Mecânica Quântica Física Atômica e Moléculas e Solidos

Mecânica Quântica Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso BCET Disciplina Física IV A seguinte lista de problemas foi selecionada do livro Raymond Serway e Jhon Jewett Princípios de Física Vol 4 8A edição Capítulo 7 Q1 A função de onda de uma partícula quântica é ψxaπx2a2 para a0 e x Determine a probabilidade de a partícula ser localizada em algum ponto entre xa e xa Resposta P12 Q2 Por que a seguinte situação é impossível Um próton está em um poço de potencial de profundidade infinita de comprimento 100 nm A partícula absorve um fóton de microonda de comprimento de onda de 606 mm e é excitada até o próximo estado quântico disponível Q3 Uma partícula quântica em um poço quadrado de profundidade infinita tem função de onda dada por ψ2x2Lsin2πxL para 0xL e zero em outras condições a Determine o valor esperado de x b Determine a probabilidade de a partícula ser encontrada próxima de 12 L calculando a probabilidade de ela estar posicionada na faixa de 0490Lx0510L c E se Determine a probabilidade de encontrarmos a partícula próxima de 14L calculando a probabilidade de ela estar posicionada na faixa de 0240Lx0260L d Discuta o fato de que o resultado da parte a não contradiz os das partes b e c Resposta a x12 b P526105 c P399102 Q4 Um elétron em um poço quadrado de profundidade infinita tem função de onda dada por ψ3x2Lsin3πxL para 0xL e igual a zero em outros pontos a Quais são as posições mais prováveis do elétron b Explique como identificálas Resposta a xL4 L2 e 3L4 Q5 Em uma região do espaço uma partícula quântica com energia total igual a zero tem função de onda ψxAxex2L2 a Calcule a energia potencial U como uma função de x b Esboce Ux em função de x Resposta Uxħ22mL24x2L26 Q6 Uma partícula quântica de massa m movese em um poço de potencial de comprimento 2L Sua energia potencial é infinita para xL e para xL Na região LxL sua energia potencial é dada por Uxħ2 x2mL2L2x2 Além disso a partícula está em estado estacionário descrito pela função de onda ψxA1x2L2 para LxL e por ψx0 em outros pontos a Determine a energia da partícula em função de ħ m e L b Determine a constante de normalização A c Determine a probabilidade de que a partícula esteja localizada entre xL3 e xL3 Resposta a Eħ2L2 m b A1516L c P0580 Q7 Q12 Q7 Um elétron com energia cinética E500 eV incide sobre uma barreira de largura L0200 nm e altura U100 eV ver figura Qual é a probabilidade de que o elétron a atravesse a barreira por tunelamento b A partícula é refletida Resposta a T00103 b R0990 Q8 Demonstre que ao supormos n0 para uma partícula quântica em um poço de potencial de profundidade infinita violamos o princípio da incerteza ΔpxΔxħ2 Q9 Para uma partícula quântica descrita por uma função de onda yx o valor esperado de uma grandeza física fx associada a ela é definido por fx ψ fx ψ dx Para uma partícula em uma caixa unidimensional de profundidade infinita estendendose de x0 a xL demonstre que x2L23 L22n2 π2 Q10 As funções de onda normalizadas para o estado fundamental ψ0x e o primeiro estado excitado ψ1x de um oscilador harmônico quântico são ψ0x aπ14 eax22 e ψ1x 4a3π14 x eax22 onde amωħ Um estado misto ψ01x é estabelecido com base nesses estados ψ01x 12ψ0x ψ1x O símbolo qs denota o valor esperado da grandeza q para o estado ψsx Calcule os valores esperados a x0 b x1 e c x01 Resposta a x00 b x10 c x0112a Q11 a Determine a constante de normalização A para uma função de onda estabelecida pelos dois estados mais baixos de uma partícula quântica em uma caixa que se estende de x0 a xL ψxAsinπxL 4 sin2πxL b Uma partícula é descrita no espaço axa pela função de onda ψx A cosπx2a B sinπxa Determine a relação entre os valores de A e B requeridos para a normalização Resposta a A217L b A2 B2 1a Q12 Partículas que incidem da esquerda na figura encontram um degrau na energia potencial O degrau tem altura U em