Lista - Estatística 2 - 2021-1

Universidade Federal do Rio de Janeiro Estatistica II - Ciéncias Contabeis Lista de Exercicios 2021.1 Prof. Leonardo Goncalves de Oliveira 1) Apés ser tomada uma amostra da remuneracao real por hora (Y) e do indice de produgao por hora (X) no setor empresarial brasileira durante 22 anos, obteve-se a seguinte funcgao de regresséo amostral: Y, = —102, 986 + 2, 0054; ep = (10, 021)(0, 1955) r? = 0, 856 (a) O que vocé precisa assumir sobre os termos de erro para poder realizar testes de hipdtese sobre os coeficientes da fungao de regressao populacional? Como vocé poderia verificar isso se tivesse acesso a todos os dados? (b) Supondo que as condicgoes necessarias sao satisfeitas, teste a hipdtese de que existe uma relacao de um para um entre o indice de producao e a remuneracao real por hora no setor empresarial brasileiro. Use significancia de 5%. (c) Qual porcentagem da variacaéo no valor da remuneracao pode ser explicada pela variacao na producao? (d) Construa um intervalo de confianga para o valor médio da remuneracao por hora em anos cujo indice de producao por hora tenha sido igual a 75. (Utilize T = 86, SQE = 20447, 99 e SQR = 15419, 42. 2) Agora, tomamos uma amostra da remuneracao real por hora (Y) e do indice de produgao por hora (X) no setor agricola brasileiro durante 18 anos, obtendo a seguinte fungaéo de regressao amostral: Y; = —110, 04 + 2, 12X; ep = (11, 549)(0, 1964) r? = 0,907 (a) Uma teoria nos diz cada aumento de uma unidade no indice de produgaéo por hora no setor agricola implica em aumento de R$ 1,50 na remuneracao por hora. Supondo que as condicgoes necessdrias para o modelo de regressao sao satisfeitas, teste a veracidade dessa hipdtese, a uma significancia de 5%. (b) Construa intervalos de confianga para os parametros da fungao de regressao populacional. (c) Qual valor vocé poderia prever para a remuneracao por hora no setor agricola ao final de um ano com indice de produgao igual a 100? (d) Construa um intervalo de predigao para o valor da remuneracao por hora no contexto do item anterior. Utilize T = 86, SQE = 34428, 15 e SQR = 12259, 29. 1 3) Para estudar a relacdo entre o tempo que uma pessoa passa dormindo com o tempo em que passa no trabalho e outros aspectos, foi imaginada a seguinte funcao de regressao populacional: Yi, =at Bi Xy + BoXai + B3X3i + us onde Y; representa o tempo de sono semanal em minutos, X,; representa o tempo gasto no trabalho por semana em minutos, X»9; representa a quantidade de anos de instrucao formal e X3; representa a idade. Com base em uma amostra de 706 individuos, a equagao acima foi estimada pela fungao amostral abaixo: Y; = 3638, 25 — 0, 148. Xa; — 11, 13Xp; + 2, 2X3; ep = (112,28) (0,017) (5, 88) (1, 45) R? = 0,113. Suponha que todas as condigées necessdrias para o modelo de regressao sejam satisfeitas (in- clusive a normalidade dos termos de erro, necessdria para inferéncia). (a) Suponha que um individuo passe a trabalhar duas horas a mais por semana. De quanto é a queda estimada no seu tempo de sono semanal, em média? (b) Os coeficientes 63 e 34 sao estatisticamente significantes, a um nivel de 5%? (c) Ao retirarmos X3; e X4; do modelo, obtemos a seguinte fungao de regresséo amostral: Y, = 3586, 38 — 0, 15LXy, ep = (38,91) (0,017) R? = 0,103. Teste, a um nivel de 5%, se faz sentido ou nao incluir as varidveis Xo; e X3; no modelo. 