Solução de Equações Diferenciais Parciais - Métodos Matemáticos Engenharia Química

Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Solução de Equações Diferenciais Parciais Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Temos nos dedicado até o momento ao estudo de soluções de equação diferenciais ordinárias ou seja equações diferenciais que apresentam uma única variável independente A partir de agora daremos ênfase ao estudo de equações diferenciais parciais EDPs que são equações diferen ciais que apresentam duas ou mais variáveis independentes Este tipo de equação aparece comumente na modelagem de sistemas transientes onde a variável de interesse depende também de pelo menos uma dimensão do espaço e na modelagem de sistemas estacionários onde a variável de interesse depende de ao menos duas dimensões do espaço A solução de EDPs não apresenta tanta generalidade como as soluções para EDOs Por esse motivo é interessante que trabalhemos com base em estudos de caso Estudo de caso Modelo para fluxo de calor Considere um pedaço de fio fino e isolado cujas extremidades são mantidas em uma temperatura de 0 C e cuja distribuição de temperatura inicial seja especificada Suponha que o fio seja colocado ao longo do eixo x com x 0 na extremidade esquerda e x L na extremidade direita ver Fig 1 x 0 L Figura 1 Pedaço de fio fino isolado 1 Se considerarmos que u indica a temperatura do fio então u depende do tempo t e da posição x dentro do fio Como o fio é fino e está isolado podemos assumir que u é constante por toda seção transversal correspondente a um valor fixo de x Ou seja a temperatura não varia ao longo do raio do fio A partir de um balanço de energia em um elemento de volume infinite simal do fio é possível obter um modelo matemático que descreve como a temperatura varia ao longo do tempo t em diferentes posições x1 ux t t β2ux t x2 0 x L t 0 1 u0 t uL t 0 t 0 2 ux 0 f x 0 x L 3 A Eq 1 é a equação diferencial parcial que relaciona a variação de tempe ratura com o tempo e espaço A constante β representa a difusividade térmica2 do material A Eq 2 apresenta as condições de contorno homogêneas estabe lecidas pelo problema as temperaturas nas extremidades do fio serão iguais a zero para qualquer valor de tempo A Eq 3 apresenta a condição inicial que é o perfil de temperatura ao longo do fio para t 0 Método da separação de variáveis Estamos agora interessados em encontrar a função ux t que satisfaça a EDP Eq 1 as condições de contorno Eq 2 e também uma condição ini cial definida por uma função f x qualquer Eq 3 A ideia do método da separação de variáveis é propor a solução do problema na seguinte forma ux t φxθt 4 O que estamos propondo na Eq 4 é que a solução u que sabemos depender tanto de x quanto de t pode ser definida como a multiplicação de uma função φ que só depende de x por uma função θ que só depende de t Dessa forma podemos reescrever as derivadas parciais da EDP como ux t t φxθt 5 2ux t x2 φxθt 6 Substituindo 5 e 6 em 1 φxθt βθtφx 0 x L t 0 7 1Os detalhes dessa modelagem estão fora do escopo da disciplina 2Quanto maior a difusividade térmica de um material mais rapidamente sua temperatura irá variar a partir de uma condição inicial 2 Podemos agora reescrever a Eq 7 de forma que termos que dependam da variável t fiquem à esquerda da igualdade e termos que dependam da variável x fiquem à direita da igualdade É nesta etapa que estamos efetivamente separando as variáveis 1 β θt θt φx φx 0 x L t 0 8 Perceba que o lado esquerdo da Eq 8 não varia com a variação de x da mesma forma que o lado direito não varia com a variação de t Dessa forma podemos concluir que ambos os lados da equação devem ser iguais a uma constante Definindo essa constante como sendo igual a λ temos 1 β θt θt λ t 0 9 φx φx λ 0 x L 10 Podemos agora avaliar as EDOs apresentadas nas Eqs 9 e 10 de forma separada Como as condições de contorno são mais restritivas que a condição