𝑚 ln 𝜃0 𝑞 ℎ 𝜃𝑡 𝑞 ℎ 1 08929103 ln 20º𝐶 13333103𝑊𝑚2 40𝑊𝑚2º𝐶 120º𝐶 13333103𝑊𝑚2 40𝑊𝑚2º𝐶 431𝑠 c 𝑡 𝜃 13333103𝑊𝑚2 20 𝑊𝑚2º𝐶 66667 º𝐶 ou metade disso a 𝒙 𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝒎 𝒆 𝒕 𝟔𝟔𝟎𝒔 1º Cálculo de 𝜉 𝜉 𝑥 2𝛼𝑡 5102 27107660 1163 2º pela tabela D2 pg 327 𝑒𝑟𝑓𝜉 089910 3º 𝜃𝑥 𝑡 𝑇𝑥𝑡125º𝐶 25º𝐶125º𝐶 𝑒𝑟𝑓𝜉 089910 𝑻𝒙 𝒕 𝟑𝟓 𝟏º𝑪 b 𝒙 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟐 𝒎 𝒆 𝒕 𝟔𝟔𝟎𝒔 𝜉 𝑥 2𝛼𝑡 10102 27107660 2326 𝑒𝑟𝑓𝜉 099897 𝜃𝑥 𝑡 𝑇𝑥𝑡125º𝐶 25º𝐶125º𝐶 𝑒𝑟𝑓𝜉 099897 𝑻𝒙 𝒕 𝟐𝟓 𝟏º𝑪 c 𝒙 𝟏𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝒎 𝒆 𝒕 𝟔𝟔𝟎𝒔 𝜉 𝑥 2𝛼𝑡 10102 27107660 3489 𝑒𝑟𝑓𝜉 1 𝜃𝑥 𝑡 𝑇𝑥𝑡125º𝐶 25º𝐶125º𝐶 𝑒𝑟𝑓𝜉 1 𝑻𝒙 𝒕 𝟐𝟓 º𝑪 d 𝒙 𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝒎 𝒆 𝒕 𝟏𝟓𝟎𝟎𝒔 𝜉 𝑥 2𝛼𝑡 15102 271071500 077 𝑒𝑟𝑓𝜉 0723775 𝜃𝑥 𝑡 𝑇𝑥𝑡125º𝐶 25º𝐶125º𝐶 𝑒𝑟𝑓𝜉 0723775 𝑻𝒙 𝒕 𝟓𝟐 𝟔 º𝑪 e 𝒙 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟐 𝒎 𝒆 𝒕 𝟏𝟓𝟎𝟎𝒔 𝜉 𝑥 2𝛼𝑡 10102 271071500 154 𝑒𝑟𝑓𝜉 093099 𝜃𝑥 𝑡 𝑇𝑥𝑡125º𝐶 25º𝐶125º𝐶 𝑒𝑟𝑓𝜉 093099 𝑻𝒙 𝒕 𝟑𝟏 𝟗 º𝑪 f 𝒙 𝟏𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝒎 𝒆 𝒕 𝟏𝟓𝟎𝟎𝒔 𝜉 𝑥 2𝛼𝑡 15102 271071500 231 𝑒𝑟𝑓𝜉 0998896 𝜃𝑥 𝑡 𝑇𝑥𝑡125º𝐶 25º𝐶125º𝐶 𝑒𝑟𝑓𝜉 0998896 𝑻𝒙 𝒕 𝟐𝟓 𝟏 º𝑪 g 𝒙 𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝒎 𝒆 𝒕 𝟏𝟗𝟖𝟎𝒔 𝜉 𝑥 2𝛼𝑡 5102 271071980 067 𝑒𝑟𝑓𝜉 065603 𝜃𝑥 𝑡 𝑇𝑥𝑡125º𝐶 25º𝐶125º𝐶 𝑒𝑟𝑓𝜉 065603 𝑻𝒙 𝒕 𝟓𝟗 𝟒 º𝑪 h 𝒙 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟐 𝒎 𝒆 𝒕 𝟏𝟗𝟖𝟎𝒔 𝜉 𝑥 2𝛼𝑡 10102 271071980 134 𝑒𝑟𝑓𝜉 094191 𝜃𝑥 𝑡 𝑇𝑥𝑡125º𝐶 25º𝐶125º𝐶 𝑒𝑟𝑓𝜉 094191 𝑻𝒙 𝒕 𝟑𝟎 𝟖 º𝑪 i 𝒙 𝟏𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝒎 𝒆 𝒕 𝟏𝟗𝟖𝟎𝒔 𝜉 𝑥 2𝛼𝑡 15102 271071980 201 𝑒𝑟𝑓𝜉 099549 𝜃𝑥 𝑡 𝑇𝑥𝑡125º𝐶 25º𝐶125º𝐶 𝑒𝑟𝑓𝜉 099549 𝑻𝒙 𝒕 𝟐𝟓 𝟓 º𝑪 Temperatura em função de x e t 𝑻𝒙 𝒕 𝒕 𝟏𝟏𝒎𝒊𝒏 𝒕 𝟐𝟓𝒎𝒊𝒏 𝒕 𝟑𝟎𝒎𝒊𝒏 𝒙 𝟓𝒄𝒎 351 º𝐶 526 º𝐶 594 º𝐶 𝒙 𝟏𝟎𝒄𝒎 251 º𝐶 319 º𝐶 308 º𝐶 𝒙 𝟏𝟓𝒄𝒎 25 º𝐶 251 º𝐶 255 º𝐶 Como era esperado quanto maior for a profundidade em que se está medindo menor será o valor da temperatura Além disso quanto maior for o tempo de contato com a superfície quente maior será a temperatura 24 29 34 39 44 49 54 59 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Temperatura ºC x cm Temperatura t 11min t 25min t 33 min Andreas Schwambach GRR 20191920 368 Uma barra cilíndrica de cobre com diâmetro D 5mm é aquecida pela passagem de uma corrente elétrica A superfície da barra é mantida a uma temperatura de 175ºC enquanto está dissipando calor por convecção para um ambiente a Tw 25ºC com um coeficiente de transferência de calor h 150 Wm² ºC Se a barra for recoberta por uma película de 1 mm de espessura e condutividade térmica k 06 Wm ºC a sua perda de calor aumentará ou diminuirá 371 Um fio elétrico de diâmetro D 3mm deve ser recoberto por um isolante de borracha com condutividade térmica k 015 Wm² ºC Se o coeficiente de transferência