Séries de Potência em Engenharia Química - Introdução e Aplicações

Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Introdução às séries de potência Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Representação de funções por séries de potências Uma série de potências é definida pelo seguinte somatório a0 a1x x0 a2x x02 a3x x03 n0 anx x0n 1 onde an n 0 1 2 3 são os coeficientes da série x é a variável indepen dente e x0 é uma constante Veja que o valor de x0 define o valor de x para o qual o resultado da série depende de apenas um termo a0 Podemos então dizer que a Eq 1 é uma série de potências centrada em x0 Temos muitas vezes o interesse em trabalhar com a representação de uma função por uma série de potências ao invés da função em si Um exemplo clássico de uma função que pode ser representada por uma série de potências é a função ex ex 1 x x2 2 x3 3 x4 4 n0 1 n xn 2 Comparando 2 com 1 percebemos que x0 0 an 1 n 1 Repare que quando x 0 a solução da série é 1 que é exatamente o resultado de e0 Ou seja somente para x x0 é que o resultado da série de potências será idêntico ao da função original ex para um número finito de termos avaliados Para qualquer outro valor de x o resultado da série tenderá ao resultado de ex conforme n tender ao infinito Além disso quanto mais distante for x de x0 mais termos da série serão necessários para que ela represente a função original de forma satisfatória dentro de algum critério Isso pode ser bem observado na Figura 1 Figura 1 Comparação entre a função ex curva preta e suas séries de potência truncadas após diferentes termos curvas azuis A série apresentada em 2 não é a única capaz de representar ex Outro exemplo de como podemos representar ex em em série de potências é dado abaixo ex e ex 1 e 2x 12 e 3x 13 n0 e nx 1n 3 Aqui x0 1 an e n A diferença prática entre as séries que representam ex em 2 e 3 é que a primeira série funciona perfeitamente em x 0 enquanto a segunda funciona perfeitamente em x 1 como mostrado na Figura 2 2 Figura 2 Comparação entre a função ex curva preta e suas séries de potência truncadas após diferentes termos curvas azuis Uma pergunta que podemos fazer neste momento é como sabemos que é válido representar ex pelos somatórios apresentados nas equações 2 e 3 Ou então conhecendo apenas a função ex como eu saberia de que forma a representar como uma série de potências Para responder a essas perguntas devemos entender como funciona a representação de uma função qualquer f x em série de potências f x n0 anx x0n a0 a1x x0 a2x x02 4 Vimos que uma mesma função pôde ser representada em torno diferentes valores de x0 Como consequência disso os coeficientes an n 0 1 2 3 utilizados nas séries também foram distintos Geralmente quando desejamos escrever uma função como sua série de potências correspondente definimos primeiramente o valor de x0 de acordo com alguma conveniência Os valores dos coeficientes da série serão então uma consequência deste valor escolhido e também evidentemente da função que desejamos representar Resumindo uma vez definida a função f x e o valor de x0 devemos encontrar os valores de an n 0 1 2 3 da série 3 Para entender como os coeficientes an dependem de f x e x0 podemos inicialmente substituir o valor x x0 em 4 f x0 a0 a1x0 x0 a2x0 x02 f x0 a0 Desta forma percebemos que o primeiro termo da série será sempre a função original calculada em x0 Agora se derivamos os lados esquerdo e direito da Eq 4 teremos f x a1 2a2x x0 3a3x x02 4a3x x03 5 Ao substituirmos x por x0 em f x e em sua série correspondente f x0 a1 2a2x0 x0 3a3x0 x02 4a3x0 x03 Ou seja a1 f x0 Se derivarmos a Eq 5 f x 2a2 32a3x x0 43a3x x02 6 e substituirmos x por x0 teremos a2 