inicial comecemos a trabalhar com a Eq 10 que pode ser escriva como φx λφx 0 0 x L 11 Percebemos que φx é a solução de uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e homogênea O domínio espacial indica que a EDO está associada a um problema de valor de contorno Para podermos adicionar essas condições à Eq 11 precisamos primeiramente aplicar as condições apresentadas na Eq 2 na solução proposta pela Eq 4 φ0θt φLθt 0 12 Percebemos que as igualdades em 12 são satisfeitas se θt 0 Essa solução entretanto não nos interessa pois ela implicaria que ux t 0 o que só seria possível se a condição inicial fosse homogênea ux 0 0 Como estamos interessados em uma solução ux t que seja capaz de satisfazer uma condição inicial qualquer Eq 3 devemos rejeitar a solução trivial ux t 0 Assim concluímos que as igualdades em 12 podem ser satisfeitas se φ0 φL 0 13 A Eq 13 nos apresenta então as condições de contorno que juntamente com a EDO em 11 formam um problema de valor de contorno φx λφx 0 φ0 φL 0 14 Para resolver a EDO homogênea em 14 precisamos primeiro resolver sua equação característica r2 λ 0 r λ 3 Lembremos aqui que a solução geral de uma EDO linear de 2ª ordem homogênea e com coeficientes constantes depende do tipo de raízes da equação característica reais distintas reais repetidas ou complexas conjugadas O tipo de raízes por sua vez vai depender do valor de λ Entretanto a inserção dessa constante nas Eqs 9 e 10 não acompanhou nenhuma restrição ao seu valor Dessa forma vamos obter as soluções para intervalos de valores de λ que geram as diferentes soluções possíveis Raízes reais distintas λ0 Neste caso a solução geral da Eq 14 fica ϕxC1eλx C2eλx 15 As constantes C1 e C2 podem ser obtidas a partir da aplicação das condições de contorno ϕ00C1C2 ϕL0C1eλL C2eλL Logo C1C2 C2eλL C2eλL C2eλL eλL 0 C20 C10 Para esses valores de C1 e C2 a Eq 15 fica ϕx0 16 Substituindo 16 em 4 temos uxt0 Solução trivial Ou seja os valores de λ0 resultam apenas em soluções triviais para uxt Essas soluções não podem portanto satisfazer uma condição inicial qualquer do tipo ux0fx 0 Precisamos encontrar então valores de λ que resultem em soluções nãotriviais para a EDO Esses valores são chamados de autovalores As soluções não triviais associadas aos autovalores são chamadas de autofunções Perceba que n0 não é considerado em 22 pois ele gera um valor de λ que não se enquadra no intervalo com o qual estamos trabalhando λ0 A Eq 22 contempla então todos os autovalores λ Ao substituílos em 18 encontramos todas as autofunções que são soluções não triviais da Eq 14 ϕxC2sennπxL n1234 23 Podemos usar o índice n para deixar explícito que existem diferentes funções ϕ cada uma associada a um valor de n Como C2 é uma constante arbitrária podemos considerar também que existem diferentes constantes para cada autofunção ϕnxansennπxL n1234 24 Uma vez resolvida a EQ 14 voltemos para a outra EDO gerada no processo de separação de variáveis Eq 9 1βθtθt λ Podemos inicialmente fazer algumas manipulações θtθt βλ 1θt dθtdt βλ 25 A Eq 25 é essencialmente uma EDO de 1ª ordem separável cujos passos de solução são mostrados abaixo dθtθt βλdt dθtθt βλdt lnθt βλt C θt eβλtC θt eCeβλt θt eCeβλt θt Ceβλt Perceba que essa equação não depende do valor de λ podendo ser substituída na Eq 4 juntamente com qualquer ϕx que não resultasse em uma solução trivial Para esse estudo de caso em particular percebemos que apenas valores de apresentados na Eq 22 satisfazem esse critério Raízes reais repetidas λ0 Neste caso a solução geral da Eq 14 fica ϕxC1erxC2xerx Como r0 ϕxC1C2x 17 Aplicando as condições de contorno 0C1 0C1C2L C20 Para esses valores de C1 e C2 temos novamente que ϕx0 Solução trivial Raízes complexas λ0 A solução geral para as seguintes raízes complexas riλ fica ϕxC1cosλxC2senλx 18 Ao aplicarmos as condições de contorno temos 0C1cos0C2sen0 19 0C2senλL 20 A Eq 19 nos revela imediatamente que C10 A Eq 20 nos dá duas