Transformada de Laplace-Solução de EDOs para Engenharia Química

Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Solução de EDOs por Transformadas de Laplace Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná A Transformada de Laplace Definição A transformada de Laplace TL de uma função ft definida em 0 é dada pela seguinte integral imprópria Fs 0 est ftdt 1 Ou seja Fs lim N 0N est ftdt 2 Este processo basicamente transforma uma função de t em uma função de s Exemplo 1 Determine a transformada de Laplace de ft 1 t 0 Solução Aplicando a definição de transformada de Laplace temos Fs lim N 0N est ftdt lim N 0N estdt lim N est s tN t0 Fs lim N 1s esN s Aqui percebemos que o limite só é finito se s 0 assim Fs 1s para s 0 Como veremos mais adiante a vantagem de se utilizar a ferramenta da Transformada de Laplace na solução de EDOs é que ela transforma equações diferenciais ordinárias no domínio t em equações algébricas no domínio s Exemplo 2 Determine a transformada de Laplace de ft eat t 0 sendo a uma constante Solução Aplicando a definição de transformada de Laplace temos Fs lim N 0N est ftdt lim N 0N esteatdt lim N 0N esatdt Fs lim N esat sa tN t0 lim N 1sa esaN sa Aqui percebemos que o limite só será finito se s a assim Fs 1sa para s a Ao aplicarmos a TL em diferentes funções podemos gerar uma tabela de transformadas Este tipo de tabela é extremamente útil para que possamos recorrer a transformadas de funções conhecidas sem a necessidade de aplicarmos a Eq 2 a todo momento Tabela 1 Transformadas de Laplace de algumas funções simples ft Fs L ft 1 1s s 0 eat 1sa s a tn n 1 2 3 n sn1 s 0 senbt b s2 b2 s 0 cosbt s s2 b2 s 0 eattn n 1 2 3 n san1 s a eatsenbt b sa2 b2 s a eatcosbt sa sa2 b2 s a Uma propriedade importante da transformada de Laplace é sua linearidade apresentada no Teorema 1 Teorema 1 Sejam f1t f2t e f3t funções cujas transformadas de Laplace existem para s a e c uma constante qualquer então para s a L f1t f2t L f1t L f2t 3 Lc f3t cL f3t 4 Exemplo 3 Determine L11 5e4t 6sen2t Solução Definindo f t 11 5e4t 6sen2t e usando a propriedade de linearidade da Transformada de Laplace temos L f t L11 L5e4t L6sen2t L f t 11L1 5Le4t 6Lsen2t As transformadas de cada termo entre chaves podem ser obtidas direta mente utilizandose a Tabela 1 L f t 111 s 5 1 s 4 6 2 s2 22 L f t 11 s 5 s 4 12 s2 4 s 4 3 Transformada de Laplace inversa Definição dada uma função Fs se houver uma função ft que seja contínua em 0 e satisfaça Lft Fs 5 dizemos que ft é a transformada de Laplace inversa de Fs e empregamos a notação ft L1Fs 6 Exemplo 4 Determine L15s6 6s s2 9 3 2s2 8s 10 Solução Definindo Fs 5s6 6s s2 9 3 2s2 8s 10 temos que L1Fs 5L11s6 6L1s s2 9 3 2 L11 s2 4s 5 As transformadas inversas dos dois primeiros termos entre chaves podem ser obtidas diretamente com o auxílio da Tabela 1 L11s6 e6t L1s s2 9 L1s s2 32 cos3t Ao observarmos a Tabela 1 percebemos que não existe nenhuma expressão similar ao terceiro termo entre chaves L11 s2 4s 5 Precisamos reescrever essa fração em termos de fatores