Função de Massa e Densidade de Probabilidade

30/03/2021 Ead.br DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE FUNÇÃO DE MASSA E DENSIDADE DE PROBABILIDADE Autoras: Me. Luciana de Castro Lugli e Roberta Mendiondo Revisor: Antonio Gomes de Mattos Neto INICIAR https://unifacs.blackboard.com/webapps/afle-course_content_soap-BBLEARN/Controller?action=OPEN_PLAYER&course_id=_667380_1… 1/33 30/03/2021 Ead.br introdução Introdução Nesta unidade, iremos tratar dos conceitos de variáveis aleatórias, nas distribuições discretas e contínuas. Nas variáveis aleatórias discretas, estudaremos as distribuições de probabilidades e, nas variáveis aleatórias contínuas, a função densidade de probabilidade. As distribuições discretas discutidas neste livro serão: Bernoulli, binomial, geométrica, Pascal, hipergeométrica e Poisson; e as distribuições contínuas serão: distribuição normal, exponencial, gama, beta e Weibull. Além disso, iremos tratar das distribuições amostrais: normal, t de Student, F de Fisher-Snedecor e qui-quadrado. https://unifacs.blackboard.com/webapps/afle-course_content_soap-BBLEARN/Controller?action=OPEN_PLAYER&course_id=_667380_1… 2/33 30/03/2021 Ead.br Probabilidade Para o estudo das variáveis aleatórias, iremos fazer um resumo teórico de algumas definições para a melhor compreensão dos conceitos a serem trabalhados. Experimento Aleatório e Determinístico Os experimentos aleatórios são os fenômenos que, quando realizados diversas vezes (e nas mesmas condições), apresentam resultados diferentes (e independentes entre si). Exemplos: Lançamento de um dado (podemos obter qualquer uma das faces: 1,2,3,4,5,6). Lançamento de uma moeda (podemos obter cara ou coroa). Número de defeitos nas peças produzidas em uma fábrica. Tempo de duração de um equipamento (podemos ter uma estimativa, mas nunca temos um valor exato de quantas horas esse equipamento irá funcionar). Já os experimentos determinísticos são aqueles que, quando repetimos várias vezes, geram sempre o mesmo resultado. Exemplo: O ponto de ebulição da água pura ao nível do mar é 100°C. Espaço amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: Ao retirarmos uma carta de um baralho, podemos obter uma carta com os seguintes naipes: paus, espadas, ouros e copas. Ao lançar uma moeda, podemos obter: cara ou coroa. https://unifacs.blackboard.com/webapps/afle-course_content_soap-BBLEARN/Controller?action=OPEN_PLAYER&course_id=_667380_1… 3/33 Tabela 1.1 - Distribuição de alunos durante o ensino médio da escola Fonte: Elaborada pelas autoras. Se escolhermos aleatoriamente um aluno dessa escola, qual a probabilidade de ele ser: a) homem b) mulher c) aluno do 1º ano Resolução: a) P = \frac{180}{300} = 0,6 \rightarrow 60\% de chance de ser homem b) P = \frac{120}{300} = 0,4 \rightarrow 40 \% de chance de ser mulher c) P = \frac{130}{300} = 0,433 \rightarrow 43,3 \% de chance de ser aluno do 1º ano Praticar Vamos Praticar Um supermercado está conduzindo uma pesquisa pela Internet com indivíduos selecionados ao acaso para determinar com que frequência eles compram produtos de encontrados em mercados, por meio da Internet. Até o momento, 2.500 pessoas foram pesquisadas. Os resultados foram registrados a seguir. • Sorteio de uma rifa com números de 1 a 10: podemos obter os números 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ou 10. Evento: é um subconjunto de um espaço amostral. Exemplos: • Ao lançarmos um dado, podemos obter um número par. Eventos possíveis: 2,4,6. • Ao lançarmos dois dados, podemos obter as duas faces iguais. Eventos possíveis: (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6). • Ao lançarmos duas moedas, podemos