Slides - Ondas Eletromagnéticas No Vácuo

Centro: Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza (CCMN). Unidade: Instituto de Física. Curso: FÍSICA IV-A PLE: 2020 Ondas Eletromagnéticas no Vácuo Ondas Eletromagnéticas • Interação Eletromagnética: Equações de Maxwell; • Equação de Onda 1D: velocidade de propagação; • Equações de Maxwell no vácuo: velocidade da luz; • Onda transversal: relações entre o campo elétrico, campo magnético e o vetor número de onda. Ondas Eletromagnéticas • Interação Eletromagnética: Equações de Maxwell; • Equação de Onda 1D: velocidade de propagação; • Equações de Maxwell no vácuo: velocidade da luz; • Onda transversal: relações entre o campo elétrico, campo magnético e o vetor número de onda. Introdução: • A interação eletromagnética é essencial para entendermos a dinâmica/constituição dos elementos em nossa volta, a estrutura da matéria (+ física quântica), os processos físicos e biológicos etc; • Intensidade das interações: Forte (nuclear), 1; Eletromagnética, 10^(-2); Fraca (decaimentos), 10^(-5); Gravitacional, 10^(-38); Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria conhecida é a Interação Eletromagnética A interação eletromagnética está relacionada com uma propriedade fundamental: a carga elétrica (pode ser positiva ou negativa e é quantizada - J.J. Thompson e R.A. Millikan). Q = Ne N é um número inteiro: e é a carga fundamental: e = 1, 6021 ⇥ 10−19 C Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria conhecida é a Interação Eletromagnética A interação eletromagnética está relacionada com uma propriedade fundamental: a carga elétrica (pode ser positiva ou negativa e é quantizada - J.J. Thompson e R.A. Millikan). Q = Ne Vamos utilizar a seguinte aproximação para o valor da carga elétrica fundamental em coulomb: N é um número inteiro: e é a carga fundamental: e = 2 ⇥ 10−19C e = 1, 6021 ⇥ 10−19 C Ondas Eletromagnéticas Partículas Fundamentais: parte da constituição básica da matéria usual é formada por átomos, cuja composição é dada por elétrons (possui carga elementar negativa), prótons (possui carga elementar positiva) e nêutrons (não é carregado eletricamente). Massa do elétron: me = 9, 1 ⇥ 10−31 kg Massa do próton: mp = 1, 7 ⇥ 10−27 kg Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria conhecida é a Interação Eletromagnética Partículas Fundamentais: parte da constituição básica da matéria usual é formada por átomos, cuja composição é dada por elétrons (possui carga elementar negativa), prótons (possui carga elementar positiva) e nêutrons (não é carregado eletricamente). Massa do elétron: me = 9, 1 ⇥ 10−31 kg Massa do próton: mp = 1, 7 ⇥ 10−27 kg ! me mp ' 1 2000 Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria conhecida é a Interação Eletromagnética O estudo inicial do eletromagnetismo aborda a questão de como um dado conjunto de cargas (tratadas como partículas fonte) influenciam e perturbam a configuração e o movimento de uma dada partícula de carga q (chamada de partícula de prova): x y z Q1 Q2 Q3 q Fonte ~r ~v Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria conhecida é a Interação Eletromagnética O estudo inicial do eletromagnetismo aborda a questão de como um dado conjunto de cargas (tratadas como partículas fonte) influenciam e perturbam a configuração e o movimento de uma dada partícula de carga q (chamada de partícula de prova): x y z Q1 Q2 Q3 q Fonte ~r ~v O experimento mostra que a força sentida pela partícula de prova depende tanto de sua posição, relativa às partículas fonte, quanto de sua velocidade. Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria conhecida é a Interação Eletromagnética Q1 Q2 Q3 q Fonte ~r ~v Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria conhecida é a Interação Eletromagnética Q1 Q2 Q3 q Fonte ~r ~v 1) As partículas fonte criam um campo eletromagnético no espaço em função do tempo; ~E ~B Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria conhecida é a Interação Eletromagnética Q1 Q2 Q3 q Fonte ~r ~v 1) As partículas fonte criam um campo eletromagnético no espaço em função do tempo; 2) A partícula de prova reage ao campo eletromagnético através da Força de Lorentz. ~E ~B Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria conhecida é a Interação Eletromagnética Q1 Q2 Q3 q Fonte ~r ~v 1) As partículas fonte criam um campo eletromagnético no espaço em função do tempo; 2) A partícula de prova reage ao campo eletromagnético através da Força de Lorentz. A Força Eletromagnética (Força de Lorentz) detectada pela partícula de prova é: ~F = q h ~E(~r, t) + ~v ⇥ ~B(~r, t) i ~E ~B Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria conhecida é a Interação Eletromagnética Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERACAO entre particulas que compée a matéria conhecida € a Interacdo Eletromagnética A @ @-' F=q Er, th+ix Br. t) i C1 Qo ‘| q B : a =), N V ; 3 ¥ Campo