4) Um estudo gostaria de entender se existe relacao entre a nota obtida no exame de conclusao do Ensino Médio nos EUA com o género, raga e tamanho da turma de cada aluno. Temos a seguinte fungao de regressao populacional: Y;, =a + BX; + SXF, + a4 Dy; + A2D9; + 3D, Doi + uj onde Y; representa a nota no exame, X1; representa a quantidade de alunos na turma daquele individuo, D,; é uma varidvel bindria que assume valor 1 se 0 aluno é mulher e Do; é outra varidvel binaria que assume valor 1 se o aluno é negro. Os dados obtidos de um amostra de 4137 alunos foram: Y, = 1028, 10 + 19, 30.X1,; — 2,19.X?, — 45, 09D); — 169, 81D ; + 62, 31D; Dp; ep = (6,29) (3,83) (0, 53) (4, 29) (12,71) (18, 15) r? = 0,0858 Suponha que todas as condigées necessdrias para o modelo de regressao sejam satisfeitas (in- clusive a normalidade dos termos de erro, necessdria para inferéncia). (a) Teste, a um nivel de 5%, a hipdtese de que By = 0. (b) Fixado o tamanho da classe de um aluno, qual a diferenga estimada na nota entre mulheres que nao sao negras e homens que nao sao negros? 2 (c) Teste a hipotese nula de que a diferenga na nota entre os dois grupos do item acima é igual a zero (d) Fixado 0 tamanho da classe de um aluno, qual a diferenga estimada na nota entre homens negros e homens que nao sao negros? (ec) Teste a hipotese nula de que a diferenga na nota entre os dois grupos do item acima é igual a zero. 5) Suponha que a seguinte relagao é satisfeita para a populacao dos alunos do curso de Es- tatistica II: Y¥,= a+ By XY + a Dy + agDx + a3D3;5 + a4 Dai + Ui onde Y; representa a nota final no curso de Estatistica II, X1; representa a quantidade de horas semanais dedicadas a estudar a matéria, D,; 6 uma varidvel bindria que assume valor 1 se o aluno frequentou mais de 70% das aulas, Do; 6 outra varidvel bindria que assume valor 1 se o aluno nunca estudou pelo livro sugerido, D3; 6 uma varidvel bindria que assume o valor 1 se o aluno foi aprovado em Estatistica I com nota maior que 7,0 e D4; é uma varidvel bindria que assume o valor 1 se o aluno nao trabalha nem faz estagio. Os dados obtidos de um amostra de 350 alunos foram: Y, = 1,53 + 0,65X1,; + 1,2D,; — 2, 54D; + 0,4D3; — 0,05D4; ep = (0,02) (0,15) (0,5) (1,03) (0, 2) (0, 01) Suponha que todas as condigées necessdrias para o modelo de regressao sejam satisfeitas (in- clusive a normalidade dos termos de erro, necessdria para inferéncia). (a) Suponha que um aluno passe a estudar uma hora e meia a mais por semana. De quanto é o aumento estimado em sua nota, em média? (b) Fixadas as horas semanais de estudo, qual a diferenga média na nota de um aluno que nunca estudou pelo livro indicado em relagaéo a categoria base? (Indique qual a categoria base nesse caso). (c) Teste, a um nivel de 5%, a hipdtese nula de que a diferenca na nota entre os dois grupos do item acima é igual a zero. (d) Fixadas as horas semanais de estudo, qual a diferenga média na nota de um aluno que nao trabalha nem faz estagio em relagao a categoria base? (ce) Teste, a um nivel de 5%, a hipdtese nula de que a diferenca na nota entre os dois grupos do item acima é igual a zero. 6) Busca-se estudar o saldrio de jogadores de futebol através do seguinte modelo: Yi; = Bi + BoXai + 83X3i + BaXai + 05 X5i + Ui onde Y; representa o saldrio do jogador em 2020, X2; a quantidade de anos na carreira do jogador, X3; representa a quantidade média de jogos por ano do jogador, X,4; representa a quantidade média de chutes certos do jogador, X;5; representa a quantidade média de gols por 3 ano e X¢; 6 a quantidade média de passes certos por ano realizados por esse jogador. Com base em uma amostra de 353 jogadores, a equacao acima foi estimada pela funcao amostral abaixo: Y, = 11,140, 689.X; + 0,0126.X3; + 0, 00098.X4; + 0, 0144.X5; + 0,0108X6; + u; ep = (0,29) (0,0121) (0,0026) (0,0011) (0,0161) (0,0072) R? = 0, 6278. Suponha que todas as condigées necessdrias para o modelo de regressao sejam satisfeitas (in- clusive a normalidade dos termos de erro, necessdria para inferéncia). (a) Segundo o modelo acima, qual a diferenga que aumento de 10 gols por ano causa na renda de um jogador? (b) Os coeficientes 62 e 33 sao estatisticamente significantes, a um nivel de 5%? (c) Ao retirarmos X4;, X5; ¢ X¢; do modelo, obtemos a seguinte fungao de regressao amostral: Y, = 11,22 + 0,0713Xo; + 0,0202X3; ep = (0,11) (0,0125) (0,0013) R? = 0,5971 Teste, a um nivel de 5%, se faz sentido ou nao incluir as varidveis X4;, X5; e X@; no modelo. 