f x0 2 Seguindo essa metodologia perceberemos que a3 f x0 32 a4 f 4x0 432 an f nx0 n Substituindo o an definido acima em 1 temos finalmente f x n0 f nx0 n x x0n 7 A Eq 7 é a Série de Taylor de f x centrada em x0 Um caso particular da série de Taylor é a Série de Maclaurin definida quando x0 0 f x n0 f n0 n xn 8 4 Exemplo 1 Obtenha a série de Maclaurin da função e2x Solução Da Eq 8 percebemos que precisamos definir dndxn e2xx0 em termos de n Para isso começamos avaliando as primeiras derivadas da função de interesse até encontrarmos um padrão Para n0 d0dx0 e2xx0 e2xx0 e0 1 Para n1 ddx e2xx0 2e2xx0 2e0 2 Para n2 d2dx2 e2xx0 22e2xx0 22e0 22 Para n3 d3dx3 e2xx0 222e2xx0 222e0 23 Percebemos então que dndxn e2xx0 2n Assim de acordo com a Eq 8 a série de Maclaurin de e2x pode ser definida como abaixo e2x Σn0 2nn xn 9 Convergência da série de potências Quando trabalhamos com séries o conceito de convergência se torna importante Para que a série de Taylor de fx em torno de x0 seja convergente em um ponto onde x C o limite abaixo deve existir ou seja ser finito limN Σn0N fnx0n C x0n 10 Algumas funções como ex por exemplo são sempre convergentes não importando o valor de x0 usado na definição da série e nem do valor de x avaliado Outras funções entretanto só podem ser avaliadas para valores de x que estejam até uma determinada distância de x0 A essa distância máxima damos o nome de raio de convergência da série L1 Para entender melhor o que significa esse raio tomemos como exemplo a série de Taylor de lnx centrada em x 4 lnx ln4 n1 1n1n 1 4nn x 4n 11 Esta série tem um raio de convergência igual a 4 o que significa que ela terá convergência absoluta no intervalo 0 x 8 Ou seja neste intervalo a série convergirá para a função original conforme n A Figura 3 ilustra esse comportamento ao comparar a função lnx com sua série avaliada para um número grande de termos Dentro do intervalo definido pelo raio de convergência a série se comporta de forma quase idêntica à função original Entretanto fora desse intervalo a série diverge e não tem capacidade de se comportar como a função original Aqui não temos a comparação para x 0 já que sequer a função original é definida neste intervalo Figura 3 Comparação entre a função lnx curva preta trecajada e sua série de Taylor centrada em x 4 e truncada após o centésimo termo curva azul 1Existem diferentes métodos para se definir o valor desse raio para uma série específica mas isso está foro do escopo da disciplina 6 Funções analíticas Vimos anteriormente que a série de Taylor de uma função pode ter sua aplicação limitada se seu raio de convergência for finito Outra situação limitante que pode ocorrer é a série da função sequer existir quando centrada em algum x0 específico A função lnx por exemplo não possui uma série de Maclaurin x0 0 já que não podemos obter os coeficientes da série neste ponto Isso significa que lnx não é analítica em x0 Uma função fx é dita analítica em x0 se É possível avaliar fx e todas as suas derivadas em x0 A série de fx tem um raio de convergência L 0 A série converge para o valor exato da função para qualquer valor de x no intervalo x x0 L Geralmente se a primeira condição for satisfeita as demais também são Na prática avaliamos somente se a função é infinitamente diferenciável em x0 ou analogamente se a função pode ser expandida em série em torno de x0 Exemplo 2 As funções e3x lnx e x13 são analíticas em x0 R sim não e não Justificativas É possível avaliar e3x e todas as suas derivadas em x0 Não é possível avaliar lnx em x0 Embora seja possível avaliar x13 em x0 não é possível avaliar sua derivada primeira neste ponto x13x0 0 ddx x13x0 13 x23x0 DIV0 Veremos mais adiante