lineares s a ou quadráticos s a2 b2 Para isso precisamos primeiro encontrar as raízes de s2 4s 5 0 Se as raízes r1 e r2 forem reais podemos reescrever o polinômio de segundo grau como a multiplicação de dois fatores lineares s2 4s 5 s r1s r2 Entretanto se as raízes forem complexas devemos reescrever o polinômio como um fator quadrático s2 4s 5 s 4 2 2 5 4 2 2 Obtemos então as raízes r 4 16 20 2 2 i Como as raízes são complexas precisamos expressar o polinômio como um fator quadrático s² 4s 5 s 2² 1 Agora sim podemos utilizar a Tabela 1 para nos auxiliar a encontrar a transformada inversa desejada L¹ 1 s² 4s 5 L¹ 1 s 2² 1 L¹ 1 s 2² 1² e²t sent Temos finalmente que L¹Fs 5e⁶t 6cos3t 32e²t sent Exemplo 5 determine L¹ 5 s 2⁴ Solução O denominador s 2⁴ sugere que devemos trabalhar com com a seguinte transformada inversa L¹ n s an1 ea t tⁿ Comparando os denominadores percebemos que a 2 e n 3 O que significa que L¹ 3 s 2⁴ e²t t³ A diferença entre a expressão acima e a transformada inversa procurada está no numerador Podemos inicialmente multiplicar a operação de transformada por 55 55 L¹ 3 s 2⁴ e²t t³ Como a transformada inversa tem a propriedade de linearidade a seguinte manipulação é possível 3 5 L¹ 5 s 2⁴ e²t t³ Basta agora isolar o termo que representa a transformada procurada L¹ 5 s 2⁴ 56 e²t t³ Transformada de Laplace da derivada Visto que nosso interesse na Transformada de Laplace está na sua aplicação na solução de equações diferenciais precisamos trabalhar também com as transformadas de derivadas de funções Considerando ft uma função contínua em 0 desejamos então determinar Lft Aplicando a definição de transformada Eq 2 temos Lft limN ₀ᴺ est ft dt 7 Para resolvermos a transformada da Eq 7 precisamos recorrer a técnica de integração por partes u dv uv v du Definindo est u ft dt dv temos v ft du s est dt Logo limN ₀ᴺ est ft dt limN est ft ₀ᴺ ₀ᴺ ft s est dt Ou seja limN ₀ᴺ est ft dt limN esN fN f0 s limN ₀ᴺ est ft dt Para valores de s maiores que um número suficientemente grande a limN esN fN 0 para s a Pela própria definição da Transformada de Laplace temos que limN ₀ᴺ est ft dt Lft Concluímos finalmente que Lft s Lft f0 s a 8 Por analogia podemos obter também a Transformada de Laplace da derivada segunda de uma função ft Lft s Lft f0 Lft s² Lft s f0 f0 9 Resolvendo PVIs por Transformadas de Laplace Exemplo 6 Resolva o seguinte PVI por Transformadas de Laplace yt 6 yt 9 yt 0 y0 1 y0 6 Solução Primeiramente aplicamos a TL nos dois lados da equação diferencial Lyt 6 yt 9 yt L0 Lyt 6 Lyt 9 Lyt L0 Como a transformada de Laplace de zero é zero temos Lyt 6 Lyt 9 Lyt 0 10 A partir das Eqs 8 e 9 temos Lyt s Lyt y0 Lyt s² Lyt s y0 y0 Substituindo na Eq 10 temos s² Lyt s y0 y0 6 s Lyt y0 9 Lyt 0 11 Podemos agora procurar pela função Ys que é a Transformada de Laplace da solução procurada Lyt Ys Reescrevemos então a Eq 11 em termos de Ys s² Ys s y0 y0 6s Ys y0 9 Ys 0 Perceba que y0 e y0 são fornecidos pelas condições iniciais assim s² Ys s 6 6s Ys 1 9 Ys 0 Fazemos agora algumas manipulações para