obter as duas faces iguais. Eventos possíveis: (cara, cara) e (coroa, coroa). Probabilidade: Se considerarmos um espaço amostral S, com N eventos simples, que supostamente são igualmente prováveis, e A é um evento do espaço amostral S, a probabilidade do evento A ocorrer é definida por (definição clássica): P(A) = \frac{\text{número de resultados favoráveis à ocorrência do evento A}}{\text{número de resultados possíveis}} Saiba mais Probabilidade e estatística tratam de assuntos diversos em nossas vidas, e a instituição mais representativa nesse sentido é o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). O IBGE produz informações tratando dados por meio da probabilidade e estatística, como o Censo decenal e pesquisas menores, de mesma relevância social e econômica. Faça uma visita ao site do IBGE e no menu “Estatística” você terá acesso a estatísticas divididas e temas como: sociais, econômicas e multidomínio. Fonte: Elaborado pelas autoras. Exemplo 1 - Ao lançarmos um dado, qual a probabilidade de obtermos: a) um número ímpar b) um número maior que 4. Resolução: a) um número ímpar: 1,3,5 total de lados de um dado: 6 então P = \frac{3}{6} = 0,5 (50\% de chance de obtermos um número ímpar). b) um número maior que 4: podemos ter 5 e 6 total lados de um dado: 6 então P = \frac{2}{6} = 0,333 (33,3\% de chance de obtermos um número maior que 4). Exemplo 2 - Numa sala, há 25 mulheres e 35 homens. Se escolhermos uma pessoa aleatoriamente, qual a probabilidade dessa pessoa ser homem? Resolução: P = \frac{35}{60} = 0,5833 então teremos 58,33\% de chance obtermos 1 homem. Exemplo 3 - Numa caixa, há três bolas brancas e duas bolas pretas. Se retirarmos uma bola ao acaso, qual a probabilidade de obtermos uma bola branca? Resolução: total de bolas: 3 brancas + 2 pretas = 5 bolas na caixa P = \frac{3}{5} = 0,6 \rightarrow teremos 60\% de chance de retirarmos uma bola branca. Exemplo 4 - Numa escola, há 300 alunos distribuídos da seguinte forma: 30/03/2021 Ead.br Tabela 1.2 - Distribuição de frequências Fonte: Elaborada pelas autoras. Considerando os dados atuais, a probabilidade de que a próxima pessoa pesquisada compre regularmente produtos vendidos em mercados será de: ☉ a) 100%. ☉ b) 22,08%. ☉ c) 62,5%. ☉ d) 11%. ☉ e) 28,34%. https://unifacs.blackboard.com/webapps/afte-course_content_soap-BBLEARN/Controller?action=OPEN_PLAYER&course_id=_667380_1... 7/33 30/03/2021 Ead.br Variáveis Variável: é a característica dos itens que estamos pesquisando. Por exemplo: Numa escola, podemos realizar uma pesquisa com nossos alunos a respeito de sua idade, peso, altura, número de irmãos, sexo, se ele fuma ou não, cor do cabelo, esporte favorito. Numa fábrica de carros, podemos querer realizar uma pesquisa a respeito de seus clientes, com relação a algumas características do veículo preferido: tipo de combustível, cor do carro, potência do motor, tamanho etc. Todas essas características são consideradas variáveis: peso, altura, sexo, número de irmãos, tipo de combustível, cor. As variáveis podem ser classificadas em qualitativas e quantitativas. A variável qualitativa apresenta uma qualidade de uma pessoa ou de um objeto (de um carro ou de qualquer item) que pretendemos estudar. Exemplo: Tipo de combustível: Gasolina, álcool ou gás. Sexo: feminino, masculino. Esporte preferido: futebol, vôlei, basquete, natação. As variáveis quantitativas em uma pesquisa são aquelas em que, em seu resultado, apresentam um valor numérico: peso, altura, idade (55 kg, 1,73m e 24 anos). As variáveis qualitativas podem ser divididas em: qualitativa nominal ou qualitativa ordinal. Como explicado a seguir: https://unifacs.blackboard.com/webapps/afte-course_content_soap-BBLEARN/Controller?action=OPEN_PLAYER&course_id=_667380_1... 