Lista 6 - Campo Magnético e Força Magnética 2020-1

F´ısica III-A - 2020/1 Lista 6: Campo Magn´etico e For¸ca Magn´etica 1. (F) Sobre a for¸ca magn´etica, responda: (a) Uma part´ıcula carregada pode se mover em uma regi˜ao de campo magn´etico uniforme sem sentir nenhuma for¸ca? Se sim, como? (b) Se a for¸ca magn´etica n˜ao realiza trabalho no deslocamento de uma part´ıcula carregada, de que forma ela afeta seu movimento? Cite outras for¸cas vistas no curso de Mecˆanica que se comportam de forma similar. 2. (F) Uma part´ıcula penetra com velocidade ⃗v em uma regi˜ao de campos el´etrico ⃗E e magn´etico ⃗B uniformes. Mostre que, para a part´ıcula se deslocar em movimento retil´ıneo uniforme nesta regi˜ao, os campos ⃗E e ⃗B e a velocidade ⃗v devem satisfazer a rela¸c˜ao ⃗E = −⃗v× ⃗B, o que generaliza o resultado visto em aula para o seletor de velocidades. A velocidade precisa ser necessariamente perpendicular ao campo magn´etico para que essa rela¸c˜ao seja satisfeita? 3. (F) Quatro part´ıculas entram com a mesma velocidade inicial ⃗v0 em uma regi˜ao de campo magn´etico uniforme ⃗B: um pr´oton, um nˆeutron, um el´etron e uma part´ıcula alfa (formada por dois pr´otons e dois nˆeutrons ligados). As poss´ıveis trajet´orias dessas part´ıculas s˜ao mostradas na figura abaixo. Identifique as trajet´orias associadas a cada part´ıcula 4. (M) Uma part´ıcula de massa m e carga −q (q > 0) penetra com velocidade inicial ⃗v = vxˆx + vy ˆy (vx, vy > 0) em uma regi˜ao de campo magn´etico uniforme ⃗B = Bˆy (B > 0). (a) Determine a for¸ca magn´etica (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido) que atua sobre a part´ıcula no instante inicial. (b) Mostre que o movimento da part´ıcula nessa regi˜ao ´e helicoidal e identifique o eixo da h´elice. (c) Determine o raio e o per´ıodo de revolu¸c˜ao do movimento circular da part´ıcula no plano perpendicular ao eixo da h´elice. (d) Determine o passo da h´elice, isto ´e, a distˆancia percorrida ao longo do eixo da h´elice durante um per´ıodo de revolu¸c˜ao. (e) Qual ´e o sentido de rota¸c˜ao da part´ıcula como visto por um observador que a vˆe se aproximando dele? 5. (M) Considere mais uma vez o modelo cl´assico do ´atomo de Hidrogˆenio discutido anteriormente. Neste modelo, o el´etron (carga −e e massa me) descreve um movimento circular uniforme de raio a0 e velocidade escalar v em torno do pr´oton. (a) Determine o momento de dipolo magn´etico (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido) associado ao movimento do el´etron em torno do pr´oton. (b) Determine a raz˜ao entre as intensidades do momento de dipolo magn´etico e o momento angular orbital do el´etron. Essa raz˜ao ´e conhecida como raz˜ao giromagn´etica. 1 6. (M) Em uma variedade de espectrˆometro de massa, part´ıculas de carga q e massa m s˜ao inicialmente aceleradas por uma diferen¸ca de potencial V e depois entram em uma regi˜ao de campo magn´etico uniforme de intensidade B e dire¸c˜ao perpendicular `a velocidade. Pela a¸c˜ao da for¸ca magn´etica, elas descrevem uma trajet´oria circular at´e atingir um anteparo, onde o raio R da trajet´oria ´e determinado. (a) Determine a velocidade das part´ıculas ao entrarem na regi˜ao de campo magn´etico, supondo que elas partem do repouso. (b) Determine a massa m de uma part´ıcula em termos de B, V , R e q. (c) Considere um feixe formado por uma mistura de ´ıons 12C+ e 14C+. Determine a raz˜ao entre os raios de suas trajet´orias na regi˜ao de campo magn´etico. 7. (F) A figura abaixo mostra quatro fios finos e condutores, I, II, III e IV , que transportam correntes esta- cion´arias de mesma intensidade do ponto A ao ponto B. Eles est˜ao completamente imersos em um mesmo campo magn´etico constante que aponta para cima, como indicado pelas setas. Seja Fi o m´odulo da for¸ca magn´etica resultante sobre o fio i (i = I, II, III, IV ). Ordene esses m´odulos do menor para o maior. 