Lista de Exercícios: Álgebra II - Anéis e Corpos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORESCFP CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA COMPONENTE CURRICULAR ÁLGEBRA II ANÉIS E CORPOS PROF EDNALDO OLIVEIRA SILVA JUNIOR 3ª LISTA DE EXERCÍCIOS Questão 01 Seja K um corpo e f x K x Mostre que se 2 f x então f é redutível em K x Questão 02 Dê exemplos de polinômios irredutíveis em 3 x ℤ Questão 03 a Mostre que o polinômio 2 1 p x x é irredutível em ℝ x b 1 b Considere a aplicação f ℝ x ℂ dada por f p x f p x p i Mostre que f é um Epimorfismo ou seja um Homomorfismo Sobrejetor b2 Mostre que o núcleo da aplicação acima é gerado pelo polinômio 2 1 x ou seja 2 1 Nuc f x b3 Mostre que Nuc f é um Ideal Maximal Questão 04 Mostre que o polinômio 4 4 p x x x ℚ é redutível Questão 05 Verifique se os polinômios abaixo são redutíveis em ℚ x a 2 3 f x x b 7 4 2 3 1 g x x x x c 4 3 2 3 70 14 28 h x x x x d 3 2 4 p x x x x Questão 06 Seja f x ℤ x um polinômio Mônico tal que c ℚ com f c 0 Mostre que cℤ Questão 07 Mostre que 2 é redutível em i ℤ mas não é primo Questão 08 Verifique se i ℤ é um Anel Euclidiano Questão 09 Seja 5 5 a b a b ℤ ℤ a Mostre que 23 e 1 5 são irredutíveis em 5 ℤ b Será que 6 é irredutível em 5 ℤ c Será que 5 ℤ é um Anel Euclidiano Questão 10 Seja A um Anel Fatorial e f x A x um polinômio primitivo Se g x A x é tal que g x f x então g x é primitivo Questão 11 Dê exemplo de um polinômio irredutível f x ℤ x tal que o ideal gerado por f x ou seja I f x não é um ideal maximal Questão 12 Seja 11 11 a b a b ℤ ℤ a Mostre que 12 é irredutível mas não é primo em 11 ℤ b 11 ℤ é um Anel Fatorial c 11 ℤ é um Anel Euclidiano Questão 13 Em ℤ defina a função 0 d ℤ ℕ por 2 d a a Podemos afirmar então que ℤ é um Anel Euclidiano E se fosse em ℚ E nunca considerem seu estudo como uma obrigação mas sim como uma oportunidade invejável de aprender sobre a influência libertadora da beleza no domínio do espírito para seu prazer pessoal e para o proveito da comunidade à qual pertencerá o seu trabalho futuro Albert Einstein