Exercícios Resolvidos - Circuitos RLC e Equações Diferenciais

1 A variação na carga elétrica Q ao longo do tempo em um circuito RLC é dada por L d²Qdt² R dQdt QC Et Q0 Q₀ Q0 I₀ onde L R e C são constantes e Et representa uma força eletromotriz aplicada ao sistema podendo ser constante ou variar ao longo do tempo a 20 pts Obtenha a solução geral para o caso onde Et 0 R 2 C 1 e L 2 e a solução particular considerando Q₀ 0 e I₀ 1 b 20 pts Considere agora que uma força eletromotriz seja aplicada no sistema de modo que Et 2t Obtenha a solução para este caso considerando os demais parâmetros e as condições iniciais iguais aos definidos no item a c 10 pts Podese mostrar que as funções y₁t er₁t e y₂t er₂t onde r₁ e r₂ são as raízes da equação característica associada formam um conjunto fundamental de soluções para este problema Discuta brevemente o que isso significa 2 30 pts Um tanque com volume de V 1000 litros contém inicialmente 10 kg de sal dissolvido concentração inicial de C₀ 101000 001 kgL Uma solução com concentração de Cₑ 0005 kgL é alimentada ao tanque com uma vazão de Q 2 Ls enquanto que a mesma quantidade é removida para manter o volume constante Através de um balanço de massa podese mostrar que a variação na concentração Ct de sal ao longo do tempo t é dada por V dCdt Cₑ CQ Determine o tempo necessário para que a concentração de sal no tanque seja de C 00075 kgL 3 Considere o campo de direções apresentado na figura a seguir referente a uma equação diferencial do tipo dydt fty Com relação a este campo responda as seguintes perguntas a 10 pts Para qual valor tende a variável dependente conforme a independente tende a infinito considerando que y0 01 E para o caso y0 2 b 10 pts Considere as seguintes possibilidades para a função fty i fty t t² ii fty y y² iii fty t y² Qual delas você considera que pode estar associada com o campo de direções apresentado Justifique brevemente a escolha