Serie de Fourier - Notas de Aula para Engenharia Quimica

Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Solução de Equações Diferenciais Parciais Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Série de Fourier Em seu estudo de problemas de fluxo de calor Joseph Fourier desenvolveu sua série trigonométrica para representar funções definidas em um intervalo L L como fx a0 sumn1infty left an cosleftfracn pi xLright bn senleftfracn pi xLright right 1 onde os coeficientes an e bn da série dependem da função que se deseja representar no intervalo Como veremos logo adiante a obtenção dos coeficientes da série de Fourier depende dos resultados das seguintes integrais válidos quando n e m são números inteiros positivos intLL senleftfracm pi xLright cosleftfracn pi xLright dx 0 2 intLL senleftfracm pi xLright senleftfracn pi xLright dx left beginarrayl 0 quad m eq n L quad m n endarray right 3 intLL cosleftfracm pi xLright cosleftfracn pi xLright dx left beginarrayl 0 quad m eq n L quad m n endarray right 4 As Eqs 24 expressam uma condição de ortogonalidade satisfeita pelos conjunto de funções seno e cosseno presentes nas integrais¹ ¹O estudo mais aprofundado de funções ortogonais está fora do escopo deste material Sendo assim utilizaremos os resultados apresentandos nas Eq 24 de forma direta quando nos for conveniente Para começarmos a obtenção dos coeficientes da Eq 1 podemos integrar fx entre L e L intLL fx dx intLL a0 dx sumn1infty an intLL cosleftfracn pi xLright dx sumn1infty bn intLL senleftfracn pi xLright dx É fácil demonstrar que intLL cosleftfracn pi xLright dx intLL senleftfracn pi xLright dx 0 Assim intLL fx dx intLL a0 dx intLL fx dx a0 intLL dx 2 L a0 Rightarrow a0 frac12L intLL fx dx 5 Temos então uma forma de obter o primeiro coeficiente da série a partir da definição de uma função fx qualquer a ser representada pela série Agora vamos multiplicar a Eq 1 por cosm pi x L antes de realizar a integração intLL fx cosleftfracm pi xLright dx a0 intLL cosleftfracm pi xLright dx sumn1infty an intLL cosleftfracn pi xLright cosleftfracm pi xLright dx sumn1infty bn intLL senleftfracn pi xLright cosleftfracm pi xLright dx Já observamos que intLL cosleftfracm pi xLright dx 0 quad m 123 Além disso a Eq 2 nos revela que intLL senleftfracn pi xLright cosleftfracm pi xLright dx 0 Assim a igualdade se reduz a intLL fx cosleftfracm pi xLright dx sumn1infty an intLL cosleftfracn pi xLright cosleftfracm pi xLright dx A Eq 4 nos revela que o único termo diferente de zero do somatório acima é aquele para m n assim intLL fx cosleftfracn pi xLright dx an L Rightarrow an frac1L intLL fx cosleftfracn pi xLright dx quad n123 6 Se multiplicarmos a Eq 1 por senm pi x L antes de realizarmos a integração obteremos por fim os coeficientes bn bn frac1L intLL fx senleftfracn pi xLright dx quad n123 7 Para facilitar a aplicação da série de Fourier na representação de funções fx quaisquer suas informações estão na resumidas na Definição 1 apresentadas a seguir Série de Fourier Definição 1 Considere que f seja uma função contínua por partes² no intervalo L L A série de Fourier de f é a série trigonométrica fx a0 sumn1infty left an cosleftfracn pi xLright bn senleftfracn pi xLright right onde a0 frac12L intLL fx dx an frac1L intLL fx cosleftfracn pi xLright dx quad n123 bn frac1L intLL fx senleftfracn pi xLright dx quad n123 ²Uma função é contínua por partes sobre a b é uma função f contínua em cada ponto de a b exceto talvez em um número finito de pontos onde f apresenta descontinuidades do tipo salto Essas funções são necessariamente integráveis sobre todo o intervalo a b Exemplo 1 Obtenha a série de Fourier da seguinte função fx 0 π x 0 x 0 x π Solução Aqui L π de forma que a série de Fourier fica fx a0 Σ ancosnx bnsennx Obtendo o coeficiente a0 a0 12π from π to π fxdx 12π from π to 0 0 dx from 0 to π x dx 12π from 0 to π x dx 14π x2 from 0 to π π4 Obtendo os coeficientes an an 1π from π to π fxcosnx dx 1π from 0 to π