de calor externo é h 50m² ºC qual é a espessura ótima do isolamento de borracha para provocar a máxima perda de calor pelo fio 377 Aletas planas de cobre com seção reta retangular tendo espessura t 1mm altura L 10 mm e condutividade térmica k 380 Wm ºC são fixadas a uma parede plana mantida à temperatura T0 230 ºC As aletas dissipam calor para o ar ambiente a T 30ºC com um coeficiente de transferência de calor h 30 Wm² ºC Há um espaço de 8 mm entre as aletas isto é 125 aletas por metro Admita perda de calor desprezível na ponta a Determine a eficiência da aleta b Determine a eficiência da aleta ponderada pela área c Determine a taxa líquida de transferência de calor por metro quadrado da superfície plana da parede d Qual seria a taxa de transferência de calor da parede plana na ausência de aletas Andreas Schwambach GRR 20191920 378 Discos circulares de alumínio empregados como aletas com seção retangular constante são fixados a um tubo de diâmetro externo D 25 cm com um espaçamento de 8 mm isto é 125 aletas por metro de comprimento do tubo As aletas têm uma espessura t 1mm altura L 15 mm e condutividade térmica k 200 Wm ºC A parede do tubo se mantém a uma temperatura T 200ºC e as altera dissipam convectivamente calor para o ar ambiente a T 40 Wm² ºC a Determine a eficiência da aleta b Determine a eficiência da aleta ponderada pela área c Determine a perda líquida de transferência de calor por metro quadrado do tubo d Qual seria a perda de calor por metro de comprimento do tubo na ausência de aletas Andreas Schwambach GRR 20191920 387 Uma barra cilíndrica de ferro de comprimento L 30 cm diâmetro D 1 cm e condutividade térmica k 65 Wm ºC está fixa horizontalmente a um grande tanque à temperatura T 200 ºC A vara está dissipando convectivamente calor para o ar ambiente a T 20 ºC com um coeficiente de transferência de calor h 15 Wm² ºC Qual é a temperatura da barra a 10 cm e a 20 cm do tanque Andreas Schwambach GRR 20191920 2 Transferência unidimensional de calor por condução em regime estacionário e sem geração interna de calor ocorre no sistema mostrado A condutividade térmica material é de 25 WmK enquanto a espessura da parede L é de 05 m Determine as grandezas desconhecidas para cada caso mostrado na tabela e esboce a distribuição de temperatura indicando a direção do fluido térmico Caso T1 T2 dTdx Km qx Wm² 1 400 K 300 K 2 100 C 250 3 80 C 200 4 30 C 5 C 4000 5 3000 21 Condição de calor unidimensional regime estacionário sem geração interna de calor T1 T2 Caso 1 k qx dTdx kbT2T1 kdT qxqb 0 b qkT2T1 qx L0 qk k T2T1 25 300400 5000 wm² L 05 dTdx qxqb 500025 dTdx 200 Km Caso 2 qx kb 250 25 250 6250 Wm² To dTx L T1 250005 373 248k 25C Caso 3 qx kb 200 25 200 5000 Wm² T2 