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Estatística 2
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Estatística II Análise de Variância - ANOVA 1 Análise de Variância - ANOVA • Testes Paramétricos – ANalysis Of VAriance (ANOVA) – Testa de existe diferença entre as médias populacionais de 𝑘 grupos. – Hipóteses: • 𝐻0: As médias populacionais são iguais 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑘. • 𝐻1: Existe, pelo menos, uma população com média diferente das demais 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗. – Assumir 𝛼 como o nível de significância (Costume de 𝛼 = 0,05) – Exige-se normalidade para as duas populações e a homogeneidade das variâncias. 2 Análise de Variância - ANOVA DISTRIBUIÇÃO DAS NOTAS DOS ALUNOS SUPONDO QUE NÃO HÁ DIFERENÇA ENTRE AS TURMAS T1, T2 E T3 NOTAS MÉDIA T1 MÉDIA T2 MÉDIA T3 DISTRIBUIÇÃO DAS NOTAS DOS ALUNOS SUPONDO DIFERENÇA ENTRE AS TURMAS T1, T2 E T3 NOTAS MÉDIA T1 MÉDIA T2 MÉDIA T3 UFRJ Análise de Variância - ANOVA E(Y|X4) E(Y|X3) E(Y|X2) E(Y|X1) E(Y) = E(E(Y|X)) V(Y) V(E(Y|X)) E(V(Y|X)) V(Y|X1) V(Y|X2) V(Y|X3) V(Y|X4) X1 X2 X3 X4 X Figure 1: ANOVA : Fair fit UFRJ Análise de Variância - ANOVA 5 Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrados médios F Entre Grupos 𝑆𝑄𝐹 = 𝑖=1 𝑘 𝑛𝑖 ഥ𝑌𝑖 − ത𝑌 2 𝑘 − 1 𝑄𝑀𝐹 = 𝑆𝑄𝐹 𝑘 − 1 𝐹 = 𝑄𝑀𝐹 𝑄𝑀𝐸 Dentro dos Grupos 𝑆𝑄𝐸 = 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛𝑖 𝑌𝑖𝑗 − ഥ𝑌𝑖 2 𝑁 − 𝑘 𝑄𝑀𝐸 = 𝑆𝑄𝐸 𝑁 − 𝑘 Total 𝑆𝑄𝑇 = 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛𝑖 𝑌𝑖𝑗 − ത𝑌 2 𝑁 − 1 ത𝑌 é a média geral da amostra; ഥ𝑌𝑖 é a média do grupo 𝑖; 𝑘 é o número de grupos analisados; 𝑁 é o tamanho total amostra (𝑁 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘); 𝑛𝑖 é o número de elementos da amostra que estão no grupo 𝑖. Análise de Variância - ANOVA Exemplo: Um grupo de pesquisadores quis verificar se há diferença no preço média de refeições em Miami – EUA. Foi buscado o valor da refeição para três tipos de comida, Italiana, Japonesa e Churrasco. Considerando os dados coletados, qual deve ser a conclusão dos pesquisadores. 6 Grupo 1 Italiana Grupo 2 Japonesa Grupo 3 Churrasco 12 16 24 13 18 19 15 17 23 17 26 25 18 23 21 20 15 22 17 19 27 24 18 31 Tabela 5. Limites unitários da distribuição F de Fisher-Snedecor ao nível de 5% de probabilidade. V2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 40 50 120 240 VI 1 16.14 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.0 243.9 244.7 245.4 245.9 248.0 251.1 252.2 253.3 253.8 2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.300 19.335 19.359 19.374 19.383 