Solução de EDOs por Transformadas de Laplace - Exercícios Resolvidos para Engenharia Química

Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Solução de EDOs por Transformadas de Laplace Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Exercícios Resolva os seguintes problemas de valor inicial por Transformadas de Laplace a yt yt 2 t2 y0 1 y0 0 Resposta yt t2 1 2et 1 2et b yt 2yt yt t y0 1 y0 1 Resposta yt 2 t et ett c yt 2yt 5yt 8et y0 2 y0 12 Resposta yt 3etcos2t 4etsen2t et d yt 2yt yt cos3t y0 0 y0 1 Resposta yt 2 25et 11 10ett 2 25cos3t 3 50sen3t 1 Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Solução de EDOs por Transformadas de Laplace Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Exercícios Resolva os seguintes problemas de valor inicial por Transformadas de Laplace a yt yt 2 t² y0 1 y0 0 Solução Aplicando a TL nos dois lados L yt yt L 2 t² L yt L yt L 2 L t² s²Ys sy0 y0 Ys 2s 2s³ Substituindo as condições iniciais s²Ys s Ys 2s 2s³ Colocando Ys em evidência Yss² 1 s 2s 2s³ Isolando Ys Yss² 1 s 2s 2s³ Yss² 1 s⁴ 2s² 2s³ Ys s4 2s2 2 s2 1s3 Obtendo as raízes de s2 1 0 r 4 2 1 Logo podemos então escrever s2 1 como a multiplicação de dois fatores lineares s2 1 s 1s 1 Assim Ys s4 2s2 2 s 1s 1s3 Expandindo a função racional em frações parciais s4 2s2 2 s 1s 1s3 A s 1 B s 1 C s D s2 E s3 Para encontramos os valores de A B C D e E multiplicamos os dois lados da equação por s 1s 1s3 s4 2s2 2 As 1s3 Bs 1s3 Cs 1s 1s2 Ds 1s 1s Es 1s 1 Substituindo s 0 2 E E 2 Substituindo s 1 1 2A A 1 2 Substituindo s 1 1 B21 B 1 2 Substituindo s 2 16 8 2 1 238 1 28 C134 D132 23 22 12 4 12C 6D 6 12C 6D 0 Substituindo s 2 22 1 218 1 238 C314 D312 E31 22 4 12 12C 6D 6 12C 6D 0 2 Resolvendo o sistema de duas equações para C e D obtemos C 0 D 0 Assim Ys s⁴ 2s² 2s 1s 1s³ 12 1s 1 12 1s 1 2s³ Aplicando a transformada inversa yt L¹ Ys L¹ 12 1s 1 12 1s 1 2s³ yt 12 L¹ 1s 1 12 L¹ 1s 1 L¹ 2s³ Utilizando a tabela de transformadas temos finalmente que yt 12 eᵗ 12 eᵗ t² b yt 2yt yt t y0 1 y0 1 Aplicando TL dos dois lados L yt 2L yt L yt L t s²Ys sy0 y0 2sYs 2y0 Ys 1s² Substituindo as condições iniciais s²Ys s 1 2sYs 2 Ys 1s² s²Ys s 2sYs 1 Ys 1s² Colocando Ys em evidência Yss² 2s 1 s 1 1s² Isolando Ys Yss² 2s 1 s³ s² 1s² Ys s³ s² 1s²s² 2s 1 Encontrando as raízes de s² 2s 1 r 2 4 4 2 1 Assim s² 2s 1 s 1² Logo Ys s³ s² 1s² s 1² Expandindo em frações parciais s³ s² 1s² s 