dTxL T1 200 005 353 453 k 180C Caso 4 dTxdx qxkb 400025 160 Km T1 dTxdx L T2 160005 268 348k 75C Caso 5 dTxdx qxkb 300025 120 Km T2 dTxL T1 12005 303 363k 90C 3 Observase que a distribuição de temperatura em estado estacionário no interior de uma parede unidimensional com condutividade térmica de 50 WmK e espessura de 50 mm tem a forma TC a bx² onde a 200 C b 2000Cm² e x está em metros a Qual a taxa de geração de calor q na parede b Determine os fluxos de calor nas duas faces da parede Resposta a 210⁵ Wm² b 10000 Wm² 3 Estado estacionário condução unidimensional a Equação de Fourier q k ddx dTdx k ddx d200 2000x²dx q k ddx 4000 x k 4000 50 4000 q 210⁵ Wm² b Lei de Fourier qkx kb dTxdx qkx kb ddx 200 2000 x² kb 4000 x 1ª parede x 0 q0 5040000 0 2ª parede x L 005 m qL 504000005 10000 Wm² 4 Em um processo de fabricação uma película transparente está sendo fixada sobre um substrato conforme é mostrado no desenho Para curar a fixação a uma temperatura To uma fonte de energia radiante é usada para fornecer um fluxo de calor qo Wm² que é totalmente absorvido na superfície filmesubstrato A parte inferior do substrato é mantida a Ti enquanto a superfície livre da película está exposta ao ar a uma temperatura To com um coeficiente de transferência de calor por convecção h a Desenhe o circuito térmico que representa a transferência de calor em regime estacionário Certifiquese de que sejam identificados todos os elementos nós e taxas de transferência de calor b Considere as seguintes condições To 20C h 50 Wm²K e Ti 30C Calcule o fluxo radiante q necessário para manter a temperatura da superfície filmesubstrato em To 60C Resposta b 2833 Wm² 4 Película Substrato Ligação To Li 025 mm ky 0025 WmK Ls 10 mm ks 005 WmK To h Ts Ti Røv Resistência Térmica por convecção Rov Rpf Resistência Térmica por condução no Filme Rss Resistência Térmica por condução no substrato b qo qo qp qo To To To Ti 1Røv Rpf Rss qo 6020 6030 2833 Wm² 0020 0010 0020 5 Uma placa de aço com 1 m de comprimento k 50 WmK tem os seus lados isolados termicamente enquanto a superfície superior é mantida a 100C e a superfície inferior é resfriada por convecção por um fluido que se encontra a 20C em condições de regime estacionário sem geração de calor um termopar posicionado no ponto intermediário entre as duas superfícies revela uma temperatura de 85C Qual o valor do coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície inferior da placa Resposta 30 Wm²K 5 1m 100C T 20C A Tf1 85C L 1m k50WmK 1500 150 1h 80 30 1500 h h 30 Wm²K Q1 Q2 50100 85 100 20 05 80 h 6 Uma parede composta separa gases de combustão a 2600 C de um líquido refrigerante a 100 C com coeficientes de transferência de calor por convecção no lado do