Lista de Exercícios de Álgebra II: Anéis e Corpos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORESCFP CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA COMPONENTE CURRICULAR ÁLGEBRA II ANÉIS E CORPOS PROF EDNALDO OLIVEIRA SILVA JUNIOR 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS Questão 01 Seja f ℝ x ℝ dada por 1 f p x p a Mostre que f é um homomorfismo de anéis b Mostre que o núcleo desse homomorfismo é gerado pelo polinômio 1 g x x c Mostre ainda que tal núcleo é um Ideal Maximal de ℝ x Questão 02 Sejam D i a bi a b ℤ ℤ e 0 D D Considere o corpo das frações de D dado por D D m K m D n D n Mostre que K ℚ i Questão 03 Determine o corpo de frações de 6 ℤ 2 ℤ e ℤ7 Questão 04 Seja 10 7 4 7 2 3 5 1 f x x x x x ℤ Encontre um polinômio 7 g x x ℤ com 6 g x tal que 7 f a g a a ℤ Questão 05 Determine o grau dos polinômios abaixo a 2 3 4 1 1 f x x x x ℚ b 2 3 4 7 7 1 g x x x x x x ℤ c 2 4 8 1 2 h x x x ℤ Questão 06 Seja D um domínio de integridade e f x g x D x são tais que 3 15 f e 8 f g Determine o grau do polinômio g f Questão 07 É possível encontrar um polinômio não constante inversível no anel 8 x ℤ Caso a resposta seja positiva dê um exemplo Questão 08 Seja 4 2 5 2 3 f x x x x x ℤ a Determine todas as raízes de f b Determine os polinômios mônicos que dividem f Questão 09 Efetue as divisões dos polinômios f pelos polinômios g nos casos abaixo a 5 2 2 3 3 2 1 f x x x x g x x x x ℚ b 6 4 2 7 2 3 3 f x x x x g x x x x ℤ c 2 7 1 2 f x x g x x ℤ Questão 10 Mostre que se a K corpo é tal que a não é raiz de um polinômio f x K x então f a r onde r é o resto da divisão de f por x a Questão 11 Determine MDC entre os polinômios abaixo a 2 3 1 1 f x x g x x x x ℚ b 5 3 4 2 1 1 f x x i x x g x x x ℂ c 3 2 2 5 2 3 2 4 f x x x x g x x x ℤ Questão 12 Verifique se os conjuntos abaixo são ideais de ℚ x a 2 0 0 1 I f x x f f f ℚ b 2 0 0 I f x x f f ℚ E nunca considerem seu estudo como uma obrigação mas sim como uma oportunidade invejável de aprender sobre a influência libertadora da beleza no domínio do espírito para seu prazer pessoal e para o proveito da comunidade à qual pertencerá o seu trabalho futuro Albert Einstein