x0 As partículas têm energia EU Do ponto de vista clássico todas elas continuariam a se deslocar para a frente com velocidade reduzida No entanto segundo a mecânica quântica uma fração das partículas é refletida no degrau a Demonstre que o coeficiente de reflexão R neste caso é Rk1 k22k1 k22 onde k12πλ1 e k22πλ2 são os números de onda para as partículas incidentes e transmitidas respectivamente Prossiga como indicado a seguir Demonstre que a função de onda ψ1 Aeik1x Beik1x satisfaz a equação de Schrödinger na região 1 para x0 Aqui Aeik1x representa o feixe incidente e Beik1x as partículas refletidas Demonstre que ψ2 Ceik2x satisfaz a equação de Schrödinger na região 2 para x0 Imponha as condições de contorno ψ1 ψ2 e dψ1dx dψ2dx em x0 para determinar a relação entre B e A Depois calcule R B2A2 Uma partícula que tem energia cinética E700 eV incide de uma região onde a energia potencial é igual a zero sobre outra em que U500 eV Determine b sua probabilidade de ser refletida e c sua probabilidade de ser transmitida Resposta b R00920 c T0908 Física Atômica Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso BCET Disciplina Física IV A seguinte lista de problemas foi selecionada do livro Raymond Serway e Jhon Jewett Princípios de Física Vol 4 8A edição Capítulo 8 Q1 Os comprimentos de onda da série de Lyman para o hidrogênio são dados por 1λ RH 1 1n² n 2 3 4 a Calcule os comprimentos de onda das três primeiras linhas desta série b Identifique a região do espectro eletromagnético na qual essas linhas aparecem Resposta a λ1 1215 x 10⁷ m bλ2 1025 x 10⁷ m c λ3 9720 x 10⁸ m b Ultravioleta Q2 Segundo a Física clássica uma carga e que se desloca com aceleração a irradia energia a uma taxa dEdt 16πε₀ e²a²c³ a Demonstre que um elétron em um átomo de hidrogênio clássico ver figura espirala em direção ao núcleo a uma velocidade drdt e⁴12π²ε₀²mₑ²c³ 1r² b Calcule o intervalo de tempo requerido para que o elétron alcance r 0 começando por r₀ 200 x 10¹⁰ m Resposta b 0846 ns Q3 A série de Balmer para o átomo de hidrogênio corresponde a transições eletrônicas que terminam no estado com número quântico n 2 como mostrado na figura Considere o fóton com o comprimento de onda mais longo correspondente a uma transição mostrada na figura Determine a sua energia e b seu comprimento de onda Considere a linha espectral de comprimento de onda mais curto correspondente a uma transição mostrada na figura Determine c sua energia de fóton e d seu comprimento de onda e Qual é o comprimento de onda mais curto possível na série de Balmer Resposta a 189 eV b λ 656 nm c ΔE 340 eV d λ 365 nm s λ 365 nm Q4 Um elétron está na nésima órbita de Bohr do átomo de hidrogênio a Demonstre que o período do elétron é T n³t₀ e determine o valor numérico de t₀ b Em média um elétron permanece na órbita n 2 por cerca de 10 ms antes de cair para a órbita n 1 estado fundamental Quantas voltas são completadas pelo elétron no estado excitado c Defina o período de uma volta como um ano do elétron análogo ao ano terrestre período do movimento da Terra em torno do Sol Explique se deveríamos considerar o elétron na órbita n 2 como uma partícula de vida longa Resposta a t₀ 152 x 10¹⁸ s b N 823 x 10⁹ voltas Q5 Uma expressão geral para os níveis de energia de íons e átomos de um elétron é Eₙ μ kₑ² q₁² q₂²2ħ² n² onde μ é a massa reduzida do átomo dada por μ m₁ m₂m₁ m₂ onde m₁ é a massa do elétron e m₂ a do núcleo kₑ é a constante de Coulomb e q₁ e q₂ as cargas do elétron e do núcleo respectivamente O comprimento de onda para a transição de n 3 para n 2 do átomo de hidrogênio é 6563 nm luz vermelha visível Quais são os comprimentos de onda para esta transição a no pósitronio que consiste em um elétron e um pósitron e b no hélio ionizado individualmente Observação Pósitron é um elétron carregado positivamente Resposta a λ₃₂ 131μm b λ₃₂ 164 nm Q6 Um elétron de momento p está a uma distância r de um