gás e no líquido iguais a 50 e 1000 Wm²K respectivamente A parede é composta por uma camada de 10 mm de óxido de berílio no lado do gás e uma placa de 20 mm de aço inoxidável AISI 304 no lado do líquido A resistência de contato entre o óxido e o aço é de 005 m²KW Qual é a perda de calor por unidade de área de superfície da parede composta Esboce a distribuição de temperatura entre o gás e o líquido Resposta 34600 Wm² 6 Tgás 2600C Tiq 1900C hgas 50 Wm²K hliq 1000 Wm²K L110 mm L220 mm Reconto 005 m²KW k óxido de berílio 275 WmK k aço 25 WmK q To1 To2 Rconx1 Rberilio Rcontó Rcontra Rconta 1h1 L1kberilio L2k aço h2 q 2600 100 150 007275 005 2025 11000 q 34600 Wm² q h1 To1 Ts1 Ts1 To1 qh1 2600 3460050 1908C Tq1 Ts1 L1qkberilio 1908 00134600275 1892C Encontrando Ts2 q Ts1 Ts2 Rconbto Ts2 Ts1 Rcontoq Ts2 1892 00534600 162C Ts2 162 00334600 1346C 254 7 Seja a parede de um tubo com raios internos e externos iguais a ri e re cujas temperaturas são mantidas a Ti e Te respectivamente A condutividade térmica do material do tubo é função da temperatura podendo ser representada por uma expressão na forma k ko1aT onde ko e a são constantes Obtenha uma expressão para a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo Qual é a resistência térmica da parede do tubo 7 qr ko Ar dTdr ko 2πrL dTdr qr bko 2πrL dTdr qr ko 2πrLo 1 aT dTdr qrdr bko 2πrL 1 aT dTdr 12πrL qrdr bko ddt laT dTdr 12πrL qrdr bo ddt ko l aT dTdr 2πrL 2πrL qrdr bo ko L TdT Aplicando as CC qrdr bko Ts Ti aT2 tL 2πrL 2π qr 21 ko 12 g T0 Ti T0 Tnlnr2rassim Ex 2 Um gás de chaminé a Tg1000K e PT1atm com 10 de vapor H2O e 20 de CO2 por volume flui sobre um banco de tubos disposto segundo um arranjo triangular equilátero tendo os tubos D76cm e espaçamento S2D Os tubos são mantidos a uma Tw500K uniforme e são considerados negros Calcule o intercâmbio líquido de calor radiante entre a mistura gasosa e os tubos por m2 da superfície da parede dos tubos Figura 135a usada para achar εg 1000K e αg 500K da água Figura 134a usada para achar εg 1000K e αg 500K da CO2 Figura 135b usada para encontrar o Cw da água Figura 134b usada para encontrar o Cc do CO2 Figuras 136 usadas para encontrar Δ𝜖 e Δα Percebese que quando se dobra a Pressão P 1 atm para P 2 atm o fluxo líquido de calor aumentou em 934 q 72133 Wm² para q 139503 Wm² Ex 2 Um gás de chaminé a Tg1000K e Pt1atm com 10 de vapor H2O e 20 de CO2 por volume flui sobre um banco de tubos disposto segundo um arranjo triangular equilátero tendo os tubos D76cm e espaçamento S2D Os tubos são mantidos a uma Tw500K uniforme e são considerados negros Calcule o intercâmbio líquido de calor radiante entre a mistura gasosa e os tubos por m2 da superfície da parede dos tubos Hipóteses Regime