Eletrico:| A (r,t): |= = — Mea Fonte 23 (unidade: 1 V= 1 volt = 1 joule/coulomb) Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERACAO entre particulas que compée a matéria conhecida € a Interacdo Eletromagnética A @ @-' F=q Er, th+ix Br. t) i C1 Qo ‘| q B : a =), N V ; 3 ¥ Campo Eletrico:| A (r,t): |= = — Mea Fonte 23 (unidade: 1 V= 1 volt = 1 joule/coulomb) ~ N.s N Campo Magnético: | B(r,t): |T = —— = — ampo Magnético (7, t) Ga Am (unidade: 1T= 1 tesla = 1 N/(A.m); 1 A = 1 ampere = 1C/s) Q1 Q2 Q3 ~r ~E ~B A s e q u a ç õ e s d o e l e t r o m a g n e t i s m o relacionam as configurações (posições e velocidades) das cargas fonte com os campos e l é t r i c o e m a g n é t i c o gerados por elas nos pontos do espaço como função do tempo. Ondas Eletromagnéticas Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria conhecida é a Interação Eletromagnética Interpretação: corpos elétricos, descritos pela densidade de carga e o vetor densidade de corrente elétrica, produzem campos elétrico e magnético no espaço. Os campos afetam o movimento e a configuração de outras partículas carregadas eletricamente. Como um conjunto de partículas carregadas produz os campos elétrico e magnético no espaço? Ondas Eletromagnéticas Interpretação: corpos elétricos, descritos pela densidade de carga e o vetor densidade de corrente elétrica, produzem campos elétrico e magnético no espaço. Os campos afetam o movimento e a configuração de outras partículas carregadas eletricamente. As equações do eletromagnetismo (equações de Maxwell) são a resposta para essa questão. Além disso, as quatro equações de Maxwell explicam toda a interação elétrica, magnética, eletromagnética, a óptica e a radiação eletromagnética. Como um conjunto de partículas carregadas produz os campos elétrico e magnético no espaço? Ondas Eletromagnéticas Interpretação: corpos elétricos, descritos pela densidade de carga e o vetor densidade de corrente elétrica, produzem campos elétrico e magnético no espaço. Os campos afetam o movimento e a configuração de outras partículas carregadas eletricamente. As equações do eletromagnetismo (equações de Maxwell) são a resposta para essa questão. Além disso, as quatro equações de Maxwell explicam toda a interação elétrica, magnética, eletromagnética, a óptica e a radiação eletromagnética. Como um conjunto de partículas carregadas produz os campos elétrico e magnético no espaço? A contribuição formal de Maxwell foi de corrigir a equação de Ampère com o termo de corrente de deslocamento. Ondas Eletromagnéticas Lei de Gauss para o campo elétrico: Lei de Gauss para o campo magnético: Lei de Faraday-Henry: Lei de Ampère-Maxwell: I S ~E(~r, t) • ˆn(~r)dS = Q(t) ✏0 I S ~B(~r, t) • ˆn(~r)dS = 0 I L ~E(~r, t) • ˆl(~r)dl = − d dt Z SL ~B(~r, t) • ˆn(~t)dS I L ~B(~r, t) • ˆl(~r)dl = µ0I(t) + µ0✏0 d dt Z SL ~E(~r, t) • ˆn(~r)dS Corrente de Deslocamento Ondas Eletromagnéticas As equações do eletromagnetismo na forma integral podem ser transformadas na forma diferencial através dos teoremas de Gauss (divergência) e de Stokes/Green: I S ~A(~r) • ˆuNdS = Z V ~r • ~A(~r)dV O fluxo total de um campo A sobre uma superfície fechada “S”, que engloba o volume “V" é igual à integral volumétrica do divergente do campo. Ondas Eletromagnéticas As equações do eletromagnetismo na forma integral podem ser transformadas na forma diferencial através dos teoremas de Gauss (divergência) e de Stokes/Green: I S ~A(~r) • ˆuNdS = Z V ~r • ~A(~r)dV O fluxo total de um campo A sobre uma superfície fechada “S”, que engloba o volume “V" é igual à integral volumétrica do divergente do campo. I L ~A(~r) • d~l = Z S h ~r ⇥ ~A(~r) i • ˆuNdS O fluxo do rotacional do campo A sobre uma superfície “S”, com contorno “L", é igual à integral (fechada) de linha do campo. Ondas Eletromagnéticas As Eq. de Maxwell na forma diferencial são: ~r ⇥ ~B(x, y, z, t) = µ0[ ~J(x, y, z, t) + ✏0 @ ~E @t (x, y, z, t)] ~r ⇥ ~E(x, y, z, t) = −@ ~B @t (x, y, z, t) ~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t) ✏0 ~r • ~B(x, y, z, t) = 0 O solução formal dos problemas da eletrodinâmica consiste em determinar (i) os campos elétricos e magnéticos, a partir da densidade de carga e da densidade de corrente e (ii) determinar o movimento das cargas, com a força de Lorentz, a partir dos campos elétricos e magnéticos. v e t o r D e n s i d a d e d e Corrente de deslocamento. Ondas Eletromagnéticas Ondas Eletromagnéticas • Interação Eletromagnética: Equações de Maxwell; • Equação de Onda 1D: velocidade de propagação; • Equações de Maxwell no vácuo: velocidade da luz; • Onda transversal: relações entre o campo elétrico, campo magnético e o vetor número de onda. Exemplos de propagação de onda são i) o som, ii) a vibração de uma corda tensionada e iii) ondulações em águas calmas etc Ondas Eletromagnéticas Exemplos de propagação de onda são i) o som, ii) a vibração de uma corda