Prova Bioestatística Farmácia UFRJ - Análise Probabilidade e Estatística Descritiva

Exame de Bioestatística Farmácia Instituto de Matemática UFRJ Prof Nei Rocha 29 de novembro de 2023 Duração 2 horas Leia atentamente os enunciados antes de responder Boa Prova 1a Questão Uma instalação industrial dispõe de um sistema de segurança defeituoso o alarme dispara com probabilidade 090 quando há incêndio e dispara com probabilidade 015 mesmo quando não há incêndio A probabilidade de que ocorra um incêndio neste tipo de instalação é de 005 a Qual a probabilidade de o alarme soar num dado momento Solução Sejam os eventos A o alarme disparae I o incêndio ocorre Assim temos PI 0 05 PA j I 0 90 e PA j Ic 0 15 Desejamos PA PIPA j I PIcPA j Ic 0 050 90 0 950 15 0 1875 PA 18 75 b Sabendo que o alarme está soando no Corpo de Bombeiros qual é a probabilidade de que um incêndio esteja realmente ocorrendo Solução Desejamos agora PI j A PIPA j I PIPA j I PIcPA j Ic 0 050 90 0 050 90 0 950 15 PI j A 6 25 2a Questão Suponha que a estatura de recémnascidos do sexo masculino é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal com média 50 cm e desvio padrão 2 50 cm Pedese a Calcule a probabilidade de um recémnascido do sexo masculino ter estatura inferior a 48 cm Solução Seja X a altura de um recémnascido escolhido aleatoriamente Então X aprox N 50 2 52 Desejamos PX 48 Mas sabemos que Z X 50 2 5 aprox N 0 1 Assim P X 48 P X 502 5 48 502 5 PZ 0 8 0 2119 ou seja PX 48 21 19 b Calcule a probabilidade de um recémnascido do sexo masculino ter estatura entre 47 cm e 52 cm Solução Desejamos P47 X 52 Mas sabemos que Z X 50 2 5 aprox N 0 1 Assim P47 X 52 P475025 X5025 525025 P1 2 Z 0 8 PZ 0 8 PZ 1 2 0 7881 0 1151 0 673 ou seja P47 X 52 67 3 c Se quatro bebês recémnascidos são selecionados aleatoriamente qual a probabilidade de que a média de suas estaturas esteja entre 49 cm e 52 cm Solução Sejam Xi i 1 2 3 4 as alturas dos recémnascidos escolhidos aleatoriamente Então Xi aprox N 50 2 52 Desejamos P49 Xbar4 52 Mas sabemos que Xbar4 aprox N50 2 524assim Z Xbar4 50 sqrt2524 Xbar4 50 1 25 aprox N 0 1 Portanto P49 Xbar4 52 P 49 50 1 25 Xbar4 50 1 25 52 501 25 P0 8 Z 1 6 PZ 1 6 PZ 0 8 0 9452 0 2119 0 7333 Assim P49 Xbar4 52 0 7333 73 33 3a Questão Numa certa população 30 das pessoas têm sangue do tipo B Uma amostra aleatória de 400 indivíduos dessa população é retirada e os tipos sanguíneos são averiguados a Qual a média e o desvio padrão de indivíduos na amostra com o sangue tipo B Solução Seja X o número de pessoas com sangue do tipo B na amostra de 400 indivíduos A variável X tem distribuição Binomial com parâmetros n 400 e p 0 3 Sabemos que a média μ de X é np e a variância σ² de X é npq Assim Temos μ np 400 0 3 120 e σ sqrtσ² sqrtnpq sqrt400 0 3 0 7 sqrt84 aprox 9 17 Assim a média é 120 e o desvio padrão é 9 17 b Calcule a probabilidade de que mais do que 138 indivíduos na amostra tenham sangue tipo B Solução Como np 120 5 e nq 280 5 podemos aproximar a Binomial pela normal Assim aprox N 120 84 Com isso Z X 120 sqrt84 X 120 917 aprox N 0 1 Desejamos a partir do fator de correção da Binomial para a normal PX 138 5 PZ 138 5 120 9 17 PZ 2 02 PZ 2 02 0 0217 Portanto PX 138 aprox 2 17 4a Questão Uma companhia deve escolher entre 3 planos de pensão A B e C O gerente deseja saber se a preferência é independente da classificação do empregado da empresa A tabela abaixo mostra as opiniões de 500 empregados A B C Trabalhadores assalariados 160 140 40 Trabalhadores horistas 40 60 60 a Selecionado um trabalhador da empresa qual a probabilidade de ele ser assalariado e optar pelos planos A ou C Solução 160 40 500 200 500 2 5 0 4 40 b Qual a probabilidade de que um empregado que tenha escolhido os planos B ou C seja do tipo horista Solução 6060 140 40 60 60 120 300 2 5 0 4 40 c Há evidências de que a preferência seja independente da classificação do empregado da empresa Justifique probabilisticamente Solução Como 160 200 340 500 136 seguese que a preferência do tipo de plano é dependente do tipo de trabalhador