Prova de Estatistica UFRJ - Biologia - Analise de Probabilidade e Diagnosticos

Exame de Estatística Prof Nei Rocha Graduação em Biologia Instituto de Matemática UFRJ 30 de junho de 2017 Duração 3 horas Boa Prova 1a Questão 15 Dados PA 07 e PAB 08 calcule PB se a A e B são mutuamente exclusivos b A e B são independentes c PAB 06 Resposta a A e B são mutuamente exclusivos se A B Assim PAB PA PB 08 07 PB PB 01 110 b A e B são independentes se PAB PA PB Assim PAB PA PB PAB PAB PA PB PA PB 08 07 PB 07 PB 01 03PB PB 0103 13 c Sabemos que PAB PB PAB Assim como PAB 06 temos PAB PB 06 Mas PAB PA PB PAB PAB PA PB 06PB 08 07 04PB 01 04PB PB 0104 14 2a Questão 20 Exames de diagnóstico não são infalíveis mas desejase que tenham probabilidade pequena de erro Um exame detecta uma certa doença caso ela exista com probabilidade 09 Se a doença não existir o exame corretamente aponta isso com probabilidade 08 Considere que estamos aplicando esses exames em uma população com 10 de prevalência dessa doença a Para um indivíduo escolhido ao acaso qual a probabilidade de ele ser realmente doente se o exame indicou que era Resposta Sejam os eventos D a pessoa escolhida tem a doença e T o exame afirma que a pessoa tem a doença ou seja o exame dá positivo Então temos PD 01 PDc 09 PTD 09 PTcD 01 PTcDc 08 e PTD 02 Desejamos PDT PDT PT PDPTD PDPTD PDcPTDc 0109 0109 0902 009 027 13 Assim PDT 13 b Se dois indivíduos forem escolhidos e testados qual a probabilidade de se errar algum dos diagnósticos Resposta Seja p a probabilidade de erro de diagnóstico de um indivíduo Então p PDTc PDcT PDPTcD PDcPTDc 0101 0902 019 Assim q 1p 081 é a probabilidade de acerto de diagnóstico de um indivíduo Seja θ a probabilidade de se errar algum dos diagnósticos Então θ 1 q² 1 081² 03439 3a Questão 10 Por estudos da área médica sabese que a probabilidade de um indivíduo ter sangue Rh é 10 A fim de conduzir um determinado estudo cinco indivíduos são selecionados aleatoriamente de uma população de interesse Qual a probabilidade de 3 desses indivíduos apresentarem Rh Solução Seja X a va que conta o número de indivíduos com Rh no grupo Assim X B501 Com isso PX k 5 choose k01k 095k k 012345 Desejamos PX 3 5 choose 3013 092 10 0001 081 00081 ou seja PX 3 081 4a Questão 20 Numa população os conteúdos de glicose no sangue de pessoas normais têm distribuição normal com média 120mg100ml e desvio padrão de 8mg100ml a Calcule a porcentagem de pessoas normais que apresentam conteúdos de glicose entre 90mg100ml e 110mg100ml Resposta Seja X a va representando o conteúdo de glicose no sangue de uma pessoa normal Então X N12064 Assim Z X 1208 N01 Desejamos P90 X 110 P 901208 X1208 1101208 P375 Z 125 PZ 125 PZ 375 01056 0 P90 X 110 01056 b Se uma amostra de cem pessoas normais for observada qual a probabilidade de que o conteúdo de médio de glicose nessa amostra seja superior a 1214mg100ml Resposta Sabemos que X100 X1 X2 X100100 N12064100 Assim Z X100 12008 N01 Desejamos PX100 1214 P X100 12008 121412008 PZ 175 00401 P X₁₀₀ 1214 00401 5a Questão 35 Um fabricante afirma que seus cigarros não contêm mais que 32 mg de nicotina em média Suponha que os conteúdos de nicotina tenham distribuição normal Uma amostra de 10 cigarros forneceu os seguintes conteúdos de nicotina 300 295 298 330 320 305 300 295 310 307 a Construa um intervalo de confiança ao nível de significância de 5 para o nível médio de nicotina nos cigarros produzidos pelo fabricante Resposta Pelos dados acima temos Σᵢ₁¹⁰ Xᵢ 306 e Σᵢ₁¹⁰ Xᵢ² 937528 Assim X₁₀ Σᵢ₁¹⁰ Xᵢ10 306 e S² Σᵢ₁¹⁰ Xᵢ² 10X₁₀²9 937528 10306²9 1297777 Para α 005 temos t₀0₂₅₉ 2262 Assim P Xₙ t₀0₂₅₉ S10 μ Xₙ t₀0₂₅₉ S10 095 P306 2262 1139210 μ 306 2262 1139210 095 P 297851 μ 314148 095 b Ao nível de significância de 5 os dados refutam a afirmação do fabricante Resposta Ao nível de 5 podese afirmar que o nível de nicotina médio nos cigarros fabricados está entre 297851 e 314148 Logo a esse nível não há evidências contra a afirmação do fabricante de que o nível de nicotina médio nos cigarros produzidos não ultrapassam a 32 mg c Quantos elementos a mais deveríamos incorporar na amostra para que o erro de estimação seja de 05 em torno da média com 95 de confiabilidade Resposta Desejamos E 05 com α 005 t₀0₂₅₉ 2262 e S 11392 Assim 2262 11392n 05 e n 2262 1139205 51537 n 2656 27 Logo seriam necessárias mais 17 análises de cigarros escolhidos aleatoriamente