permanente Propriedades constantes Troca térmica somente radiativa Sem geração de energia a Para 1 atm Ex 2 Tg1000K e Pt1atm Tw500K 10H2O 20 CO2 D76102 m S2D Regime Permanente propriedades constantes troca térmica somente radiativa Comprimento equivalente L tabela 131 L30 SD L 30 2DD 3D 3076102 m L0228m Água CO2 Pressão Pw01 Pt01 atm Pw01 atm Pressão Pc02 Pt 02 atm Pc024 atm PwL01 atm0228 m PwL00228 matm PcL02 atm0228 m PcL00456 matm Eg e αg pela Figura 135a Eg1000K 005 αg500K 0085 Eg e αg pela Figura 134a Eg1000K 009 αg500K 008 Figura 135a usada para achar εg 1000K e αg 500K da água Figura 134a usada para achar εg 1000K e αg 500K da CO2 Figuras 136 usadas para encontrar Δ𝜖 e Δα Exercício 3 Uma tubulação de vapor dágua sem isolamento térmico atravessa uma sala cujas paredes encontramse a 25ºC O diâmetro externo do tubo é de 007m o comprimento de 3m sua temperatura é de 200ºC e sua emissividade igual a 08 Considerando a troca por radiação entre o tubo e a sala semelhante a aquela entre uma superfície pequena e um envoltório muito maior determinar a taxa de calor perdida por radiação pela superfície do tubo Andreas Schwambach Considerando regime estacionário e a troca de radiação é entre a sala e o tubo 3 q Tij 25ºC 298 K D 007 m L 3 m TS 200 ºC 473 K E 08 Tij 25ºC 9 q AE Ts4 Tij4 q πDL E Ts4 Tij4 q π 007 m 3 m 08 567 108 W m2 K4 473K4 298K4 q 126191 W 2 α 16 107 m2 s k 06 W mºC ρ 15 103 kg m3 Cp 25 103 J kg ºC d 5 102 m r 25 102 m Ti 8ºC T 100ºC h 120 W m²ºC To 70ºC Regime transiente sem geração de energia convecção entre a superfície e o meio e condução no interior propriedades constantes Portanto τ 045 τ α t r02 045 16 107 m² s t 25 102 m2 t 1758 s a Bi h Lc k 120 W m²ºC 25 103 m 3 95 W mºC 2 2 01 Parâmetros distribuídos To 100ºc To 70ºC Pelos cartões de T transiente Θ0 To Ta Ti To 70 100 8 100 0278 1 Bi 12 05 b q ρVCp Ti To 15 103 43 π 25 102 m3 25 103 8 100 26507 kJ Para 500 pães por minuto 26507 kJ x 500 13254 kJ min Qmáx Nos cartões Bi h k0 6 3x² t h² x t K² 100² 16 107 1758 113 Q 095 Q 095 13254 kJ min 12591 kJ min Qmáx O calor para assar 500 pães é 500x o calor para assar 1 pão O calor então é proporcional ao número de pães O tempo para assar é aceitável 1758 s 30 min Andreas Schwambach 1 Dext 254 102 m L 30 m Ti 900C K Qw minºC hpoa 250 Wm²ºC To 20ºC Reduzirem 30 a Cilindro pois é tubulação b To 20ºC ho 250 Wm²c Ti 900ºC 30 m Hipóteses Regime estacionário condução unidimensional propriedades constantes e sem geração de energia c r 254 102 127 102 m 2 Analogia com resistores Ti Rcond Rconv qᵢ T Sem revestimento qᵢ Ti To Rconv Ti To 1 2πrlk L 900C 20C 2π127 102 m 250 Wm²C 30 m qᵢ 5266576 W Porém deve se reduzir em 30 portanto 526657 07 q 3686596 Pela equação do cilindro