19.387 19.396 19.405 19.419 19.424 19.429 19.440 19.471 19.479 19.487 19.492 3 10.128 9.542 9.277 9.171 9.013 8.941 8.863 8.845 8.819 8.813 8.796 8.763 8.745 8.715 8.703 8.660 8.594 8.572 8.549 8.538 4 7.708 5.965 5.598 5.416 5.192 5.105 4.967 4.914 4.870 4.854 4.818 4.775 4.749 4.700 4.686 4.615 4.504 4.474 4.441 4.429 5 6.608 5.174 4.509 4.152 4.050 3.904 3.847 3.833 3.797 3.783 3.757 3.727 3.704 3.658 3.642 3.570 3.457 3.425 3.392 3.379 6 5.987 4.737 4.347 3.978 3.877 3.737 3.687 3.657 3.613 3.603 3.577 3.539 3.513 3.473 3.463 3.382 3.265 3.231 3.197 3.184 7 5.591 4.473 4.084 3.792 3.688 3.563 3.512 3.479 3.443 3.433 3.396 3.368 3.345 3.303 3.293 3.211 3.091 3.057 3.021 3.008 8 5.318 4.256 3.863 3.583 3.477 3.353 3.299 3.264 3.229 3.219 3.185 3.156 3.136 3.094 3.081 3.001 2.879 2.842 2.808 2.795 9 5.117 4.145 3.747 3.471 3.364 3.240 3.184 3.140 3.108 3.093 3.064 3.030 3.015 2.974 2.964 2.880 2.753 2.717 2.682 2.669 10 4.965 4.051 3.647 3.372 3.265 3.141 3.089 3.045 3.014 3.000 2.969 2.934 2.919 2.877 2.864 2.780 2.653 2.618 2.584 2.572 11 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.878 2.818 2.788 2.761 2.739 2.719 2.646 2.531 2.490 2.448 2.426 12 4.757 3.936 3.541 3.310 3.153 3.053 2.973 2.913 2.872 2.850 2.785 2.753 2.717 2.687 2.666 2.590 2.474 2.433 2.393 2.371 13 4.667 3.869 3.411 3.179 3.065 2.915 2.832 2.767 2.714 2.696 2.633 2.604 2.577 2.540 2.512 2.438 2.327 2.287 2.247 2.225 14 4.594 3.833 3.352 3.121 3.008 2.857 2.778 2.724 2.681 2.654 2.590 2.563 2.530 2.497 2.470 2.392 2.280 2.241 2.201 2.179 15 4.531 3.762 3.297 3.066 2.956 2.801 2.722 2.668 2.627 2.600 2.532 2.507 2.474 2.440 2.413 2.338 2.219 2.180 2.141 2.118 16 4.494 3.634 3.239 3.006 2.905 2.741 2.661 2.611 2.574 2.548 2.480 2.450 2.451 2.386 2.360 2.280 2.174 2.134 2.097 2.074 17 4.431 3.582 3.197 2.967 2.850 2.714 2.599 2.562 2.528 2.507 2.446 2.273 2.313 2.277 2.282 2.240 2.133 2.094 2.055 2.031 18 4.414 3.555 3.160 2.926 2.773 2.661 2.557 2.512 2.487 2.462 2.389 2.366 2.334 2.302 2.264 2.219 2.108 2.070 2.031 2.007 19 4.381 3.502 3.100 2.920 2.724 2.631 2.516 2.470 2.448 2.424 2.379 2.348 2.318 2.288 2.254 2.201 2.097 2.058 2.021 1.996 20 4.351 3.463 3.092 2.864 2.711 2.599 2.485 2.438 2.418 2.383 2.325 2.293 2.270 2.236 2.209 2.151 2.049 2.010 1.973 1.947 21 4.325 3.439 3.068 2.728 2.666 2.579 2.454 2.407 2.398 2.348 2.303 2.270 2.253 2.220 2.197 2.124 2.020 1.982 1.946 1.918 22 4.301 3.432 3.049 2.729 2.659 2.539 2.448 2.397 2.349 2.329 2.286 2.237 2.219 2.176 2.151 2.077 1.976 1.938 1.901 1.874 23 4.279 3.438 3.042 2.776 2.657 2.525 2.434 