xcosnxdx Resolvendo a integral por partes temos que from 0 to π xcosnxdx 1n2cosnπ 1 Assim an 1πn2cosnπ 1 Obtendo os coeficientes bn bn 1π from π to π fxsennx dx 1π from 0 to π x sennx dx Ao resolvermos a integral por partes obtemos bn cosnπn Substituindo então os coeficientes obtidos na série de Fourier temos finalmente fx π4 Σ 1πn2cosnπ 1 cosnx cosnπn sennx A ideia é que se computarmos um número suficientemente grande de termos dessa série o resultado será similar ao da função original no intervalo π π As Figuras abaixo mostram uma comparação entre a função original Eq 8 e sua série de Fourier Eq 9 com diferentes números de termos computados Percebemos que a função descrita na Eq 9 se aproxima do comportamento da função descrita na Eq 8 conforme mais termos da série são computados 5 Séries de Fourier de senos e cossenos Vimos anteriormente que se fx for uma função contínua por partes3 no intervalo L L a mesma pode ser representada por sua série de Fourier como fx a0 Σ ancosnπxL bnsennπxL onde a0 12L from L to L fxdx an 1L from L to L fxcosnπxL dx n 1 2 3 bn 1L from L to L fxsennπxL dx n 1 2 3 Vimos também que a equação do calor quando associada a condições de contorno homogêneas pode apresentar as seguintes soluções a depender do tipo da condição de contorno uxt Σ cnsennπxL eβnπL2 t 0 x L t 0 ou uxt c0 Σ cn cosnπxL eβnπL2 t 0 x L t 0 Ao avaliarmos as Eq 14 e 15 em t 0 temos ux0 fx Σ cnsennπxL 0 x L ou ux0 fx c0 Σ cn cosnπxL 0 x L onde fx é uma função qualquer definida em 0 L que representa condição inicial do problema As Eqs 14 e 15 representam as soluções completas da equação do calor as quais satisfazem por si só as condições de contorno associadas A solução formal da equação de calor será aquela que possui constantes cn específicas que satisfaçam ou a Eq 16 ou a Eq 17 a depender das condições de contorno usadas para gerar a solução completa 3Uma função é contínua por partes sobre a b é uma função f contínua em cada ponto de a b exceto talvez em um número finito de pontos onde f apresenta descontinuidades do tipo salto Essas funções são necessariamente integráveis sobre todo o intervalo a b As equações 16 e 17 estão nos sugerindo algo importante uma mesma função f x pode a princípio ser representada tanto por uma função de senos como de cossenos a depender da nossa necessidade Entretanto a Série de Fourier Eqs 1013 nos diz que os coeficientes são obtidos justamente partir da função f x Como seria então possível escolher quais dos coeficientes da série de Fourier an ou bn serão diferentes de zero Para respondermos a essa pergunta precisamos estudar uma propriedade importante das funções a simetria par e ímpar Uma função f que satisfaz f x f x L x L é uma função par Uma função f que satisfaz f x f x L x L é uma função ímpar Nas próximas páginas temos alguns exemplos gráficos destes tipos de função 7 Exemplos de funções par f x x2 L x L f x x L x L 8 Exemplos de funções ímpar fx sen πxL L x L fx 1 L x 0 1 0 x L É evidente que muitas funções não são nem par nem ímpar como por exemplo fx 0 L x 0 x 0 x L A importância das funções par e ímpar reside nos resultados de suas integrais conforme apresentado no Teorema 1 Teorema 1 Se f é uma função par e contínua por partes sobre L L então LL fxdx 20L fxdx 18 Se f é uma função ímpar e contínua por partes sobre L L então LL fxdx 0 19 As seguintes propriedades das funções par e ímpar são também relevantes Se f e g são funções par então o mesmo acontece com o produto fg Se f e g são funções ímpar então fg é uma função par Se f é uma função par e g é uma função ímpar então fg é uma função ímpar O próximo exemplo nos ajudará a entender por que é possível escolher a série de Fourier cossenos ou senos para representar uma função qualquer ao menos em um intervalo 0 L Exemplo 2 Obtenha as séries de Fourier das seguintes funções a fx 0 π x 0 x 0 x π b fx x π x 0 x 0 x π c fx x π x 0 x 0 x π Solução Primeiramente vamos classificar as funções dos itens a b e c quanto ao tipo