isolar o termo Ys s² Ys s 6 s Ys 9 Ys 0 s² Ys 6 s Ys 9 Ys s Ys s² 6 s 9 s Ys s s² 6 s 9 Se Ys é a Transformada de Laplace da solução procurada então a solução procurada será a Transformada de Laplace inversa de Ys yt L¹Ys Ou seja yt L1 ss2 6s 9 Aqui devemos reescrever o polinômio de segundo grau presente no denominador ou como um fator quadrático ou como a multiplicação de dois fatores lineares a depender do tipo de raízes reais ou complexas Obtemos então as raízes de s2 6s 9 r 6 pm sqrt36 362 3 e percebemos que s2 6s 9 s 3s 3 s 32 Assim yt L1 ss32 Não temos ainda condições de fazer a transformada inversa de forma direta ou seja com o auxílio da Tabela 1 Devemos então expandir a função racional em frações parciais Como o fator linear s 3 é repetido temos ss32 As3 Bs32 Para obtermos os valores de A e B primeiramente multiplicamos os dois lados da equação por s32 s As3 B Precisamos agora reescrever o lado direito na forma de um polinômio de primeiro grau cujos coeficientes dependerão de A e B s As 3A B 12 Percebemos que a igualdade da Eq 12 depende das seguintes restrições 3A B 0 A 1 Downarrow B 3 Temos então que ss32 1s3 3s32 Ou seja yt L1 1s3 3s32 yt 3 L1 1s32 L1 1s3 Agora sim da Tabela 1 temos que L1 1s3 e3t e L1 1s32 t e3t Chegamos então finalmente na solução procurada yt 3e3t t e3t ou yt e3t 3t 1 Expansão em frações parciais Considere uma função racional qualquer na forma PsQs em que Ps e Qs são polinômios com o grau de P menor que o grau de Q Para que possamos aplicar uma transformada de Laplace inversa nesse tipo de função precisamos geralmente expandila em frações parciais Existem três casos a considerar 1 Fatores lineares não repetidos 2 Fatores lineares repetidos 3 Fatores quadráticos 1 Fatores lineares repetidos Se Qs puder ser fatorado para a forma de um produto de fatores lineares distintos 𝑄𝑠 𝑠 𝑟1𝑠 𝑟2 𝑠 𝑟𝑛 Onde os 𝑟𝑖 são todos números reais distintos então a expansão em frações parciais tem a forma 𝑃𝑠 𝑄𝑠 𝐴1 𝑠 𝑟1 𝐴2 𝑠 𝑟2 𝐴𝑛 𝑠 𝑟𝑛 1 Em que os 𝐴𝑖 são números reais Existem várias maneiras de determinar as constantes 𝐴1 𝐴𝑛 Abaixo serão demonstrados dois métodos os quais podem ser também aplicados para os outros tipos de fatores lineares não repetidos e quadráticos Exemplo Expanda 7𝑠 1 𝑠2 3𝑠 2𝑠 3 em frações parciais Solução Inicialmente precisamos reduzir o polinômio 𝑠2 3𝑠 2 à multiplicação de dois fatores lineares Para isso precisamos de duas raízes reais de 𝑠2 3𝑠 2 0 Pela fórmula de Bhaskara temos 𝑟1 1 𝑟2 2 Logo 𝑠2 3𝑠 2 𝑠 𝑟1𝑠 𝑟2 𝑠 1𝑠 2 Assim 7𝑠 1 𝑠2 3𝑠 2𝑠 3 7𝑠 1 𝑠 1𝑠 2𝑠 3 Pela equação 1 temos que 7𝑠 1 𝑠 1𝑠 2𝑠 3 𝐴 𝑠 1 𝐵 𝑠 2 𝐶 𝑠 3 Onde A B e C são números reais a serem determinados Um procedimento que funciona para todas as expansões em frações parciais é multiplicar primeiro a equação de expansão pelo denominador da função racional dada Isso nos deixa com dois polinômios idênticos Podemos então igualar os coeficientes destes polinômios para gerar a um sistema de equações algébricas lineares cuja solução fornecerá os valores das constantes desconhecidas Neste caso multiplicamos