tensionada e iii) ondulações em águas calmas etc Para o som: quando uma pessoa fala, suas cordas vocais perturbam camadas de ar adjacentes. Essas camadas afetam outras camadas vizinhas de forma sucessiva, até agitar o ar próximo ao ouvido de outra pessoa, que irá escutar através do movimento do tímpano. Ondas Eletromagnéticas Exemplos de propagação de onda são i) o som, ii) a vibração de uma corda tensionada e iii) ondulações em águas calmas etc Para o som: quando uma pessoa fala, suas cordas vocais perturbam camadas de ar adjacentes. Essas camadas afetam outras camadas vizinhas de forma sucessiva, até agitar o ar próximo ao ouvido de outra pessoa, que irá escutar através do movimento do tímpano. Em uma corda tencionada, uma pessoa balança a corda em uma extremidade. A modulação imposta propaga-se em direção a outra extremidade. Ondas Eletromagnéticas Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas a propagação da perturbação com velocidade bem definida. Ondas Eletromagnéticas Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas a propagação da perturbação com velocidade bem definida. Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função da posição x para cada instante é dada por Y: 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 x y(x,t) Ondas Eletromagnéticas Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas a propagação da perturbação com velocidade bem definida. Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função da posição x para cada instante é dada por Y: 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 x y(x,t) No instante t=0, imagine a corda dada por y(x, 0) = f(x) Ondas Eletromagnéticas Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas a propagação da perturbação com velocidade bem definida. Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função da posição x para cada instante é dada por Y: 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 x y(x,t) No instante t=0, imagine a corda dada por y(x, 0) = f(x) Como descrever a modulação na corda se a onda se propaga no sentido positivo do eixo x? Ondas Eletromagnéticas Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função da posição x para cada instante é dada por Y: No instante t=0, imagine a corda dada por y(x, 0) = f(x) Como descrever a modulação na corda se a onda se propaga no sentido positivo do eixo x? 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 x y(x,t) y(x, t1) = f(x − l1) Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas a propagação da perturbação com velocidade bem definida. Ondas Eletromagnéticas l1 = vt1 Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função da posição x para cada instante é dada por Y: No instante t=0, imagine a corda dada por y(x, 0) = f(x) Como descrever a modulação na corda se a onda se propaga no sentido positivo do eixo x? y(x, t2) = f(x − l2) 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 x y(x,t) Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas a propagação da perturbação com velocidade bem definida. Ondas Eletromagnéticas l2 = vt2 Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função da posição x para cada instante é dada por Y: 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 x y(x,t) No instante t=0, imagine a corda dada por y(x, 0) = f(x) Como descrever a modulação na corda se a onda se propaga no sentido negativo? Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas a propagação da perturbação com velocidade bem definida. Ondas Eletromagnéticas Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função da posição x para cada instante é dada por Y: No instante t=0, imagine a corda dada por y(x, 0) = f(x) Como descrever a modulação na corda se a onda se propaga no sentido negativo? y(x, t1) = f(x + l1) 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 x y(x,t) Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas a propagação da perturbação com velocidade bem definida. Ondas Eletromagnéticas l1 = |vt1| Considere uma onda em uma corda. A altura da corda como função da posição x para cada instante é dada por Y: No instante t=0, imagine a corda dada por y(x, 0) = f(x) Como descrever a modulação na corda se a onda se propaga no sentido negativo? y(x, t2) = f(x + l2) 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 x y(x,t) Note que, em geral, a matéria não é transportada, ocorre apenas a propagação da perturbação com velocidade bem definida. Ondas Eletromagnéticas l2 = |vt2| No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga sem se deformar é representada por y(x, t) = f(x − vt) Reconhecemos v, com o sinal colocado, como a velocidade de propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo (negativo) do eixo x. Ondas Eletromagnéticas No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga sem se deformar é representada por y(x, t) = f(x − vt) Reconhecemos v, com o sinal colocado, como