próton estacionário O elétron tem energia cinética K p²2mₑ O átomo tem energia potencial U kₑ e²r e energia total E K U Se o elétron estiver ligado ao próton para formar um átomo de hidrogênio sua posição média estará no próton mas a incerteza em sua posição será aproximadamente igual ao raio r de sua órbita O vetor momento linear médio do elétron é igual a zero mas seu momento linear médio ao quadrado é aproximadamente igual à incerteza ao quadrado em seu momento linear como determinado pelo princípio da incerteza Tratando o átomo como um sistema unidimensional a calcule a incerteza no momento linear do elétron em função de r Calcule b a energia cinética e c a energia total do elétron em função de r O valor verdadeiro de r é o que minimiza a energia total resultando em um átomo estável Determine d esse valor de r e e a energia total resultante f Compare suas respostas com o estipulado pela teoria de Bohr Resposta a Δp ħ2r b K ħ²2mₑ r² c E ħ²2mₑ r² kₑ e²r d r a₀ e 136 eV Q7 Para um estado esfericamente simétrico de um átomo de hidrogênio a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas é ħ²2mₑ d²ψdr² 2r dψdr kₑ e²r ψ Eψ a Demonstre que a função de onda 1s para um elétron no hidrogênio ψ₁s r 1π a₀³ eʳᵃ₀ satisfaz à equação de Schrödinger b Qual é a energia do átomo para este estado Resposta b E kₑ e²2 a₀ Q8 A função de onda do estado fundamental para o elétron em um átomo de hidrogênio é ψ₁s r 1π a₀³ eʳᵃ₀ onde r é a coordenada radial do elétron e a₀ é o raio de Bohr a Demonstre que a função de onda dada está normalizada b Determine a probabilidade de localizarmos o elétron entre r₁ a₀2 e r₂ 3a₀2 Resposta b P 0497 Q9 Quantos conjuntos de números quânticos são possíveis para um átomo de hidrogênio para o qual a n 1 b n 2 c n 3 d n 4 e e n 5 Resposta a 2 b 8 c 18 d 32 e 50 Q10 Por que a seguinte situação é impossível Um fóton de comprimento de onda de 880 nm atinge uma superfície limpa de alumínio ejetando um fotoelétron Depois o fotoelétron atinge um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental transferindo a energia para este e excitandoo até um estado quântico superior Q11 a Descreva a configuração eletrônica do estado fundamental do nitrogênio Z 7 b Determine os valores do possível conjunto de números quânticos n ℓ mₗ e mₛ para os elétrons no nitrogênio Resposta a 1s² 2s² 2p³ Q12 a Qual quantidade de energia é requerida para mover um elétron no hidrogênio do estado n 1 para o n 2 b Suponha que o átomo ganhe essa energia por meio de colisões entre os átomos de hidrogênio a uma alta temperatura A qual temperatura a energia cinética atômica média 32 kBT seria grande o suficiente para excitar o elétron Neste caso kB é a constante de Boltzmann Resposta a ΔE 163 x 10¹⁸ J b E 788 x 10⁴ K Q13 Um teorema elementar em estatística determina que a incerteza da média quadrática em uma grandeza r é dada por Δr r² r² Determine a incerteza na posição radial do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio Utilize o valor médio de r calculado antes r 3a₀2 O valor médio da distância ao quadrado entre o elétron e o próton é dado por r² todo espaço ψ² r² dV ₀ Pr r² dr Resposta Δr 0866 a₀ Q14 a Utilize o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio para demonstrar que quando o elétron se move do estado n para o n 1 a frequência da luz emitida é f 2π² mₑ kₑ² e⁴ h³ 2n 1 n² n 1² b O princípio da correspondência de Bohr afirma que os resultados quânticos devem se reduzir a resultados clássicos no limite dos números quânticos grandes Demonstre que para n esta expressão varia como 1n³ e se reduz à frequência clássica que se espera que o átomo emita Sugestão Para calcular a frequência clássica observe que a frequência de rotação é v 2πr onde v é a velocidade escalar do elétron e r é dado pela equação rₙ n² ħ² mₑ kₑ e² n 1 2 3 Moléculas e Sólidos Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso BCET Disciplina Física