Prova Substitutiva - Física 3 - 2023-2

Centro de Ciências da Natureza Física III Nome completo e matrícula:__________________________________________________ Prova substitutiva INSTRUÇÕES: 1) Poderá utilizar qualquer livro para consulta. 2) NÃO PODERÃO UTILIZAR NOTAS DE AULA, XEROX, NEM RESOLUÇÕES PARA CONSULTA, APENAS LIVROS. 3) Não serão aceitas respostas sem as devidas justificativas. 4) APENAS A RESPOSTA, SERÁ ATRIBUIDA NOTA ZERO AO PROBLEMA. 5) Quem for pego colando terá nota zero. 1) Um comprimento L de fio conduz uma corrente i. Mostre que se o fio é deformado na forma de uma bobina circular, o torque máximo em um determinado campo magnético se desenvolve quando a bobina tem somente uma volta e a intensidade do torque máximo é 𝜏 = 1 4𝜋 𝐿2𝑖𝐵 2) A figura mostra um fio longo conduzindo uma corrente i1. A espira retangular conduz uma corrente i2. Calcule a força resultante agindo sobre a espira. Suponha a=1,10 cm, b=9,20 cm, L=32,3 cm, i1=28,6 A e i2=21,8 A. 3) A densidade de corrente dentro de um fio cilíndrico, longo e sólido de raio a está na direção do eixo e varia linearmente com a distância radial r ao eixo de acordo com j=j0r/a. Determine o campo magnético dentro do fio. Expresse a sua resposta em termos da corrente i conduzida pelo fio. 4) Um campo magnético uniforme 𝐵⃗ varia a sua intensidade a uma taxa constante 𝑑𝐵 𝑑𝑡 ⁄ . Uma massa m de cobre é estirada em forma de fio de raio r e dobrado em forma de espira de raio R. Mostre que a corrente induzida na espira não depende do diâmetro do fio ou do diâmetro da espira e que, supondo que 𝐵⃗ é perpendicular à espira, é dada por 𝑖 = 𝑚 4𝜋𝜌𝛿 𝑑𝐵 𝑑𝑡, onde 𝜌 e 𝛿 são, respectivamente, a resistividade e a densidade do cobre. 1) Sabemos que o torque sobre uma bobina e \vec{\tau} = N\vec{u} \times \vec{B} . O momento magnético é \mu = i A = i \pi r^2 , onde r = \frac{L}{2 \pi N} é o raio da espira . Logo, o torque máximo e \tau = N \mu B \sin \frac{\pi}{2} = \frac{i \pi L^2 B}{4 \pi^2 N} . \boxed{\tau = \frac{i L^2 B}{4 \pi}} Se N = 1 , temos o maior valor para 2) O campo devido ao fio está entrando na página . As forças nos lados verticais se cancelam, e portanto precisamos calcular apenas as forças nos lados horizontais. \vec{F}_1 |\vec{F}_2| = |\vec{F}_4| \vec{F}_1 = i_2 L B \hat{y} , onde B = \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi a} , logo \vec{F}_1 = \frac{i_1 i_2 L \mu_0 \hat{y}}{2 \pi a} = \frac{28,6 \cdot 21,8 \cdot 0,323 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7} \hat{y}}{2 \pi \cdot 0,011} \vec{F}_1 = 3,66 \cdot 10^{-3} N Agora, \vec{F}_2 = - \frac{i_1 i_2 L \mu_0 \hat{y}}{2 \pi (a+b)} = - \frac{28,6 \cdot 21,8 \cdot 0,323 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7} \hat{y}}{2 \pi \cdot 0,103} \vec{F}_2 = 3,91 \cdot 10^{-4} N \hat{y} Logo, \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 3,27 \cdot 10^{-3} N \hat{y}. 3) Vamos usar a Lei de Ampère. Seja o laço amperiano uma circunferência de raio r, coaxial ao eixo do cilindro. Temos \oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = \mu_0 i_{int} , com i_{int} = \int \vec{J} \cdot d \vec{A} = 2 \pi \int_0^r \frac{j_0}{a} r^2 dr = \frac{2 \pi j_0 r^3}{3a} . Temos B 2 \pi \pi = \frac{2 \pi j_0 r^3 \mu_0}{3a} \Rightarrow \vec{B} = \frac{\mu_0 j_0 r^2}{3a} \hat{\phi} . Mas, sabendo que i = \int_0^a \vec{J} \cdot d \vec{A} = 2 \pi \int_0^a \frac{j_0}{a} r^2 dr , ou \Rightarrow i = \frac{2 \pi j_0 a^2}{3} e j_0 = \frac{3i}{2 \pi a^2} . Com isso, \boxed{\vec{B} = \frac{\mu_0 i r^2}{2 \pi a^3} \hat{\phi}} 4) A resistencia do fio e' R' = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho 2 \pi R}{\pi r^2} . A corrente induzida e' i = \frac{1}{R'} \frac{d \Phi}{dt} = \frac{\pi R^2}{R'} \frac{d B}{dt} i = \frac{\pi^2 R r^2}{\rho 2 \pi R} \frac{d B}{dt} . A densidade e' \delta = \frac{m}{\nu} = \frac{m}{\pi r^2 2 \pi R} Logo, \pi^2 R r^2 = \frac{m}{2 \delta} \quad e \quad \boxed{i = \frac{m}{4 \pi \rho \delta} \frac{d B}{dt}}