a velocidade de propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo (negativo) do eixo x. A dependência da função y(x,t) com x e t não é qualquer. Qual equação y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da cadeia): Ondas Eletromagnéticas No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga sem se deformar é representada por y(x, t) = f(x − vt) Reconhecemos v, com o sinal colocado, como a velocidade de propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo (negativo) do eixo x. A dependência da função y(x,t) com x e t não é qualquer. Qual equação y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da cadeia): @2y(x, t) @x2 = d2f(u) du2 Ondas Eletromagnéticas No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga sem se deformar é representada por y(x, t) = f(x − vt) Reconhecemos v, com o sinal colocado, como a velocidade de propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo (negativo) do eixo x. A dependência da função y(x,t) com x e t não é qualquer. Qual equação y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da cadeia): @2y(x, t) @x2 = d2f(u) du2 @2y(x, t) @t2 = v2 d2f(u) du2 Ondas Eletromagnéticas No caso 1D, a função espaçotemporal de uma onda que se propaga sem se deformar é representada por y(x, t) = f(x − vt) Reconhecemos v, com o sinal colocado, como a velocidade de propagação. Se v>0 (v<0), a onda se move no sentido positivo (negativo) do eixo x. A dependência da função y(x,t) com x e t não é qualquer. Qual equação y(x,t) satisfaz? Podemos trocar x-vt =u para obter (regra da cadeia): @2y(x, t) @x2 = d2f(u) du2 @2y(x, t) @t2 = v2 d2f(u) du2 @2y(x, t) @x2 = 1 v2 @2y(x, t) @t2 Equação de onda Ondas Eletromagnéticas @2y(x, t) @x2 = 1 v2 @2y(x, t) @t2 Equação de onda 1D: Dada a equação de onda, qual a dimensão e o significado físico da letra v? Ondas Eletromagnéticas @2y(x, t) @x2 = 1 v2 @2y(x, t) @t2 Equação de onda 1D: Dada a equação de onda, qual a dimensão e o significado físico da letra v? O módulo de v é, justamente, o valor da velocidade de propagação da onda! Note que a equação possui unidades corretas se e somente se v possuir unidades físicas de velocidade. Ondas Eletromagnéticas Ondas Eletromagnéticas • Interação Eletromagnética: Equações de Maxwell; • Equação de Onda 1D: velocidade de propagação; • Equações de Maxwell no vácuo: velocidade da luz; • Onda transversal: relações entre o campo elétrico, campo magnético e o vetor número de onda. Considere a variação no espaço e no tempo dos campos elétrico e magnético no vácuo. Os campos elétrico e magnético satisfazem: ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t Ondas Eletromagnéticas ⇢(~r, t) = 0 ~J(~r, t) = ~0 Considere a variação no espaço e no tempo dos campos elétrico e magnético no vácuo. Os campos elétrico e magnético satisfazem: ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t Quais são as soluções para os campos elétrico e magnético? Esse sistema admite apenas soluções identicamente nulas? Ondas Eletromagnéticas ⇢(~r, t) = 0 ~J(~r, t) = ~0 Considere a variação no espaço e no tempo dos campos elétrico e magnético no vácuo. Os campos elétrico e magnético satisfazem: ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t Quais são as soluções para os campos elétrico e magnético? Esse sistema admite apenas soluções identicamente nulas? Ondas Eletromagnéticas Existem uma infinidade de soluções não nulas para os campos elétrico e magnético no vácuo. Cada solução representa uma maneira/configuração das ondas eletromagnéticas se propagarem. ⇢(~r, t) = 0 ~J(~r, t) = ~0 Considere a variação no espaço e no tempo dos campos elétrico e magnético no vácuo. Os campos elétrico e magnético satisfazem: ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t Quais são as soluções para os campos elétrico e magnético? Esse sistema admite apenas soluções identicamente nulas? Vamos estudar algumas soluções particulares para essas quatro equações: as ondas planas e monocromáticas. Ondas Eletromagnéticas Existem uma infinidade de soluções não nulas para os campos elétrico e magnético no vácuo. Cada solução representa uma maneira/configuração das ondas eletromagnéticas se propagarem. ⇢(~r, t) = 0 ~J(~r, t) = ~0 Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum: Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum:Definições e Propriedades: nabla Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: ~r = ˆx@x + ˆy@y + ˆz@z Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum:Definições e Propriedades: nabla ~r ⇥ (~r ⇥ ~A) = ~r(~r • ~A) − (~r • ~r) ~A Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: ~r = ˆx@x + ˆy@y + ˆz@z Para isolar cada campo, tome o rotacional do rotacional: Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum:Definições e Propriedades: nabla ~r ⇥ (~r ⇥ ~A) = ~r(~r • ~A) − (~r • ~r) ~A Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: ~r = ˆx@x + ˆy@y + ˆz@z Para isolar cada campo, tome o rotacional do rotacional: ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~E ⌘ = − ⇣ ~r • ~r ⌘ ~E Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum:Definições e Propriedades: nabla ~r ⇥ (~r ⇥ ~A) = ~r(~r • ~A) − (~r • ~r) ~A Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: ~r = ˆx@x + ˆy@y + ˆz@z Para isolar cada campo, tome o rotacional do rotacional: ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~E ⌘ = − @ @t ⇣ ~r ⇥ ~B ⌘ ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~E ⌘ = − ⇣ ~r • ~r ⌘ ~E Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum:Definições e Propriedades: nabla ~r ⇥ (~r ⇥ ~A) = ~r(~r • ~A) − (~r • ~r) ~A Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: ~r = ˆx@x + ˆy@y + ˆz@z Para isolar cada campo, tome o rotacional do rotacional: ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~E ⌘ = − @ @t ⇣ ~r ⇥ ~B ⌘ ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~E ⌘ = − ⇣ ~r • ~r ⌘ ~E ⇣ ~r • ~r ⌘ = r2 ⌘ @2 x + @2 y + @2 z Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum:Definições e Propriedades: nabla ~r ⇥ (~r ⇥ ~A) = ~r(~r • ~A) − (~r • ~r) ~A Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: ~r = ˆx@x + ˆy@y + ˆz@z Para isolar cada campo, tome o rotacional do rotacional: ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~E ⌘ = − @ @t ⇣ ~r ⇥ ~B ⌘ ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~E ⌘ = − ⇣ ~r • ~r ⌘ ~E ⇣ ~r • ~r ⌘ = r2 ⌘ @2 x + @2 y + @2 z ! r2 ~E = µ0✏0@2 ~E/@t2 Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum:Definições e Propriedades: nabla ~r ⇥ (~r ⇥ ~A) = ~r(~r • ~A) − (~r • ~r) ~A Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: ~r = ˆx@x + ˆy@y + ˆz@z Para isolar cada campo, tome o rotacional do rotacional: ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~B ⌘ = − ⇣ ~r • ~r ⌘ ~B ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~B ⌘ = µ0✏0 @ @t ⇣ ~r ⇥ ~E ⌘ Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum:Definições e Propriedades: nabla ~r ⇥ (~r ⇥ ~A) = ~r(~r • ~A) − (~r • ~r) ~A Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: ~r = ˆx@x + ˆy@y + ˆz@z Para isolar cada campo, tome o rotacional do rotacional: ⇣ ~r • ~r ⌘ = r2 ⌘ @2 x + @2 y + @2 z ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~B ⌘ = − ⇣ ~r • ~r ⌘ ~B ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~B ⌘ = µ0✏0 @ @t ⇣ ~r ⇥ ~E ⌘ Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum:Definições e Propriedades: nabla ~r ⇥ (~r ⇥ ~A) = ~r(~r • ~A) − (~r • ~r) ~A Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: ~r = ˆx@x + ˆy@y + ˆz@z Para isolar cada campo, tome o rotacional do rotacional: ⇣ ~r • ~r ⌘ = r2 ⌘ @2 x + @2 y + @2 z ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~B ⌘ = − ⇣ ~r • ~r ⌘ ~B ~r ⇥ ⇣ ~r ⇥ ~B ⌘ = µ0✏0 @ @t ⇣ ~r ⇥ ~E ⌘ ! r2 ~B = µ0✏0@2 ~B/@t2 Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum:Definições e Propriedades: nabla Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: ~r = ˆx@x + ˆy@y + ˆz@z Equações de onda no espaço 3D: ✓ @2 @x2 + @2 @y2 + @2 @z2 ◆ ~E = µ0✏0 @2 @t2 ~E ✓ @2 @x2 + @2 @y2 + @2 @z2 ◆ ~B = µ0✏0 @2 @t2 ~B Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum:Definições e Propriedades: nabla Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: ~r = ˆx@x + ˆy@y + ˆz@z Equações de onda no espaço 3D: ✓ @2 @x2 + @2 @y2 + @2 @z2 ◆ ~E = µ0✏0 @2 @t2 ~E ✓ @2 @x2 + @2 @y2 + @2 @z2 ◆ ~B = µ0✏0 @2 @t2 ~B Portanto, os campos elétrico e magnético satisfazem a uma equação de onda no espaço tridimensional. Existe uma infinidade de formas possíveis para os campos eletromagnéticos se propagarem. As soluções compartilham certas características em comum:Definições e Propriedades: nabla Ondas Eletromagnéticas ~r • ~E = 0 ~r • ~B = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t As Eqs. De Maxwell no vácuo: ~r = ˆx@x + ˆy@y + ˆz@z Equações de onda no espaço 3D: ✓ @2 @x2 + @2 @y2 + @2 @z2 ◆ ~E = µ0✏0 @2 @t2 ~E ✓ @2 @x2 + @2 @y2 + @2 @z2 ◆ ~B = µ0✏0 @2 @t2 ~B Velocidade de propagação: Velocidade da luz no vácuo µ0✏0 = 1 c2 ! c = 1 pµ0✏ ' 3 ⇥ 108 m s Ondas Eletromagnéticas • Interação Eletromagnética: Equações de Maxwell; • Equação de Onda 1D: velocidade de propagação; • Equações de Maxwell no vácuo: velocidade da luz; • Onda transversal: relações entre o campo elétrico, campo magnético e o vetor número de onda. Para uma onda eletromagnética plana e monocromática (frequência bem definida) que se propaga no vácuo na direção do vetor número de onda valem: ~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r − !t] ~k • ~r = kxx + kyy + kzz ~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r − !t] Ondas Eletromagnéticas ~k = kxˆx + kyˆy + kzˆz Para uma onda eletromagnética plana e monocromática (frequência bem definida) que se propaga no vácuo na direção do vetor número de onda valem: ~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r − !t] ~k • ~r = kxx + kyy + kzz ~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r − !t] Note que nem toda solução da Eq. de onda é uma solução das eqs. de Maxwell. Os vetores constantes E0, B0 e k devem satisfazer: Ondas Eletromagnéticas ~k = kxˆx + kyˆy + kzˆz Para uma onda eletromagnética plana e monocromática (frequência bem definida) que se propaga no vácuo na direção do vetor número de onda valem: ~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r − !t] ~k • ~r = kxx + kyy + kzz ~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r − !t] Note que nem toda solução da Eq. de onda é uma solução das eqs. de Maxwell. Os vetores constantes E0, B0 e k devem satisfazer: ~r • ~E = 0 Ondas Eletromagnéticas ~k = kxˆx + kyˆy + kzˆz Para uma onda eletromagnética plana e monocromática (frequência bem definida) que se propaga no vácuo na direção do vetor número de onda valem: ~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r − !t] ~k • ~r = kxx + kyy + kzz ~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r − !t] Note que nem toda solução da Eq. de onda é uma solução das eqs. de Maxwell. Os vetores constantes E0, B0 e k devem satisfazer: ~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0 Ondas Eletromagnéticas ~k = kxˆx + kyˆy + kzˆz Para uma onda eletromagnética plana e monocromática (frequência bem definida) que se propaga no vácuo na direção do vetor número de onda valem: ~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r − !t] ~k • ~r = kxx + kyy + kzz ~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r − !t] Note que nem toda solução da Eq. de onda é uma solução das eqs. de Maxwell. Os vetores constantes E0, B0 e k devem satisfazer: ~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0 ~r • ~B = 0 Ondas Eletromagnéticas ~k = kxˆx + kyˆy + kzˆz Para uma onda eletromagnética plana e monocromática (frequência bem definida) que se propaga no vácuo na direção do vetor número de onda valem: ~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r − !t] ~k • ~r = kxx + kyy + kzz ~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r − !t] Note que nem toda solução da Eq. de onda é uma solução das eqs. de Maxwell. Os vetores constantes E0, B0 e k devem satisfazer: ~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0 ~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0 Ondas Eletromagnéticas ~k = kxˆx + kyˆy + kzˆz Para uma onda eletromagnética plana e monocromática (frequência bem definida) que se propaga no vácuo na direção do vetor número de onda valem: ~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r − !t] ~k • ~r = kxx + kyy + kzz ~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r − !t] Note que nem toda solução da Eq. de onda é uma solução das eqs. de Maxwell. Os vetores constantes E0, B0 e k devem satisfazer: ~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0 ~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t Ondas Eletromagnéticas ~k = kxˆx + kyˆy + kzˆz Para uma onda eletromagnética plana e monocromática (frequência bem definida) que se propaga no vácuo na direção do vetor número de onda valem: ~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r − !t] ~k • ~r = kxx + kyy + kzz ~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r − !t] Note que nem toda solução da Eq. de onda é uma solução das eqs. de Maxwell. Os vetores constantes E0, B0 e k devem satisfazer: ~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0 ~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0 Ondas Eletromagnéticas ~k = kxˆx + kyˆy + kzˆz Para uma onda eletromagnética plana e monocromática (frequência bem definida) que se propaga no vácuo na direção do vetor número de onda valem: ~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r − !t] ~k • ~r = kxx + kyy + kzz ~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r − !t] Note que nem toda solução da Eq. de onda é uma solução das eqs. de Maxwell. Os vetores constantes E0, B0 e k devem satisfazer: ~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0 ~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0 ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t Ondas Eletromagnéticas ~k = kxˆx + kyˆy + kzˆz Para uma onda eletromagnética plana e monocromática (frequência bem definida) que se propaga no vácuo na direção do vetor número de onda valem: ~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r − !t] ~k • ~r = kxx + kyy + kzz ~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r − !t] Note que nem toda solução da Eq. de onda é uma solução das eqs. de Maxwell. Os vetores constantes E0, B0 e k devem satisfazer: ~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0 ~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0 ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t! ~k ⇥ ~B0 = − ! c2 ~E0 Ondas Eletromagnéticas ~k = kxˆx + kyˆy + kzˆz Para uma onda eletromagnética plana