8/33 30/03/2021 Ead.br A variável é qualitativa nominal quando os valores que pode assumir são atributos e/ou qualidades. Exemplos: Sexo (F ou M) Fuma (Sim ou Não). A variável é qualitativa ordinal quando classificamos as variáveis por Tamanho (Pequeno, Médio, Grande), Classe Social (Baixa, Média, Alta) (MAGALHÃES; LIMA, 2005). As variáveis quantitativas (são as variáveis numéricas) podem ser divididas em discretas e contínuas. De forma mais genérica, as variáveis qualitativas discretas assumem valores em geral inteiros. Exemplos: Quantidade de irmãos: 2, 3, 4. Quantidade de filhos: 0, 2, 5. Número de peças defeituosas numa produção: 12, 15, 20. Já as variáveis qualitativas contínuas assumem valores em intervalos dos números reais e, geralmente, oriundos de uma medição. Exemplo: altura de uma pessoa (163 cm, 174 cm) ou peso (45,4 Kg; 53 Kg). Figura 1.1 - Tipos de variáveis Fonte: Magalhães e Lima (2005, p. 8). A Figura 1.1 esquematiza os tipos de variáveis em qualitativas e quantitativas. Há outras classificações possíveis, geralmente, abordadas em textos que se destinam a análises qualitativas; porém a classificação como qualitativa ou quantitativa, e essa última como discreta ou contínua, é suficiente para os propósitos de nosso estudo acerca das distribuições de probabilidade. Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória é uma variável quantitativa, cujo resultado depende de fatores aleatórios. Exemplo: lançamento de um dado (embora possamos conhecer os possíveis resultados - nesse caso, de 1 a 6 - o resultado depende de fatores de sorte (por isso é aleatório)). https://unifacs.blackboard.com/webapps/afte-course_content_soap-BBLEARN/Controller?action=OPEN_PLAYER&course_id=_667380_1... 9/33 30/03/2021 Ead.br As variáveis aleatórias podem ser consideradas como funções que associam números reais aos eventos de um espaço amostral (COSTA NETO; CYMBILISTA, 2005). Esta representação da variável aleatória por meio de números apresenta uma vantagem: a de possibilitar melhor tratamento matemático, substituindo palavras por números (COSTA NETO; CYMBILISTA, 2005). Por exemplo: Evento - jogar quatro moedas honestas. X = número de coroas obtidas. X é uma variável aleatória que pode assumir os valores 1, 2, 3 ou 4; ou seja, o número de faces coroa que podem ser obtidas em uma jogada de quatro moedas honestas. Definição: Podemos ter um experimento E, um espaço amostral S e uma função X. É denominada variável aleatória X(s) a associação de cada elemento s ∈S (espaço amostral) a um número real, por meio de uma função X. Podemos ter variáveis aleatórias discretas e contínuas. Variáveis Aleatórias Discretas Quando uma quantidade X está associada a cada possível resultado do espaço amostral e se assumir valores num conjunto enumerável com certa probabilidade, essa é chamada de variável aleatória discreta. Já a variável aleatória contínua será aquela cujo conjunto de valores é qualquer intervalo dos números reais, equivalente a um conjunto não enumerável (MAGALHÃES; LIMA, 2005, p. 57). A função discreta de probabilidade ou, simplesmente, função de probabilidade é aquela que atribui a cada valor da variável aleatória sua probabilidade (MAGALHÃES; LIMA, 2005 p. 58). A notação utilizada é: P(X = xi) = p(xi) = pi onde i = 1,2,3,...... Exemplo 1: Determinar a distribuição de probabilidade da variável X quando jogamos uma moeda duas vezes. A função X será igual ao número de caras nos dois lançamentos. Então, teremos: https://unifacs.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_667380_... 10/33