que as séries de potência são uma ferramenta útil para a solução de EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes variáveis Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Solução de EDOs em séries de potência Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Estamos neste momento particularmente interessados na solução de EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes variáveis tanto na forma ho mogênea axyx bxyx cxyx 0 1 quanto não homogênea axyx bxyx cxyx f x 2 Não é possível para a maioria das EDOs apresentadas na forma das Eqs 1 e 2 obter uma solução geral nos moldes do que vimos para coeficientes constantes Ou seja não é trivial encontrar uma função yx que satisfaça essas equações visto que os coeficientes variáveis afetam drasticamente a forma da função procurada Ainda assim é possível determinar o comportamento de yx que satisfaz a EDO obtendose sua série de potências correspondente Antes de propormos soluções de EDOs na forma de séries devemos definir o que é um ponto ordinário e um ponto singular da EDO Para o caso homogêneo Ao colocarmos a Eq 1 na forma padrão yx pxyx qxyx 0 3 Se px e qx são analíticas em x0 então x0 é um ponto ordinário da EDO Se x0 não for um ponto ordinário da EDO ele é um ponto singular 1 Para o caso nãohomogêneo Ao colocarmos a Eq 2 na forma padrão yx pxyx qxyx gx 4 Se px qx e gx são analíticas em x0 então x0 é um ponto ordinário da EDO Se x0 não for um ponto ordinário da EDO ele é um ponto singular Teorema 1 se x0 é um ponto ordinário da EDO então existe uma série n0 anx x0n que é solução da EDO Além disso o raio de convergência da série será no mínimo tão grande quando a distância entre x0 e o ponto singular mais próximo real ou complexo Exemplo 1 Verifique se x 0 é um ponto ordinário e determine os pontos singulares de xyx x1 x1yx x2yx 0 Solução Colocando a EDO na forma padrão yx 1 x1yx xyx 0 Logo px 1 1 x qx x Percebemos aqui que px não é definida somente para x 1 Ao realizarmos sucessivas diferenciações de px perceberemos que todas as derivadas de px não são definidas também somente para x 1 Isso in dica portanto que px é analítica em x 0 É fácil perceber que a função qx é analítica para qualquer valor de x aliás qualquer polinômio é sempre uma função analítica já que sua série de potências será o próprio polinômio Concluímos então que x 0 é sim um ponto ordinário e que x 1 é o único ponto singular da EDO Isso significa que existe uma solução na forma n0 anxn com raio de convergência no mínimo igual a 1 Exemplo 2 Verifique se x 0 é um ponto ordinário e determine os pontos singulares da seguinte EDO 1 x2yx yx yx 0 Solução Colocando a EDO na forma padrão yx 1 1 x2yx 1 1 x2yx 0 2 Assim px 11x2 qx 11x2 Aqui px e qx não são definidas somente quando 1x2 0 condição satisfeita para x i Concluímos então que x i são os pontos singulares da EDO e consequentemente que x 0 é um ponto ordinário Dessa forma existe uma solução na forma Σn0 an xn com raio de convergência no mínimo igual a 1 Este raio de convergência foi obtido sabendose que a distância entre dois números α1 β1 i e α2 β2 i no plano complexo é dada por d α1 α22 β1 β22 Sendo assim a distância entre 0 e i é L 02 12 1 Exemplo 3 Determine os pontos singulares de xyx x1 x1 yx senxyx 0 Solução Colocando a EDO na forma padrão yx 1x1 yx senxx yx 0 Logo px 11 x qx senxx Percebemos que qx não é definida para x1 de forma que este é um ponto singular da EDO Poderíamos num primeiro momento desconfiar que senxx não é analítica para x0 Porém ao expandirmos senx em série de Maclaurin e depois dividirmos por x senxx x x33 x55 x 1 x23 x45 percebemos que senxx pode ser expandida em série em torno de x0 Portanto x0 não é um