1² As Bs² Cs 1 Ds 1² Multiplicando os dois lados por s² s 1² s³ s² 1 Ass 1² Bs 1² Cs² s 1 Ds² Substituindo s 0 1 B Substituindo s 1 1 D Substituindo s 1 1 4A 4 2C 1 4A 2C 6 2A C 3 Substituindo s 2 8 4 1 2A 1 4C 4 5 2A 4C 5 A 2C 0 Resolvendo as equações com A e C Fazendo a primeira menos 2segunda 3C 3 C 1 A 2 Assim Ys As Bs2 Cs 1 Ds 12 Ys 2 1s 1s2 1s 1 1s 12 Aplicando a inversa dos dois lados L1Ys 2L11s L11s2 L11s 1 L11s 12 Usando a tabela de transformadas yt 2 t et et t c yt 2yt 5yt 8et y0 2 y0 12 Aplicando TL dos dois lados Lyt 2Lyt 5Lyt 8Let s2 Ys sy0 y0 2s Ys y0 5Ys 8s1 s2 Ys sy0 y0 2s Ys 2y0 5Ys 8s1 Substituindo as condições iniciais s2 Ys 2s 12 2s Ys 4 5Ys 8s1 s2 Ys 2s 8 2s Ys 5Ys 8s1 Colocando Ys em evidência Yss2 2s 5 2s 8 8s1 Isolando Ys Yss2 2s 5 2s 8 8s1 Yss2 2s 5 2ss1 8s1 8s1 Yss2 2s 5 2s2 10ss1 Ys 2s2 10ss1s2 2s 5 Obtendo as raízes de s2 2s 5 r 4 4 202 complexas Assim s2 2s 5 s 222 5 222 s 12 4 Logo Ys 2s2 10ss1s12 4 Ys 2s2 10ss1s 12 22 Expandindo em frações parciais 2s2 10ss1s 12 22 As1 Bs 1 2Cs 12 22 Multiplicando dos dois lados por s 1s 12 22 2s2 10s As 12 22 Bs 1 2Cs 1 Substituindo s 1 2 10 4A 4C A C 3 Substituindo s 1 8 8A A 1 C 4 Substituindo s 0 0 15 B 8 B 8 5 3 Assim 2s2 10ss1s 12 22 1s1 3s 1s 12 22 4 2s 12 22 Ou seja Ys 1s1 3 s 1s 12 22 4 2s 12 22 Aplicando a inversa yt L11s 1 3L1 s 1s 12 22 4L1 2s 12 22 Usando a Tabela 1 do material teórico yt et 3et cos2t 4et sen2t d yt 2yt yt cos3t y0 0 y0 1 Aplicando TL dos dois lados s2Ys sy0 y0 2sYs 2y0 Ys s s2 32 Substituindo as condições iniciais s2Ys 1 2sYs Ys s s2 32 Isolando Ys Yss2 2s 1 1 s s2 32 Yss2 2s 1 s2 32 s s2 32 Ys s2 32 s s2 32s2 2s 1 Já vimos na letra b que s2 2s 1 s 12 Assim Ys s2 32 s s2 32s 12 Expandindo em frações parciais s2 32 s s2 32s 12 As 3B s2 32 C s 1 D s 12 Multiplicando os dois lados por s2 32s 12 s2 32 s As 3Bs 12 Cs2 32s 1 Ds2 32 Reescrevendo s2 32 s Ass 1s 1 3Bs 1s 1 Cs3 Cs2 32sC 32C s2D 32D s2 32 s As3 2As2 As 3Bs2 6Bs 3B Cs3 Cs2 32sC 32C s2D 32D s2 s 9 s3A C s22A 3B C D sA 6B 9 3B 9C 9D 8 Daqui tiramos o seguinte sistema de equações A C 0 1 2A 3B C D 1 2 A 6B 9C 1 3 3B 9C 9D 9 4 Ao resolvermos o sistema de equações algébricas lineares acima teremos A 225 B 350 C 225 D 1110 Assim Ys As 3Bs2 32 Cs 1 Ds 12 Ys A ss2 32 B 3s2 32 C 1s 1 D 1s 12 Ys 225 ss2 32 350 3s2 32 225 1s 1 1110 1s 12 Aplicando a transformada inversa yt 225 cos3t 350 sen3t 225 et 1110 t et