com o revestimento q Ti To Rcond Rconv 3686596 W q Ti To lnr2 r1 2 π K L 1 2 π r2 h L Pelos cálculos iterativos se encontra η2 001307 m Espessura η2 η1 001307 00077 m 37 10⁴ m q TTo Rcon 2 α π αhL 3686596 3686596 T20 2π 001307 m 25020 T 6186 C Exercício 4 Calcule Considere uma placa de dimensões 2L15cm 2L210cm E 2L38cm 1 A temperatura no centro em t 90 s TxyztT00090 2 A energia removida da placa por unidade de área 1m2 durante t 90 s DADOS Cp 460 Jkg¹ C¹ ρ 7850 kgm³ T 25C h 500 Wm² C¹ α 16 10³ m²s¹ K 215 Wm¹ C¹ 2L 5 cm θxyzt θwall xt θwall yt θwall zt Rectangular parallelepiped 1º 2L₁ 5 cm 1Bi khL 215 Wm¹C¹500 Wm²C¹ 2510² m 172 τ αtL² 1610³ m²s¹ 90 s2510²m² 2304 Pelas cartas θ₀₁ 0001 2º 2L₂ 10 cm 1Bi khL 215 Wm¹C¹500 Wm²C¹ 510² m 86 τ αtL² 1610³ m²s¹ 90 s510²m² 576 Pelas cartas θ₀₂ 00017 3º 2L₃ 8 cm 1Bi khL 215 Wm¹C¹ 500 Wm²C¹ 410² m 1075 τ αtL² 1610³ m²s¹ 90 s 410² m² 90 Pelas cartas θ₀₃ 0001 θ₀ θ₀₁θ₀₂θ₀₃ θ₀ 0001000170001 1710⁹ Txyzt θ₀ Tᵢ T T Txyzt 1710⁹ 225C 25C 25C Txyzt 2500000034 Cálculo do calor QQmáx total3D QQmáx₁ QQmáx₂ 1 QQmáx₁ QQmáx₃ 1 QQmáx₁ 1 QQmáx₂ Pela carta do calor Bi²τ h²αtk² 078 PL₁ Bi 0058 QQmáx₁ 1 PL₂ Bi 0116 QQmáx₂ 093 PL₃ Bi 0093 QQmáx₃ 096 QQmáx tota QQmáx₁ QQmáx₂ 1 QQmáx₁ QQmáx₃ 1 QQmáx₁ 1 QQmáx₂ Q Qmáx total 1 093 1 1 096 1 1 1 093 Q Qmáx total 1 Qmáx m Cp T Ti Qmáx 25102 m 5102 m 4102 m 7850 kg m3460 J kg1 ºC1 25ºC 225ºC Qmáx 36110 J Q Qmáx 36110 J Gráficos utilizados Exercício 1 A parede da fornalha de uma caldeira é construída de tijolos refratários com 020m de espessura e condutividade térmica de 13 WmK A temperatura da parede interna é de 1127ºC e a temperatura da parede externa é de 827ºC Determinar a taxa de calor perdido através de uma parede com 18m por 20 m Exercício 2 Ar a Tar 25ºC escoa sobre uma placa lisa mantida a Tw 150ºC O coeficiente de convecção é de 80 Wm² ºC Determinar a taxa de calor considerando que a placa possui área de A 15 m² a ΔT Tsp Tset 110 100 10 C Como ΔTrex ΔT 30 esse processo é no regime de ebulição nucleada q μ hfg g ge ρl ρv r12 Cpf ΔT Cpf hfg Pr23 adaptado para q Dados TABELA A9 r 00589 Nm TABELA 101 ρl 9579 Cpf 4217 Jkg K ρv 175 ge 1 hfg 2257103 Jkg Cs 00130 Tabela 103 μ 0282103 kgm3 n 1 Substituindo os valores q 0282103 2257103 981 9579 06 1 0058912 4217 110 100 00130 2257103 1533 q 6364743993070554 q 141104 Wm2 Taxa de calor Q A q A π 032 4 π 032 4 007069 m2 Q 007069 141 104 Q 9962888 W b Q M hfg M Q hfg M 9962888 W 2257103 Jkg M 441102 kgs c Fluxo máximo qmax FL 0131 ρv05 hfg r g gc ρl ρv14 L L g ρl ρv r12 Dados r 00589 Nm ρl 9579 kgm3 e ρv 06 kgm3 hfg 2257103 Jkg gc Pão 105C umida L 03 981 9579 02701 0058912 11978 m L 727 FL 114 qmax 114 0131 0270112 2257103 00589 981 1 9579 0270114 qmax 139 106 Wm2