de suas simetrias Percebemos que a função do item a não é nem par e nem ímpar que a função do item b é ímpar e que a função do item c é par Pela figura acima podemos notar que a despeito das diferenças entre as funções elas são idênticas no intervalo 0 π Voltemos agora às séries de cada item a Do exemplo 1 temos que Se fx 0 π x 0 x 0 x π então fx π4 n1 1 πn2cosnπ 1 cosnx cosnπn sennx Note que a série acima está expressa tanto em termos de senos como cossenos b Para obtermos os coeficientes da Série de Fourier da função fx x π x 0 x 0 x π precisamos recorrer às Eqs 1113 Obtemos inicialmente o parâmetro a0 através da Eq 11 a0 1 2L LL fxdx 1 2π ππ fxdx Perceba pelo Teorema 1 que se fx é uma função ímpar entre π e π então a0 1 2π ππ fxdx 0 Obtemos posteriormente os coeficientes an pela Eq 12 an 1 L LL fxcosnπx L dx 1 π ππ fxcosnx dx Como funções cosseno têm simetria par e fx é ímpar as funções fxcosnx n 1 2 3 terão sempre simetria ímpar Assim pelo Teorema 1 an 1 π ππ fxcosnx dx 0 Obtemos por fim os coeficientes bn pela Eq 13 bn 1 L LL fxsennπx L dx 1 π ππ fxsennx dx Como funções seno têm simetria ímpar e fx é ímpar as funções fxsennx n 1 2 3 terão sempre simetria par Assim pelo Teorema 1 bn 1 π ππ fxsennx dx 2 π 0π fxsennx dx Resolvemos então a integral apenas no intervalo 0 π 0π fxsennx dx 0π x sennx dx π n cosnπ Assim bn 2 n cosnπ Concluímos então que Se fx x π x 0 x 0 x π então fx n1 2 n cosnπ sennx 20 Note que a série da Eq 20 está expressa apenas em termos de senos c Para obtermos os coeficientes da Série de Fourier da função fxx π x 0 x 0 x π recorremos novamente às Eqs 1113 Obtemos inicialmente o parâmetro a0 através da Eq 11 a012L LL fxdx12π ππ fxdx Perceba pelo Teorema 1 que se fx é uma função par entre π e π então a012π ππ fxdx1π 0π fxdx Assim a01π 0π xdx1π x220ππ2 Obtemos posteriormente os coeficientes an pela Eq 12 an1L LL fxcosnπxL dx1π ππ fxcosnx dx Como funções cosseno têm simetria par e fx é par as funções fxcosnx n1 2 3 terão sempre simetria par Assim pelo Teorema 1 an1π ππ fxcosnx dx2π 0π fxcosnx dx Resolvemos então a integral apenas no intervalo 0 π 0π fxcosnx dx 0π x cosnx dx 1n2 cosnπ 1 Assim an2πn2cosnπ 1 Obtemos por fim os coeficientes bn pela Eq 13 bn1L LL fxsennπxL dx1π ππ fxsennx dx Como funções seno têm simetria ímpar e fx é par as funções fxsennx n1 2 3 terão sempre simetria ímpar Assim pelo Teorema 1 bn1π ππ fxsennx dx0 Concluímos então que Se fxx π x 0 x 0 x π então fxπ2 Σ n1 2πn2cosnπ 1cosnx 21 Note que a série da Eq 21 está expressa apenas em termos de cossenos Reflexões sobre os resultados que acabamos de obter Perceba que ambas as séries apresentadas nas Eqs 20 e 21 descrevem o comportamento fx x no intervalo 0 π O que muda entre essas séries é o comportamento que elas descrevem ao lado esquerdo do eixo y Perceba também que se nós não temos interesse nos valores de fx para x 0 então podemos escolher livremente entre as séries de seno Eq 20 ou cosseno Eq 21 para representar a função fx x 0 x π Se voltarmos às condições iniciais da equação do calor Eqs 16 e 17 percebemos que os valores de fx para x 0 realmente não nos interessam já que o domínio de solução é apenas 0 L Dessa forma podemos representar uma função fx no intervalo 0 L ou como uma série de Fourier de senos ou como uma série de Fourier de cossenos conforme a nossa necessidade Essas séries podem ser obtidas ao aplicarmos o raciocínio feito no exemplo anterior para funções fx quaisquer que sejam ou par ou ímpar em L L As séries de Fourier de senos e cossenos estão apresentadas na página seguinte Série de Fourier de cossenos Definição 1 Seja fx contínua por partes no intervalo 0 L sua série de Fourier de cossenos é fxa0Σ n1 ancos nπxL onde a01L 0L fxdx an2L 0L fxcos nπxL dx n1 2 3 Série de Fourier de senos Definição 2 Seja fx contínua por partes no intervalo 0 L sua série de Fourier de senos é fxΣ n1 bnsennπxL onde bn2L 0L fxsennπxL dx n1 2 3 4Perceba que a função não precisa ser necessariamente definida em 0 ou L