8. (M) Um trecho de fio condutor ´e formado por dois segmentos retil´ıneos, cada um com comprimento L e ambos paralelos ao eixo Y de um sistema de coordenadas, e um trecho semicircular de raio a contido no plano XZ, como mostrado na figura abaixo. Esse fio ´e atravessado por uma corrente estacion´aria de intensidade I e est´a imerso em uma regi˜ao de campo magn´etico constante ⃗B = Bˆy, onde B > 0. (a) Determine a for¸ca magn´etica resultante sobre este trecho de fio (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido). (b) Suponha agora que o campo magn´etico seja dado por ⃗B = Bˆx, onde B > 0. Determine a for¸ca magn´etica resultante nesta nova situa¸c˜ao. 9. (M) Uma barra met´alica de massa M e comprimento L ´e posicionada sobre um plano inclinado de um ˆangulo θ com rela¸c˜ao `a horizontal, como mostrado na figura abaixo. Considere ainda que o atrito entre a barra e o plano ´e desprez´ıvel. O sistema est´a imerso em uma regi˜ao de campo magn´etico uniforme ⃗B e sentido vertical para cima, contr´ario ao do campo gravitacional da Terra. Para impedir que a barra deslize sobre o plano, uma bateria ´e conectada `as suas extremidades. 2 (a) Determine a intensidade e o sentido da corrente que deve atravessar a barra para mantˆe-la em equil´ıbrio sobre o plano. (b) Determine a intensidade da for¸ca que o plano exerce sobre a barra quando ela est´a em equil´ıbrio. 10. (M) Uma espira condutora retangular de lados a e b ´e posicionada sobre um sistema de coordenadas como mostrado na figura abaixo. Um de seus lados est´a sobre o eixo Z e o seu plano forma um ˆangulo θ com o plano XZ. Ela transporta uma corrente estacion´aria de intensidade I, no sentido indicado, e encontra-se sob a a¸c˜ao de um campo magn´etico constante ⃗B = B0y ˆy (B0 > 0), tamb´em indicado na figura. (a) Determine o vetor momento de dipolo magn´etico da espira na configura¸c˜ao indicada na figura. (b) Determine o vetor torque que o campo exerce sobre a espira na configura¸c˜ao indicada na figura. (c) Determine o sentido de rota¸c˜ao da espira produzida pelo torque acima. (d) Indique as posi¸c˜oes de equil´ıbrio est´avel e inst´avel da espira. (e) O torque produzido pelas for¸cas magn´eticas realiza trabalho durante a rota¸c˜ao da espira? Discuta. 11. (D) Um im˜a permamente em forma de barra ´e posicionado abaixo de um anel circular de raio r, como mostrado na figura abaixo. Eles s˜ao posicionados de forma que seus eixos s˜ao coincidentes, o que faz com que o campo magn´etico n˜ao uniforme produzido pelo im˜a tenha m´odulo B constante sobre o anel e sua dire¸c˜ao forme sempre um ˆangulo θ com a dire¸c˜ao vertical, como indicado. O anel ´e atravessado por uma corrente estacion´aria de intensidade I, no sentido indicado. (a) Determine o vetor for¸ca magn´etica resultante que o im˜a exerce sobre o anel nessa situa¸c˜ao. (b) Expresse o resultado em termos do vetor momento de dipolo magn´etico do anel e interprete-o em termos da linguagem de polos magn´eticos. 3 12. (D - Efeito Hall) Uma fita de largura d ´e formada por um material condutor com n portadores de carga q > 0 por unidade de volume. Ela tem uma se¸c˜ao transversal constante de ´area A e ´e atravessada por uma corrente estacion´aria de intensidade I ao longo de seu comprimento, como mostrado na figura abaixo. Al´em disso, ela est´a imersa em um campo magn´etico uniforme de intensidade B que aponta no sentido positivo do eixo Y , como indicado. (a) Determine a velocidade de arraste dos portadores (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido). (b) Determine a intensidade da for¸ca magn´etica sobre um portador que se desloca com a velocidade determinada acima. (c) A for¸ca magn´etica promover´a uma deflex˜ao dos portadores, levando a um ac´umulo de cargas nas bordas da fita. Indique os sinais das cargas acumuladas em cada borda. (d) Esse ac´umulo de cargas produz um campo el´etrico no interior da fita que atuar´a contra a deflex˜ao dos portadores. Determine este campo (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido) quando o sistema entra em equil´ıbrio, ou seja, quando n˜ao h´a mais deflex˜ao dos portadores. (e) Determine a diferen¸ca de potencial el´etrico entre as bordas quando o sistema entra em equil´ıbrio. (f) Determine a magnetoresistˆencia do sistema, isto ´e, a raz˜ao entre a voltagem transversal determinada acima e a corrente longitudinal I. (g) O que mudaria nas respostas dos itens anteriores se os portadores de carga tivessem carga negativa? 4 13. (D) Considere uma fita retangular, feita de cobre, por onde passa uma corrente estacion´aria de intensidade i com o sentido indicado na figura abaixo. A fita est´a sujeita `a a¸c˜ao de um campo magn´etico constante ⃗B0 que aponta para fora do plano da fita. Considere os pontos A, B e C indicados na figura. Sabendo que os portadores de carga no cobre s˜ao os el´etrons, ordene os potenciais el´etricos nesses pontos, dados por VA, VB e VC, do maior para o menor. 5