2.390 2.342 2.326 2.263 2.226 2.211 2.168 2.126 2.055 1.952 1.916 1.880 1.853 24 4.260 3.403 2.999 2.779 2.652 2.500 2.403 2.375 2.328 2.309 2.243 2.208 2.197 2.154 2.115 2.048 1.941 1.905 1.868 1.842 25 4.242 3.386 2.930 2.779 2.652 2.479 2.392 2.345 2.301 2.283 2.215 2.183 2.165 2.123 2.092 2.027 1.892 1.842 1.796 1.762 26 4.225 3.349 2.979 2.743 2.587 2.443 2.358 2.313 2.271 2.260 2.186 2.135 2.130 2.093 2.072 1.990 1.851 1.822 1.756 1.730 28 4.198 3.340 2.947 2.714 2.558 2.445 2.339 2.294 2.248 2.226 2.147 2.108 2.098 2.064 2.041 1.975 1.830 1.799 1.749 1.727 30 4.174 3.316 2.922 2.660 2.534 2.421 2.334 2.286 2.244 2.217 2.115 2.085 2.067 2.032 2.018 1.943 1.814 1.782 1.732 1.706 40 4.173 3.222 2.929 2.548 2.438 2.325 2.234 2.181 2.153 2.132 2.092 2.063 2.037 2.015 1.992 1.932 1.792 1.740 1.688 1.664 50 4.034 3.183 2.790 2.520 2.400 2.228 2.129 2.073 2.045 2.023 1.986 1.952 1.927 1.895 1.871 1.784 1.634 1.576 1.511 1.476 80 3.960 3.115 2.719 2.486 2.336 2.214 2.126 2.056 2.022 1.999 1.959 1.924 1.898 1.857 1.832 1.773 1.603 1.541 1.471 1.430 120 3.920 3.067 2.669 2.435 2.295 2.179 2.092 2.017 1.985 1.960 1.919 1.885 1.861 1.818 1.789 1.730 1.555 1.488 1.416 1.375 240 3.881 3.033 2.642 2.409 2.252 2.136 2.048 1.977 1.919 1.894 1.854 1.834 1.808 1.793 1.761 1.733 1.708 1.614 1.445 1.375 1.290 1.237
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Estatística II Análise de Variância - ANOVA 1 Análise de Variância - ANOVA • Testes Paramétricos – ANalysis Of VAriance (ANOVA) – Testa de existe diferença entre as médias populacionais de 𝑘 grupos. – Hipóteses: • 𝐻0: As médias populacionais são iguais 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑘. • 𝐻1: Existe, pelo menos, uma população com média diferente das demais 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗. – Assumir 𝛼 como o nível de significância (Costume de 𝛼 = 0,05) – Exige-se normalidade para as duas populações e a homogeneidade das variâncias. 2 Análise de Variância - ANOVA DISTRIBUIÇÃO DAS NOTAS DOS ALUNOS SUPONDO QUE NÃO HÁ DIFERENÇA ENTRE AS TURMAS T1, T2 E T3 NOTAS MÉDIA T1 MÉDIA T2 MÉDIA T3 DISTRIBUIÇÃO DAS NOTAS DOS ALUNOS SUPONDO DIFERENÇA ENTRE AS TURMAS T1, T2 E T3 NOTAS MÉDIA T1 MÉDIA T2 MÉDIA T3 UFRJ Análise de Variância - ANOVA E(Y|X4) E(Y|X3) E(Y|X2) E(Y|X1) E(Y) = E(E(Y|X)) V(Y) V(E(Y|X)) E(V(Y|X)) V(Y|X1) V(Y|X2) V(Y|X3) V(Y|X4) X1 X2 X3 X4 X Figure 1: ANOVA : Fair fit UFRJ Análise de Variância - ANOVA 5 Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrados médios F Entre Grupos 𝑆𝑄𝐹 = 𝑖=1 𝑘 𝑛𝑖 ഥ𝑌𝑖 − ത𝑌 2 𝑘 − 1 𝑄𝑀𝐹 = 𝑆𝑄𝐹 𝑘 − 1 𝐹 = 