Slide - Inferência Estatística

Prof. Moacir Manoel Rodrigues Junior ESTATÍSTICA II 1 Inferência Estatística Estimador e Estimativas (Pontual e Intervalar) 2 Processo de Inferência Estatística 3 𝜃 População (𝑵) ෠𝜃 Amostra (𝒏) Processo de Amostragem Parâmetro Estimado O processo de cálculo e controle do erro da estimativa é chamada de inferência ou indução estatística Processo de Inferência Estatística 4 Estimador ou Estatística Dada uma amostra aleatória (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), estimador ou estatística é qualquer variável aleatória função dos elementos amostrais. Matematicamente temos: መ𝜃 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 é um estimador de 𝜃. Exemplo: Para estimar a média de uma população utilizamos a função: ത𝑋 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑛 = σ𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 𝑛 Processo de Inferência Estatística 5 Estimativa As estimativas podem ser divididas em duas: • Estimativa Pontual – Quando, com base em dados amostrais, calculamos um valor da estimativa do parâmetro populacional, temos uma estimativa por ponto do parâmetro considerado. • Estimativa Intervalar – é um intervalo determinado por dois números, obtidos a partir de elementos amostrais, que se espera contenham o valor do parâmetro com dado nível de confiança ou probabilidade. Processo de Inferência Estatística 6 Estimativa Intervalar Toda estimativa intervalar considera a seguinte construção? መ𝜃 − 𝐷𝐴 𝛼 𝑉𝑎𝑟 መ𝜃 𝑛 ≤ 𝜃 ≤ መ𝜃 + 𝐷𝐴 𝛼 𝑉𝑎𝑟 መ𝜃 𝑛 Onde: መ𝜃 estimativa pontual da estatística; 𝐷𝐴(1 − 𝛼) Distribuição Amostral do Parâmetro com nível de confiança de 1 − 𝛼; 𝑉𝑎𝑟 መ𝜃 variância do estimador pontual; e 𝑛 tamanho da amostra. Processo de Inferência Estatística 7 Estimativa Intervalar Exemplo: Considera as estatísticas amostrais da média: O intervalo neste caso é: ത𝑋 − 𝑡𝛼 2 𝑠 𝑛 ≤ 𝑋 ≤ ത𝑋 + 𝑡𝛼 2 𝑠 𝑛 Que resulta: 𝑃 ത𝑋 − 𝑡𝛼 2 𝑠 𝑛 ≤ 𝑋 ≤ ത𝑋 + 𝑡𝛼 2 𝑠 𝑛 = 1 − 𝛼 ത𝑋 = σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 𝑛 𝑠 = 1 𝑛 − 1 ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 − ത𝑋 2 Processo de Inferência Estatística 8 Estimativa Intervalar Exemplo 2: Considera as estatísticas amostrais da proporção de uma característica: O intervalo neste caso é: ҧ𝑝 − 𝑡𝛼 2 ො𝑝 ො𝑞 𝑛 ≤ 𝑝 ≤ ҧ𝑝 + 𝑡𝛼 2 ො𝑝 ො𝑞 𝑛 Que resulta: 𝑃 ҧ𝑝 − 𝑡𝛼 2 ො𝑝 ො𝑞 𝑛 ≤ 𝑝 ≤ ҧ𝑝 + 𝑡𝛼 2 ො𝑝 ො𝑞 𝑛 = 1 − 𝛼 ത𝑋 = Ƹ𝑝 = 𝑥 𝑛 𝑠 = Ƹ𝑝 1 − Ƹ𝑝 𝑛 = Ƹ𝑝ො𝑞 𝑛 Ƹ𝑝 - proporção observada na amostra; ො𝑞 = 1 − Ƹ𝑝 𝑛 – número de observações da amostra; 𝑡𝛼 2 - a estatística crítica pelo distribuição t-student 𝛼 – nível de significância; (1 − 𝛼) – nível de confiança Inferência Estatística Testes de Hipótese 9 Testes de Hipóteses • Características – O objetivo do teste de hipóteses é fornecer um método que permita verificar se os dados amostrais trazem evidências que apoiam ou não uma hipótese formulada. – Quando faz-se pressuposições quanto as características de uma população, ou seja, define-se sobre qual modelo de probabilidade a população se comporta, e definidos seus parâmetros. Os testes utilizados são chamados de paramétricos. – Caso não haja evidências sobre os parâmetros da população os testes realizados são chamados de Não- Paramétricos. 10 Testes de Hipóteses • Situação – Uma indústria usa, como um dos componentes das máquinas que produz, um parafuso importado, que deve satisfazer a algumas exigências. Uma dessas é a resistência à tração. Esses parafusos são fabricados por alguns países, e as especificações técnicas variam de país para país. Por exemplo, o catálogo do país A afirma que a resistência média à tração de seus parafusos é de 145 kg, com desvio padrão de 12 kg. Já para o país B, a média é de 155 kg e desvio padrão 20 kg. 11 Testes de Hipóteses • Situação (continuação...) – Um lote desses parafusos, de origem desconhecida, será leiloado a um preço muito convidativo. Para que a indústria saiba se faz ou não uma oferta, ela necessita saber qual país produziu tais parafusos. O edital do leiloeiro afirma que, pouco antes do leilão, será divulgada a resistência média x de uma amostra de 25 parafusos do lote. Qual regra de decisão deve ser usada pela indústria para dizer se os parafusos são do país A ou B? 12 Testes de Hipóteses • Situação (Regra de decisão) – Se x ≤ 150 (o ponto médio entre 145 e 155), diremos que os parafusos são do país A; caso contrário, isto é, x > 150, são do país B. 13 Testes de Hipóteses • Situação (E se...) – Suponha que, no dia do leilão, fôssemos informados de que x = 148; – de acordo com nossa regra de decisão, diríamos que os parafusos são de origem A. – Podemos estar enganados nessa conclusão? – Ou, em outras palavras, é possível que uma amostra de 25 parafusos de origem B apresente média x = 148? 