IV A seguinte lista de problemas foi selecionada do livro Raymond Serway e Jhon Jewett Princípios de Física Vol 4 8A edição Capítulo 9 Q1 Na molécula de iodeto de potássio KI suponha que os átomos K e I se ligam ionicamente pela transferência de um elétron de K a I a A energia de ionização de K é 434 eV e a afinidade de elétrons de I é 306 eV Qual energia é necessária para transferir um elétron de K a I para formar íons K e I a partir de átomos neutros Essa quantidade por vezes é chamada energia de ativação Ea b Uma função energia potencial para a molécula KI é o potencial de LennardJones Ur 4ε σr12 σr6 Ea onde r é a distância de separação internuclear e ε e σ são parâmetros ajustáveis O termo Ea é acrescentado para assegurar o comportamento assintótico correto para r grande Na distância de separação de equilíbrio r r0 0305 nm Ur é mínimo e dUdr 0 Além disso Ur0 é o negativo da energia de dissociação Ur0 337 eV Encontre σ e ε c Calcule a força necessária para quebrar uma molécula KI d Calcule a constante de força para pequenas oscilações em r r0 Sugestão Tome r r0 s onde sr0 1 e expanda Ur nas potências de sr0 para termos de segunda ordem Resposta a E 128 eV b σ 0272 nm ε 465 eV c 655 nN d k 576 Nm Q2 A descrição da energia potencial de uma molécula diatômica é dada pelo potencial de LennardJones Ur Ar12 Br6 onde A e B são constantes e r é a distância de separação entre os átomos Encontre em termos de A e B a o valor r0 no qual a energia é mínima e b a energia E necessária para quebrar uma molécula diatômica Resposta a 742 pm b 446 eV Q3 A figura é um modelo de uma molécula de benzeno Todos os átomos ficam em um plano e os de carbono mC 199 1026 kg formam um hexágono regular como os de hidrogênio mH 167 1027 kg Os átomos de carbono estão a 0110 nm separados centro a centro e os de carbono e hidrogênio adjacentes 0100 de centro a centro a Calcule o momento de inércia da molécula em relação a um eixo perpendicular ao plano do papel que passa pelo ponto do centro O b Determine as energias rotacionais pelo seu eixo Resposta a I 1891045 kg m2 b E 184JJ1 onde J 0 1 2 3 Q4 Considere uma cadeia unidimensional de íons alternados positivos e negativos simplesmente ionizados Mostre que a energia potencial associada a um dos íons e suas interações com o resto de seu cristal hipotético é Ur keα e2 r onde a constante de Madelung é α 2 ln 2 e r é a distância entre íons Sugestão utilize a expansão em série para ln1 x Q3 Q8 Q5 Um elétron movese em uma caixa tridimensional de lado L e volume L3 A função de onda da partícula é ψ Asenkxxsenkyysenkzz Mostre que sua energia é dada pela En ħ2π2 2meL2 nx2 ny2 nz2 onde os números quânticos nx ny nz são inteiros 1 Sugestão A equação de Schrödinger em três dimensões pode ser assim escrita ħ22m 2ψx2 2ψy2 2ψz2 U E ψ Q6 Mostre que a energia cinética média de um elétron de condução em um metal a 0 K é Emédia 35 EF Sugestão Em geral a energia cinética média é Emédia 1ne 0 E NE dE onde ne é a densidade de partículas NEdE é dado por NEdE 82 π me32 h3 E12 1 eEEFkBT 1 dE e a integral é por todos os valores possíveis da energia Q7 A função de distribuição de FermiDirac pode ser formulada como fE 1 eEEFkBT 1 1 eEEF1 TFT 1 onde TF é a temperatura de Fermi definida de acordo com kBT EF a Faça uma planilha para calcular e uma representação gráfica de fE por EEF em uma temperatura fixa T b Descreva as curvas obtidas para T 0 1TF 0 2TF e 0 5TF Q8 Uma partícula de massa m movese em unidimensionalmente por um campo para o qual a energia potencial do sistema partículacampo é Ur Ax3 Bx onde A e B são constantes A forma geral dessa função é mostrada na figura a Encontre a posição de equilíbrio x0 da partícula em termos de m A e B b Determine a profundidade U0 desse poço potencial c Ao se mover ao longo do eixo x qual força máxima voltada para a direção negativa de x a partícula sofre Resposta a x0 3AB b U0 2B327A c Fmáx B212A