ponto singular e sim ordinário Podemos agora finalmente obter a solução de EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes variáveis em série de potências Exemplo 4 Obtenha uma solução em série de potências em torno de x 0 para o seguinte PVI yx x2yx 2yx 0 y0 1 y0 1 Solução Primeiramente verificamos que x 0 é um ponto ordinário da EDO e que o raio de convergência da solução proposta yx a0 a1x a2x2 n0 anxn é infinito pois não existem pontos singulares Derivando a série uma e duas vezes yx a1 2a2x 3a3x2 n1 nanxn1 yx 2a2 3 2a3x 4 3a4x2 n2 n 1nanxn2 Substituindo na EDO n2 n 1nanxn2 x2 n1 nanxn1 2 n0 anxn 0 Reescrevendo de forma que os coeficientes dos somatórios sejam iguais a 1 ou 1 se for o caso n2 n 1nanxn2 n1 nanxn1 n0 2anxn 0 Precisamos agora deslocar os índices dos somatórios de forma a gerar potências semelhantes xk Avaliemos então o primeiro somatório n2 n 1nanxn2 Desejamos substituir o termo xn2 por xk sem alterar a informação do somatório Para isso definimos n 2 k Logo n k 2 O que significa que quando n 2 k 0 Portanto n2 n 1nanxn2 k0 k 1k 2ak2xk O mesmo raciocínio pode ser aplicado ao segundo somatório n1 nanxn1 k2 k 1ak1xk 4 Assim k0 k 1k 2ak2xk k2 k 1ak1xk k0 2akxk 0 Precisamos agora igualar os limites inferiores dos somatórios Para isso verificamos o maior limite inferior neste caso 2 e obtemos os primeiros termos de cada somatório até que todos os somatórios da equação tenham esse mesmo limite 2a2 6a3x k2 k 1k 2ak2xk k2 k 1ak1xk 2a0 2a1x k2 2akxk 0 Reescrevendo em forma polinomial 2a2 2a0 6a3 2a1x k2 k 1k 2ak2 k 1ak1 2akxk 0 Para que o lado esquerdo seja sempre igual a zero independentemente do valor de x precisamos que todos os coeficientes do polinômio acima sejam iguais a zero Ou seja 2a2 2a0 0 6a3 2a1 0 k 1k 2ak2 k 1ak1 2ak 0 k 2 Podemos agora aplicar as condições iniciais nas séries de yx e yx para obtermos os primeiros coeficientes da solução y0 1 a0 y0 1 a1 Assim 2a2 2a0 0 2a2 2 0 a2 1 6a3 2a1 0 6a3 2 0 a3 1 3 Para que possamos obter os coeficientes subsequentes isolamos o termo mais posterior de k 1k 2ak2 k 1ak1 2ak 0 ak2 1 kak1 2ak k 1k 2 k 2 A equação acima é conhecida como relação de recorrência 5 Para k 2 a relação de recorrência fica a4 a1 2a2 34 a4 1 2 12 a4 1 12 Para k 3 a5 2a2 2a3 45 a5 2 2 3 20 a5 6 3 2 3 20 a5 8 60 a5 2 15 e assim por diante Podemos então expressar os primeiros poucos termos da solução em série da EDO yx a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 yx 1 x x2 1 3x3 1 12x4 2 15x5 6 Exemplo 5 Obtenha uma solução em série de potências em torno de x 0 para o seguinte PVI yx x2yx 2yx ex y0 1 y0 1 Solução Primeiramente verificamos que x 0 é um ponto ordinário da EDO e que o raio de convergência da solução proposta yx n0 anxn é infinito pois não existem pontos singulares Derivando a série uma e duas vezes yx n1 nanxn1 yx n2 n 1nanxn2 Como temos uma EDO não homogênea precisamos obter também a série de Maclaurin de ex ex n0 xn n Substituindo na EDO n2 n 1nanxn2 x2 n1 nanxn1 2 n0 anxn n0 xn n Reescrevendo n2 n 1nanxn2 n1 nanxn1 n0 2anxn n0 xn n 0 Deslocando os índices k0 k 1k 2ak2xk k2 k 1ak1xk k0 2akxk k0 xk k 0 Igualando os limites inferiores dos somatórios 2a2 6a3x k2 k 1k 2ak2xk k2 k 1ak1xk 2a0 2a1x k2 2akxk 1 x k2 xk k 0 Escrevendo na forma polinomial 2a2 2a0 1 6a3 2a1 1x k2 k 1k 2ak2 k 1ak1 2ak 1 kxk 0 7 Condições para a série ser solução da EDO 2a2 2a0 1 0 6a3 2a1 1 0 k 1k 2ak2 k 1ak1 2ak 1 k 0 k 2 Aplicando as condições iniciais y0 1 a0 y0 1 a1 Logo a2 1 2 a3 1 6 Obtendo a relação de recorrência ak2 1 k k 1ak1 2ak k 1k 2 k 2 Assim a4 1 24 a5 3 40 Podemos então expressar os poucos primeiros termos da solução em série da EDO yx 1 x 1 2x2 1 6x3 1 24x4 3 40x5 8