e monocromática (frequência bem definida) que se propaga no vácuo na direção do vetor número de onda valem: ~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r − !t] ~k • ~r = kxx + kyy + kzz ~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r − !t] Note que nem toda solução da Eq. de onda é uma solução das eqs. de Maxwell. Os vetores constantes E0, B0 e k devem satisfazer: ~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0 ~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0 ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t! ~k ⇥ ~B0 = − ! c2 ~E0 Os vetores k, E e B são perpendiculares entre si e, no caso 3D: Ondas Eletromagnéticas ~k = kxˆx + kyˆy + kzˆz Para uma onda eletromagnética plana e monocromática (frequência bem definida) que se propaga no vácuo na direção do vetor número de onda valem: ~E(~r, t) = ~E0sen[~k • ~r − !t] ~k • ~r = kxx + kyy + kzz ~B(~r, t) = ~B0sen[~k • ~r − !t] Note que nem toda solução da Eq. de onda é uma solução das eqs. de Maxwell. Os vetores constantes E0, B0 e k devem satisfazer: ~r • ~E = 0 ! ~E0 • ~k = 0 ~r • ~B = 0 ! ~B0 • ~k = 0 ~r ⇥ ~E = −@ ~B/@t ! ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0 ~r ⇥ ~B = µ0✏0@ ~E/@t! ~k ⇥ ~B0 = − ! c2 ~E0 Os vetores k, E e B são perpendiculares entre si e, no caso 3D: k = q k2x + k2y + k2z = ! c Ondas Eletromagnéticas ~k = kxˆx + kyˆy + kzˆz Ondas Eletromagnéticas Resumo das propriedades das ondas eletromagnéticas planas e monocromáticas (linearmente polarizadas): • A onda eletromagnética é transversal. Ambos E e B são perpendiculares à direção de propagação, e entre si; Ondas Eletromagnéticas Resumo das propriedades das ondas eletromagnéticas planas e monocromáticas (linearmente polarizadas): • A onda eletromagnética é transversal. Ambos E e B são perpendiculares à direção de propagação, e entre si; • Razão bem definida entre os módulos de E0 e B0: E=cB. Note que os vetores E0, B0 podem ser determinados com as expressões; ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0 ~k ⇥ ~B0 = − ! c2 ~E0 Ondas Eletromagnéticas Resumo das propriedades das ondas eletromagnéticas planas e monocromáticas (linearmente polarizadas): • A onda eletromagnética é transversal. Ambos E e B são perpendiculares à direção de propagação, e entre si; • Razão bem definida entre os módulos de E0 e B0: E=cB. Note que os vetores E0, B0 podem ser determinados com as expressões; • A onda eletromagnética viaja no vácuo com velocidade constante e bem definida: a velocidade da luz -> c; ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0 ~k ⇥ ~B0 = − ! c2 ~E0 Ondas Eletromagnéticas Resumo das propriedades das ondas eletromagnéticas planas e monocromáticas (linearmente polarizadas): • A onda eletromagnética é transversal. Ambos E e B são perpendiculares à direção de propagação, e entre si; • Razão bem definida entre os módulos de E0 e B0: E=cB. Note que os vetores E0, B0 podem ser determinados com as expressões; • A onda eletromagnética viaja no vácuo com velocidade constante e bem definida: a velocidade da luz -> c; • Ondas eletromagnéticas, ao contrário de ondas sonoras, não precisam de um meio material para se propagarem. ~k ⇥ ~E0 = ! ~B0 ~k ⇥ ~B0 = − ! c2 ~E0 Ondas Eletromagnéticas Resumo das propriedades das ondas eletromagnéticas planas e monocromáticas (linearmente polarizadas): Ondas Eletromagnéticas Regra da Mão direita: Uma regra que facilita a determinação da direção de propagação da onda em termos dos campos elétrico e magnético é obtida com a construção: Uma onda plana ocupa todo o espaço. Por isso, ela é uma idealização. A onda plana serve como uma primeira aproximação para algumas situações reais, onde o observador está afastado da fonte de radiação, como se mostra a seguir: Ondas Eletromagnéticas Uma onda plana ocupa todo o espaço. Por isso, ela é uma idealização. A onda plana serve como uma primeira aproximação para algumas situações reais, onde o observador está afastado da fonte de radiação, como se mostra a seguir: Ondas Eletromagnéticas Uma onda plana senoidal possui o "comprimento de onda” ou a “frequência natural” de oscilação bem definidos e é dada por: Ep(x, t) = E sen[k(x − ct)] Bp(x, t) = B sen[k(x − ct)] E = cB Qual a interpretação física de cada termo? Ondas Eletromagnéticas Uma onda plana senoidal possui o "comprimento de onda” ou a “frequência natural” de oscilação bem definidos e é dada por: Ep(x, t) = E sen[k(x − ct)] Bp(x, t) = B sen[k(x − ct)] E = cB Qual a interpretação física de cada termo? Note que a constante k pode ser introduzida, primeiramente, para deixar o argumento da função seno sem unidades físicas. Ondas Eletromagnéticas Uma onda plana senoidal possui o "comprimento de onda” ou a “frequência natural” de oscilação bem definidos e é dada por: Ep(x, t) = E sen[k(x − ct)] Bp(x, t) = B sen[k(x − ct)] E = cB Qual a interpretação física de cada termo? Note que a constante k pode ser