opções de solução C20 ou senλL0 Se C20 teremos novamente somente soluções triviais Felizmente percebemos que se λL for múltiplo de π λLnπ n1234 21 então a Eq 20 é satisfeita para qualquer valor de C2 Assim λnπL2 n1234 22 Outra coisa que percebemos é que temos também infinitas soluções de θt cada uma associada a um valor de n que define o valor de λ para λ 0 portanto θnt bn eβn πL2 t n1234 26 Lembremos novamente que ϕx e θt surgiram para definir uxt conforme a Eq 4 uxt φxθt Isso significa que temos infinitas funções uxt que satisfazem a EDP Eq 1 e também as condições de contorno Eq 23 unxt φnx θnt n1234 unxt an senn π xL bn eβn πL2 t n1234 Considerando cn an bn unxt cn senn π xL eβn πL2 t n1234 27 A partir do princípio da superposição é possível construir uma única solução que contemple a n soluções apresentadas em 27 Prova Se u1xt e u2xt são duas soluções na forma da Eq 27 cada uma para um n diferente a soma dessas soluções também será solução da EDP da Eq 1 uxtt β 2 uxtx2 0 u1xt u2xtt β 2 u1xt u2xtx2 0 u1xtt β 2 u1xtx2 u2xtt β 2 u2xtx2 0 Zero Zero Visto que u10t u20t u1Lt u2Lt 0 a solução u1xt u2xt satisfaz não somente a EDP mas também as condições de contorno impostas na Eq 2 u10t u20t 0 u1Lt u2Lt 0 Podemos agora estender esse raciocínio para a soma de todas as n soluções do problema uxt n1 cn senn π x L eβn π L2 t 0 x L t 0 28 3Neste caso todas as soluções envolvem λ 0 Mas dependendo da EDP ou das condições de contorno poderíamos ter outros valores de λ presentes em soluções não triviais A solução apresentada na Eq 28 é conhecida como solução completa Se os infinitos coeficientes cn forem definidos de forma a satisfazer um condição inicial Tx 0 f x para uma f x especificada então teremos uma solução formal para o problema de valor de inicial de contorno Exemplo 1 Encontre a solução para o seguinte problema de fluxo de calor ux t t 72ux t x2 0 x π t 0 29 u0 t uπ t 0 t 0 30 ux 0 2 sen2x 6 sen5x 0 x π 31 Solução Comparando a Eq 29 com a Eq 1 vemos que β 7 e L π Como as condições de contorno apresentadas em 30 são do mesmo tipo das apresentadas em 2 temos que a solução completa desse problema tem a forma da Eq 28 ux t n1 cnsen nx e7n2t 0 x π t 0 32 Avaliando a Eq 32 para t 0 temos ux 0 n1 cnsen nx 0 x π 33 Ao compararmos 33 com 31 temos que n1 cnsen nx 2 sen2x 6 sen5x 34 Da Eq 34 percebemos que c1 0 c2 2 c3 c4 0 c5 6 c6 c7 0 Substituindo as constantes cn em 32 temos a solução do problema ux t 2 sen 2x e28t 6 sen 5x e175t Mas e quando a condição inicial não é dada de forma direta como uma soma de autofunções Nesses casos precisaremos reescrever a condição inicial como uma série de Fourier de senos ou cossenos conforme for o caso 8 Exemplo 2 Obtenha uma solução formal para o seguinte problema Txtt 005 2 Txtx2 0 x π t 0 T0t Tπt 0 t 0 Tx0 50 0 x π Percebemos que L π e β 005 Substituindo na solução completa associada à EDP e condições de contorno Txt n1 an sennx e005 n2 t 0 x π t 0 Aplicando a condição inicial 50 n1 an sennx 0 x π A expressão acima é a série de fourier de senos de fx 50 definida em 0 π onde an 2π 0π 50 sennx dx an 100π 0π sennx dx Resolvendo a integral definida 0π sennx dx cosnxn 0π 1n 1 cosn π Logo an 100 n π 1 cosn π Substituindo na solução completa temos a solução formal do problema Txt n1 100 n π 1 cosn π sennx e005 n2 t 0 x π t 0 Série de Fourier de cossenos Definição 1 Seja fx contínua por partes 4 no intervalo 0 L sua série de Fourier de cossenos é fx a0 n1 an cosn π xL onde a0 1L 0L fx dx an 2L 0L fx cosn π xL dx n123 Série de Fourier de senos Definição 2 Seja fx contínua por partes no intervalo 0 L sua série de Fourier de senos é fx n1 bn senn π xL onde bn 2L 0L fx senn π xL dx n123 4Uma função é contínua por partes sobre ab é uma função f contínua em cada ponto de a b exceto talvez em um número finito de pontos onde f apresenta descontinuidades do tipo salto Essas funções são necessariamente integráveis sobre todo o intervalo a b