por 𝑠 1𝑠 2𝑠 3 7𝑠 1 𝐴𝑠 2𝑠 3 𝐵𝑠 1𝑠 3 𝐶𝑠 1𝑠 2 2 Que se reduz a 7𝑠 1 𝐴 𝐵 𝐶𝑠2 𝐴 2𝐵 3𝐶𝑠 6𝐴 3𝐵 2𝐶 Igualando os coeficientes de 𝑠2 𝑠 e 1 temos o sistema de equações lineares 𝐴 𝐵 𝐶 0 𝐴 2𝐵 3𝐶 7 6𝐴 3𝐵 2𝐶 1 Resolvendo esse sistema temos A2 B3 e C 1 Logo 7𝑠 1 𝑠 1𝑠 2𝑠 3 2 𝑠 1 3 𝑠 2 1 𝑠 3 Um método alternativo e muito eficiente principalmente para fatores lineares não repetidos para encontrar as constantes A B e C a partir da equação 2 é escolher três valores convenientes para s e substituílos na equação Percebemos que a equação 2 fica simplificada se s1 2 ou 3 Para s1 71 1 𝐴1 21 3 8 𝐴14 4𝐴 8 𝐴 2 Para s2 72 1 𝐵2 12 3 𝐵 3 Para s3 73 1 𝐶3 13 2 𝐶 1 2 Fatores lineares repetidos Seja 𝑠 𝑟 um fato de Qs e que m seja a potência mais alta de 𝑠 𝑟 então a parte da expansão em frações parciais de PsQs corresponde ao termo 𝑠 𝑟𝑚 é 𝐴1 𝑠 𝑟 𝐴1 𝑠 𝑟2 𝐴𝑚 𝑠 𝑟𝑚 3 Exemplo Expanda 𝑠2 9𝑠 2 𝑠 12𝑠 3 em frações parciais Solução Pela equação 3 𝑠2 9𝑠 2 𝑠 12𝑠 3 𝐴 𝑠 1 𝐵 𝑠 12 𝐶 𝑠 3 Logo 𝑠2 9𝑠 2 𝐴𝑠 1𝑠 3 𝐵𝑠 3 𝐶𝑠 12 Escolhendo convenientemente s1 e s3 encontramos B 3 e C 1 Escolhendo um terceiro valor qualquer de s uma vez conhecidos B e C encontramos A 2 Portanto 𝑠2 9𝑠 2 𝑠 12𝑠 3 2 𝑠 1 3 𝑠 12 1 𝑠 3 3 Fatores quadráticos repetidos e não repetidos Considere que 𝑠 𝑎2 𝑏2 seja um fator quadrático de Qs que não pode ser reduzido para fatores lineares Sendo m a potência mais alta de 𝑠 𝑎2 𝑏2 então a parte da expansão em frações parciais de PsQs corresponde ao termo 𝑠 𝑟𝑚 é 𝐶1𝑠 𝐷1 𝑠 𝑎2 𝑏2 𝐶2𝑠 𝐷2 𝑠 𝑎2 𝑏22 𝐶𝑚𝑠 𝐷𝑚 𝑠 𝑎2 𝑏2𝑚 4 OBS se m1 então o fator quadrático não é repetido se m1 então o fator quadrático é repetido Visto que o objetivo de escrever PsQs em frações parciais é a aplicação da transformada inversa de Laplace é mais conveniente escrever as frações como 𝐴1𝑠 𝑎 𝑏𝐵1 𝑠 𝑎2 𝑏2 𝐴2𝑠 𝑎 𝑏𝐵2 𝑠 𝑎2 𝑏22 𝐴𝑚𝑠 𝑎 𝑏𝐵𝑚 𝑠 𝑎2 𝑏2𝑚 5 Exemplo Expanda 2𝑠2 10𝑠 𝑠2 2𝑠 5𝑠 1 em frações parciais Solução Percebemos que 𝑠2 2𝑠 5 não pode ser reduzido à multiplicação de dois fatores lineares já que 𝑠2 2𝑠 5 não possui raízes reais Devemos então escrever 𝑠2 2𝑠 5 como um fator quadrático no formato 𝑠 𝑎2 𝑏2 𝑠2 2𝑠 5 𝑠 12 4 𝑠 12 22 Logo 𝑎 1 𝑏 2 Temos então que 2𝑠2 10𝑠 𝑠2 2𝑠 5𝑠 1 2𝑠2 10𝑠 𝑠 12 22𝑠 1 Aplicando a expansão proposta em 5 2𝑠2 10𝑠 𝑠 12 22𝑠 1 𝐴𝑠 1 2𝐵 𝑠 12 22 𝐶 𝑠 1 Podemos encontrar as constantes das mesmas formas feitas para os exemplos anteriores A 3 B 4 C 1 Logo 2𝑠2 10𝑠 𝑠 12 22𝑠 1 3𝑠 1 2 4 𝑠 12 22 1 𝑠 1 3 𝑠 1 𝑠 12 22 4 2 𝑠 12 22 1 𝑠 1 6 Verifique que a transformada inversa de Laplace pode ser agora facilmente aplicada para todos os termos da equação 6 Grau de Ps maior ou igual que o grau de Qs Caso o grau de Ps não seja estritamente menor do que de Qs devese adicionar às frações parciais um polinômio com os coeficientes a determinar cujo grau é a diferença entre o grau de Ps e Qs Por exemplo a função racional 𝑠3 𝑠 2 𝑠 1𝑠 3 Pode ser escrita como 𝐴 𝑠 1 𝐵 𝑠 3 𝐶 𝐷𝑠 Os termos 𝐴 𝑠1 e 𝐵 𝑠3 vêm da equação 1 Já 𝐶 𝐷𝑠 é um polinômio de grau 1 diferença entre o grau de Ps e o grau de Qs A obtenção das constantes A B C e D pode ser feita da mesma forma que os casos anteriores