introduzida, primeiramente, para deixar o argumento da função seno sem unidades físicas. k é chamado, nesse caso unidimensional, de "número de onda" da onda eletromagnética. A sua unidade física é rad/metro. Ondas Eletromagnéticas Num dado instante de tempo, a forma espacial de uma onda que se propaga na direção +x: Ondas Eletromagnéticas Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem definido e é dada por: Ep(x, t) = E sen[k(x − ct)] Bp(x, t) = B sen[k(x − ct)] Qual a interpretação física das constantes E e B? Ondas Eletromagnéticas Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem definido e é dada por: Ep(x, t) = E sen[k(x − ct)] Bp(x, t) = B sen[k(x − ct)] Qual a interpretação física das constantes E e B? −1  sen[k(x − ct)]  1 Ondas Eletromagnéticas Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem definido e é dada por: Ep(x, t) = E sen[k(x − ct)] Bp(x, t) = B sen[k(x − ct)] Qual a interpretação física das constantes E e B? −1  sen[k(x − ct)]  1 ! Portanto, a constante E é a amplitude do campo elétrico. Usualmente é definida como um número positivo e fornece os valores máximos e mínimos para o campo. Idem para o valor B. Ondas Eletromagnéticas Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem definido e é dada por: Ep(x, t) = E sen[k(x − ct)] Bp(x, t) = B sen[k(x − ct)] Qual a interpretação física para o número de onda k? Ep(x + 2⇡ k , t) = Esen[k(x − ct) + 2⇡] = Ep(x, t) O número de onda, portanto, é inversamente proporcional ao comprimento de onda, lambda, da onda: λ = 2⇡ k Ondas Eletromagnéticas Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem definido e é dada por: Ep(x, t) = E sen[k(x − ct)] Bp(x, t) = B sen[k(x − ct)] Qual a interpretação física do termo kc? Ep(x, t + 2⇡ ck ) = Esen[k(x − ct) − 2⇡] = Ep(x, t) Ondas Eletromagnéticas Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem definido e é dada por: Ep(x, t) = E sen[k(x − ct)] Bp(x, t) = B sen[k(x − ct)] Qual a interpretação física do termo kc? Ep(x, t + 2⇡ ck ) = Esen[k(x − ct) − 2⇡] = Ep(x, t) Portanto, o período de oscilação da onda eletromagnética é T = 2⇡ ck = λ c Ondas Eletromagnéticas Uma onda plana senoidal possui um comprimento de onda bem definido e é dada por: Ep(x, t) = E sen[k(x − ct)] Bp(x, t) = B sen[k(x − ct)] As definições de frequência natural f e frequência angular, omega, são: f = 1 T ! = 2⇡f Ondas Eletromagnéticas Note que para uma onda senoidal que se propaga na direção de -x, temos: E = −cB ~E(~r, t) = Esen[kx + !t]ˆj ~B(~r, t) = Bsen[kx + !t]ˆk C o n f o r m e m o s t r a d o anteriormente, a relação entre E e B é Ondas Eletromagnéticas Note que para uma onda senoidal que se propaga na direção de -x, temos: E = −cB ~E(~r, t) = Esen[kx + !t]ˆj ~B(~r, t) = Bsen[kx + !t]ˆk C o n f o r m e m o s t r a d o anteriormente, a relação entre E e B é É comum escrever os campos em função das amplitudes: ~E(~r, t) = Esen[kx + !t]ˆj ~B(~r, t) = (E/c)sen[kx + !t − ⇡]ˆk Ondas Eletromagnéticas As relações ente comprimento de onda, frequência angular, período, número de onda e velocidade de propagação são: λf = c ! k = c Ep(x, t) = Esen[k(x − ct)] Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas: Ondas Eletromagnéticas As relações ente comprimento de onda, frequência angular, período, número de onda e velocidade de propagação são: λf = c ! k = c Ep(x, t) = Esen[k(x − ct)] = Esen[kx − !t] Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas: Ondas Eletromagnéticas As relações ente comprimento de onda, frequência angular, período, número de onda e velocidade de propagação são: λf = c ! k = c Ep(x, t) = Esen[k(x − ct)] = Esen[kx − !t] = Esen[2⇡(x λ − t T )] Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas: Ondas Eletromagnéticas As relações ente comprimento de onda, frequência angular, período, número de onda e velocidade de propagação são: λf = c ! k = c Ep(x, t) = Esen[k(x − ct)] = Esen[kx − !t] = Esen[2⇡(x λ − t T )] = Esen[!(x c − t)] Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas: Ondas Eletromagnéticas As relações ente comprimento de onda, frequência angular, período, número de onda e velocidade de propagação são: λf = c ! k = c Para uma onda propagando-se no vácuo, podemos definir o comprimento de onda, ou a frequência da radiação através do espectro eletromagnético da onda Ep(x, t) = Esen[k(x − ct)] = Esen[kx − !t] = Esen[2⇡(x λ − t T )] = Esen[!(x c − t)] Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas: Ondas Eletromagnéticas As relações ente comprimento de onda, frequência angular, período, número de onda e velocidade de propagação são: λf = c ! k = c Para uma onda propagando-se no vácuo, podemos definir o comprimento de onda, ou a frequência da radiação através do espectro eletromagnético da onda Ep(x, t) = Esen[k(x − ct)] = Esen[kx − !t] = Esen[2⇡(x λ − t T )] = Esen[!(x c − t)] Podemos escrever uma onda plana senoidal de várias formas: Ondas Eletromagnéticas