Gabarito P3 Cálculo Integral - Métodos de Integração e Aplicações

Gabarito P3 Utilizando o método da substituição urex dudx Além disso Quando x 2 e Quando x u 2 π Entã S osIdx ficoskdu sene sentsen Ex 2x2 3x 1 é uma função racional onde o numerador possui grau menor X3 X do que o denominador Pelo metodo das frações parciais 2x 3x 1 1 Axx 1 Bxx 2xx Xx 1x 11 Xx 1x 1 Ax A Bx Bx x 2x A Bc x B cx A x3 X x3 X Pela independência linear das potências de X obtemos o sistema De 3 A 1 Substituindo em 11 e fazendo 11 2 2 B C 3 1 E A B c 2 1 22 5 or C 2 Substituindo en 2 B 1 3 A I 2xx1dxx InInk Questão 3 20 pontos Seja a integral ₀¹ 2x lnx dx Caso a integral seja convergente calcule o seu valor Do contrário justifique a sua divergência ₀¹²ˣ ln x dx lim t0 ᵗ¹ 2x ln x dx Encontraremos a primitiva através do método da integração por partes uln x du1x dx dv2x dx vx² 2x ln x dx x² ln x x² 1x dx x² ln x x dx x² ln x x²2 C Assim ₀¹ 2x ln x dx lim t0 x² ln x x²2¹ₜ lim t0 1 ln 1 ½ t² ln t t²2 12 lim t0 t² ln t 0 12 lim t0 ln t 1t² LH 12 lim t0 1t 2t³ 12 ln t 12 Questão 4 15 ponto Sejam as funções fx sinx e gx cosx ambas definidas em x 0 π a Desenhe o gráfico das funções f e g no mesmo plano cartesiano Destaque a região compreendida entre os seus gráficos desde o eixo y até a sua interseção 05 pts b Calcule a área da região destacada 10 pts a y sen x y cos x Interseção sen x cos x x π4 sen xcos x tg x 1 x π4 b A ₀π4 cos x sen x dx sen x cos x₀π4 22 22 0 1 2 1 Questão 5 15 ponto Seja a curva dada implicitamente pela equação 2xy² yx² 3 e seja o ponto P 1 1 Verifique que P faz parte da curva a Encontre a derivada dydx no ponto P 10 pts b Encontre a derivada dxdy no ponto P Mostre que neste ponto dydxdxdy 1 05 pts Se x 1 e y 1 211² 11² 2 1 3 Logo P 1 1 está na curva a Tratando y como função de x e derivando a equação em relação a x 2y² 2x2ydydx dydx x² y2x 0 Substituindo xy 1 1 2 4dydx dydx 2 0 5dydx 4 dydx 45 b Tratando x como função de y e derivando a equação em relação a y 2 dxdy y² 2x2y x² y2xdxdy 0 Substituindo xy 1 1 2 d²xdy 4 1 2 d²xdy 0 4dxdy 5 dxdy 54 Note que de fato dydx dxdy 45 54 1 Questão 6 20 pontos Um filtro de água possui um tanque cilindrico de raio R 20 cm e está sendo usado para encher de água uma bexiga esférica Sabendo que o nível de água no tanque está diminuindo a uma taxa de 05 cms com qual velocidade o raio r da bexiga aumenta no instante em que r 5 cm R20 No tanque cilíndrico V π R² h 400 π h Na bexiga esférica V 43 π r³ No tanque dVdt 400 π dhdt 400 π 12 200 π cm³s Na bexiga dVdt 4 π r² drdt drdt 14 π r² dVdt 14 π 5² 200 π 200 425 2 cms Questão 7 20 pontos Seja a função fx eˣ definida no intervalo x 0 ln2 Seja SI o sólido gerado através da rotação do gráfico de f em torno do eixo x De forma similar geramos o sólido SII através da rotação do gráfico da função f em torno do eixo y a Calcule o volume do sólido SI 10 pts b Represente o volume de SII como uma integral Não é necessário calcular o volume 10 pts a Ax π eˣ² π e²ˣ V ₀ln2 π e²ˣ dx π ₀ln2 e²ˣ dx π e²ˣ 2₀ln2 π2 eln4 e⁰ π2 4 1 3π2 b Ay π ln y² π ln² y V ₁² π ln² y dy