14 Sim, é possível! Testes de Hipóteses • Situação (Os erros possíveis) – Podemos cometer dois tipos de erros: – Erro de tipo I: dizer que os parafusos são de A quando na realidade são de B. Isso ocorre quando uma amostra de 25 parafusos de B apresenta média x inferior ou igual a 150 kg. – Erro de tipo II: dizer que os parafusos são de B, quando na realidade eles são de A. Isso ocorre quando uma amostra de 25 parafusos de A apresenta média x superior a 150 kg. 15 Testes de Hipóteses • Situação (Hipóteses trabalhadas) – Para facilitar, vamos definir duas hipóteses: – H0: os parafusos são de origem B. Isso equivale a dizer que a resistência X de cada parafuso segue uma distribuição com média µ = 155 e desvio padrão σ = 20. – H1: os parafusos são de A. Isto é, a média µ = 145 e o desvio padrão σ = 12. 16 Testes de Hipóteses • Situação (Notação Utilizada) – Com as notações indicadas acima, a probabilidade de se cometer cada um dos erros pode ser escrita: 𝑃 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝐼 = 𝑃 ത𝑋 ∈ 𝑅𝐶 𝐻0 é 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 = 𝛼 𝑃 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝐼𝐼 = 𝑃 ത𝑋 ∉ 𝑅𝐶 𝐻1é 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 = 𝛽 17 E quais seriam esses erros? Testes de Hipóteses • Situação (Resumo do teste H0:) 18 Testes de Hipóteses • Situação (Para além da situação...) – Para cada regra de decisão adotada, isto é, se escolhermos um valor ത𝑋𝑐 em vez de 150, apenas as probabilidades α e β mudarão. – Se ത𝑋𝑐 for escolhido menor que 150, notamos que 𝛼 diminuirá e 𝛽 aumentará. Logo, deve existir um ponto em que 𝛼 seja igual a 𝛽, ou seja, uma regra de decisão em que a probabilidade de errar contra A seja a mesma que errar contra B. – Mostre que esse ponto é ത𝑋𝑐 = 148,75, e nesse caso 𝛼 = 𝛽 = 5,94%. 19 Testes de Hipóteses • Situação (Para além da situação...) – Mas também podemos fixar um dos erros, digamos α, e encontrar a regra de decisão que irá corresponder à probabilidade de erro de tipo I igual a α. 20 Exemplo: fixemos α em 5%, e vejamos qual a regra de decisão correspondente. Testes de Hipóteses • Situação (Para além da situação...) – Considerando essa regra, qual será a probabilidade do Erro Tipo II? 21 Testes de Hipóteses • Esse segundo tipo de procedimento é bastante utilizado, porque usualmente a decisão que devemos tomar não é apenas entre duas possíveis populações. • Decidir entre parafusos dos países A ou B é plausível? • Quanto países no mundo produzem parafusos? 22 Testes de Hipóteses • Adaptamos a regra para apenas uma população de interesse: • Situação: A empresa possui interesse apenas nos parafusos de origem do país B. Logo as hipóteses de interesse são: – H0 - Os Parafusos são de Origem B (μ = 155 e σ = 20) – H1- Os Parafusos não são de Origem de B (μ e σ desconhecidos). 23 Testes de Hipóteses • Outro ponto de vista... • Admitamos que não exista razão alguma para acreditarmos que a resistência média dos parafusos de B seja maior ou menor do que a de outros países. • Isso irá nos levar a duvidar que os parafusos não são de B, se a média observada for muito maior ou muito menor do que 155. • Nessa situação a hipótese alternativa passa a ser: – 𝐻1 - os parafusos não são de origem B (𝜇 ≠ 155). 24 Testes de Hipóteses • A regra de decisão fica estabelecida em relação a dois pontos ത𝑋𝑐1 e ത𝑋𝑐2. • Se ത𝑋 estiver entre ത𝑋𝑐1 e ത𝑋𝑐2, assume-se que os parafusos vieram de B, caso contrário dizemos que a origem não é de B. • Voltando a fixar 𝛼 = 5%, temos: 25 Testes de Hipóteses Teste H₀: μ = 155 vs H₁: μ ≠ 155. RC UFRJ