𝑄𝑀𝐹 𝑄𝑀𝐸 Dentro dos Grupos 𝑆𝑄𝐸 = 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛𝑖 𝑌𝑖𝑗 − ഥ𝑌𝑖 2 𝑁 − 𝑘 𝑄𝑀𝐸 = 𝑆𝑄𝐸 𝑁 − 𝑘 Total 𝑆𝑄𝑇 = 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛𝑖 𝑌𝑖𝑗 − ത𝑌 2 𝑁 − 1 ത𝑌 é a média geral da amostra; ഥ𝑌𝑖 é a média do grupo 𝑖; 𝑘 é o número de grupos analisados; 𝑁 é o tamanho total amostra (𝑁 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘); 𝑛𝑖 é o número de elementos da amostra que estão no grupo 𝑖. Análise de Variância - ANOVA Exemplo: Um grupo de pesquisadores quis verificar se há diferença no preço média de refeições em Miami – EUA. Foi buscado o valor da refeição para três tipos de comida, Italiana, Japonesa e Churrasco. Considerando os dados coletados, qual deve ser a conclusão dos pesquisadores. 6 Grupo 1 Italiana Grupo 2 Japonesa Grupo 3 Churrasco 12 16 24 13 18 19 15 17 23 17 26 25 18 23 21 20 15 22 17 19 27 24 18 31 Tabela 5. Limites unitários da distribuição F de Fisher-Snedecor ao nível de 5% de probabilidade. V2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 40 50 120 240 VI 1 16.14 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.0 243.9 244.7 245.4 245.9 248.0 251.1 252.2 253.3 253.8 2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.300 19.335 19.359 19.374 19.383 19.387 19.396 19.405 19.419 19.424 19.429 19.440 19.471 19.479 19.487 19.492 3 10.128 9.542 9.277 9.171 9.013 8.941 8.863 8.845 8.819 8.813 8.796 8.763 8.745 8.715 8.703 8.660 8.594 8.572 8.549 8.538 4 7.708 5.965 5.598 5.416 5.192 5.105 4.967 4.914 4.870 4.854 4.818 4.775 4.749 4.700 4.686 4.615 4.504 4.474 4.441 4.429 5 6.608 5.174 4.509 4.152 4.050 3.904 3.847 3.833 3.797 3.783 3.757 3.727 3.704 3.658 3.642 3.570 3.457 3.425 3.392 3.379 6 5.987 4.737 4.347 3.978 3.877 3.737 3.687 3.657 3.613 3.603 3.577 3.539 3.513 3.473 3.463 3.382 3.265 3.231 3.197 3.184 7 5.591 4.473 4.084 3.792 3.688 3.563 3.512 3.479 3.443 3.433 3.396 3.368 3.345 3.303 3.293 3.211 3.091 3.057 3.021 3.008 8 5.318 4.256 3.863 3.583 3.477 3.353 3.299 3.264 3.229 3.219 3.185 3.156 3.136 3.094 3.081 3.001 2.879 2.842 2.808 2.795 9 5.117 4.145 3.747 3.471 3.364 3.240 3.184 3.140 3.108 3.093 3.064 3.030 3.015 2.974 2.964 2.880 2.753 2.717 2.682 2.669 10 4.965 4.051 3.647 3.372 3.265 3.141 3.089 3.045 3.014 3.000 2.969 2.934 2.919 2.877 2.864 2.780 2.653 2.618 2.584 2.572 11 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.878 2.818 2.788 2.761 2.739 2.719 2.646 2.531 2.490 2.448 2.426 12 4.757 3.936 3.541 3.310 3.153 3.053 2.973 2.913 2.872 2.850 2.785 2.753 2.717 2.687 2.666 2.590 2.474 2.433 2.393 2.371 13 4.667 3.869 3.411 