7) Busca-se estudar o crescimento de um pais baseado na seguinte equacao: Yi; = Bi + BoXai + B3X3i + BaXai + P5X5i + B6X6i + BrX7i + A1Dii + AQDa + Ui onde Y; representa o crescimento per capita médio do pais entre 2005 e 2020, Xo; representa a renda per capita em 2005, X3; representa a taxa de criancas matriculadas na escola primaria em 2005, X4; representa a razao entre investimento e PIB per capita, X5; representa a taxa de inflagao, X@; representa as reservas financeiras do pais divididas pelo PIB per capita, X7; representa a razao entre a divida externa e o PIB per capita, D,; 6 uma varidvel bindria que assume valor 1 se o pais é da Africa Sub-saariana e Do; é outra varidvel bindria que assume valor 1 se o pais é da América Latina e Caribe. Com base em uma amostra de 73 paise, a equacao acima foi estimada pela funcao amostral abaixo: Y,; = 1,38 — 0,52NX; + 2,51X3 + 11,16X,, — 4,75Xs,; + 0,17X 6; — 0,337; — 2,02D,; — 1, 98Do; +e; R? = 0,6. Suponha que todas as condigées necessdrias para o modelo de regressao sejam satisfeitas (in- clusive a normalidade dos termos de erro, necessdria para inferéncia). (a) Se um pais aumentar a razao entre a taxa de investimento e o PIB per capita em 0,05, quanto aumentaria sua taxa de crescimento? (b) Teste, a um nivel de 5%, a significancia geral dessa regressdo, ou seja, a hipdtese nula de que todos os coeficientes angulares sao simultaneamente iguais a zero. (c) Mantidas as varidveis X constantes, qual a diferenga entre o crescimento de um pais da Africa Sub-saariana para um pais da categoria base? (Indique a categoria base). (d) Realize um teste de hipdteses para verificar se existe diferenca na taxa de crescimento entre os grupos citados no item acima. 4 (e) Repita o procedimento dos dois itens anteriores para paises da América Latina. 8) Dados os seguintes resultados de uma regressao: Y, = 16899 — 2978, 5X» ep = (8,5152) (—4, 728) R? = 0,6149. e Y, = 9734, 2 — 3782, 2X>, + 2815X3, ep = (3,3705) (—6,607) (2,9712) R? = 0, 7706. (a) Verifique se o coeficiente 62 (que multiplica X»,) é significante na primeira equacao. (b) Repita o procedimento acima para a segunda equacao. (c) Faca um teste de hipdteses que indique se vale a pena colocar a varidvel X3, no modelo. 9) Uma equipe de pesquisadores esté fazendo um estudo sobre depressao e gostaria de prever se um paciente ira desistir do estudo ou nao. Assim, define-se uma varidvel bindria de resposta Y, que assume valor 1 se 0 paciente desiste e 0 caso contrario. As varidveis usadas para prever o valor de Y sao a idade do paciente, em anos, dada por X, e um valor na escala HRDS, que mede o nivel de depressao do paciente, dado por Xo. Foi construido o seguinte modelo de regressao logistica, com base em uma amostra de 428 pacientes: In (2) = 0,442 + 0,0379.X); — 0,0468.X3; + e; —?P ep = (0, 4883) (0, 0115) (0, 0159) (a) Os coeficientes 3, e G2 sao significantes, a um nivel de 5%? (b) Qual a probabilidade estimada de um paciente com 30 anos e escala HDRS de 30 desistir do estudo? (c) Qual a probabilidade estimada de um paciente com 60 anos e escala HDRS de 8 desistir do estudo? 5