Questões sobre Polinômios e Anéis

Questão 01 Seja K um corpo e fx Kx Mostre que se degf 2 então f é redutível em Kx Questão 02 Dê exemplos de polinômios irreduzíveis em Zx Questão 03 a Mostre que o polinômio px x² 1 é irreduzível em Rx b Considera a aplicação f Rx C dada por fpx pi Mostre que f é um Epimorfismo ou seja um Homomorfismo Sobrejetor b₁ Mostre que o núcleo da aplicação acima é gerado pelo polinômio x² 1 ou seja Nucf x² 1 b Mostre que Nucf é um Ideal Maximal Questão 04 Mostre que o polinômio px x⁴ 4 Qx é redutível Questão 05 Verifique se os polinômios abaixo são redutíveis em Qx a fx x² 3 b gx x⁴ 3x³ 1 c hx 3x³ 7x² 14x 28 d px x² x 4 Questão 06 Seja fx Zx um polinômio Mônico tal que 3c Q com fc 0 Mostre que c Z Questão 07 Mostre que 2 é redutível em Z5 mas não é primo c Será que Z5 é um Anel Euclidiano Questão 09 Seja Z5 a b5 a b Z a Mostre que 2 3 e 1 5 são irreduzíveis em Z5 b Será que 6 é irreduzível em Z5 c Será que Z5 é um Anel Euclidiano Questão 10 Seja A um Anel Fatorial e fx Ax um polinômio primitivo Se gxfx então gx é primitivo Questão 11 Dê exemplo de um polinômio irreduzível fx Zx tal que o ideal gerado por fx ou seja I fx não é um ideal maximal Questão 12 Seja Z11 a b11 a b Z a Mostre que 12 é irreduzível mas não é primo em Z11 b Z11 é um Anel Fatorial c Z11 é um Anel Euclidiano Questão 13 Em Z define a função d Z0 N por da a² Podemos afirmar então que Z é um Anel Euclidiano E se fosse em Q