3.179 3.065 2.915 2.832 2.767 2.714 2.696 2.633 2.604 2.577 2.540 2.512 2.438 2.327 2.287 2.247 2.225 14 4.594 3.833 3.352 3.121 3.008 2.857 2.778 2.724 2.681 2.654 2.590 2.563 2.530 2.497 2.470 2.392 2.280 2.241 2.201 2.179 15 4.531 3.762 3.297 3.066 2.956 2.801 2.722 2.668 2.627 2.600 2.532 2.507 2.474 2.440 2.413 2.338 2.219 2.180 2.141 2.118 16 4.494 3.634 3.239 3.006 2.905 2.741 2.661 2.611 2.574 2.548 2.480 2.450 2.451 2.386 2.360 2.280 2.174 2.134 2.097 2.074 17 4.431 3.582 3.197 2.967 2.850 2.714 2.599 2.562 2.528 2.507 2.446 2.273 2.313 2.277 2.282 2.240 2.133 2.094 2.055 2.031 18 4.414 3.555 3.160 2.926 2.773 2.661 2.557 2.512 2.487 2.462 2.389 2.366 2.334 2.302 2.264 2.219 2.108 2.070 2.031 2.007 19 4.381 3.502 3.100 2.920 2.724 2.631 2.516 2.470 2.448 2.424 2.379 2.348 2.318 2.288 2.254 2.201 2.097 2.058 2.021 1.996 20 4.351 3.463 3.092 2.864 2.711 2.599 2.485 2.438 2.418 2.383 2.325 2.293 2.270 2.236 2.209 2.151 2.049 2.010 1.973 1.947 21 4.325 3.439 3.068 2.728 2.666 2.579 2.454 2.407 2.398 2.348 2.303 2.270 2.253 2.220 2.197 2.124 2.020 1.982 1.946 1.918 22 4.301 3.432 3.049 2.729 2.659 2.539 2.448 2.397 2.349 2.329 2.286 2.237 2.219 2.176 2.151 2.077 1.976 1.938 1.901 1.874 23 4.279 3.438 3.042 2.776 2.657 2.525 2.434 2.390 2.342 2.326 2.263 2.226 2.211 2.168 2.126 2.055 1.952 1.916 1.880 1.853 24 4.260 3.403 2.999 2.779 2.652 2.500 2.403 2.375 2.328 2.309 2.243 2.208 2.197 2.154 2.115 2.048 1.941 1.905 1.868 1.842 25 4.242 3.386 2.930 2.779 2.652 2.479 2.392 2.345 2.301 2.283 2.215 2.183 2.165 2.123 2.092 2.027 1.892 1.842 1.796 1.762 26 4.225 3.349 2.979 2.743 2.587 2.443 2.358 2.313 2.271 2.260 2.186 2.135 2.130 2.093 2.072 1.990 1.851 1.822 1.756 1.730 28 4.198 3.340 2.947 2.714 2.558 2.445 2.339 2.294 2.248 2.226 2.147 2.108 2.098 2.064 2.041 1.975 1.830 1.799 1.749 1.727 30 4.174 3.316 2.922 2.660 2.534 2.421 2.334 2.286 2.244 2.217 2.115 2.085 2.067 2.032 2.018 1.943 1.814 1.782 1.732 1.706 40 4.173 3.222 2.929 2.548 2.438 2.325 2.234 2.181 2.153 2.132 2.092 2.063 2.037 2.015 1.992 1.932 1.792 1.740 1.688 1.664 50 4.034 3.183 2.790 2.520 2.400 2.228 2.129 2.073 2.045 2.023 1.986 1.952 1.927 1.895 1.871 1.784 1.634 1.576 1.511 1.476 80 3.960 3.115 2.719 2.486 2.336 2.214 2.126 2.056 2.022 1.999 1.959 1.924 1.898 1.857 1.832 1.773 1.603 1.541 1.471 1.430 120 3.920 3.067 2.669 2.435 2.295 2.179 2.092 2.017 1.985 1.960 1.919 1.885 1.861 1.818 1.789 1.730 1.555 1.488 1.416 1.375 240 3.881 3.033 2.642 2.409 2.252 2.136 2.048 1.977 1.919 1.894 1.854 1.834 1.808 1.793 1.761 1.733 1.708 1.614 1.445 1.375 1.290 1.237