Prova 2a Chamada Calculo Diferencial Integral - IMUFRJ MAC118 2023

Instituto de Matemática IMUFRJ Cálculo Diferencial e Integral 1 20232 MAC118 Prova de 2a Chamada 13122023 Questão 1 15 ponto Considere a elipse dada pela equação x2 xy y2 1 e seja o ponto P 1 1 a Verifique que P faz parte da elipse Encontre dydx no ponto P 10 pts b Dê a equação da reta tangente à elipse no ponto P 05 pts Questão 2 15 ponto O número de bactérias de uma certa espécie em uma placa de Petri varia de acordo com a equação dNdt 8 t et onde N é o número de bactérias em milhões de unidades e t é o tempo em horas Sabese que em t 0 haviam 2 milhões de bactérias na placa a Encontre uma função que represente a quantidade de bactérias nessa placa em cada instante de tempo isto é Nt 10 pts b Quantas bactérias haverão na placa após um tempo muito longo ter se passado 05 pts Questão 3 15 ponto Calcule 0π 4 sinx cos3x dx Questão 4 15 ponto Uma lata cilíndrica é projetada para receber 025 litros de tinta Encontre o raio r que minimiza a quantidade de material para produzir a lata Questão 5 25 pontos Seja fx ex x2 Sabendo que fx ex x2 2x x4 e fx ex x2 4x 6 x4 responda a Dê o domínio da função Encontre caso existam suas raízes 05 pts b Encontre as equações das suas assíntotas horizontais e verticais caso existam 05 pts c Encontre os pontos críticos de f Dê os intervalos onde a função é crescente e decrescente e seus extremos relativos caso existam 05 pts d Diga onde f tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo Dê seus pontos de inflexão caso existam 05 pts e Utilize todas as informações obtidas acima para esboçar o gráfico de fx 05 pts Questão 6 15 ponto Rayssa deseja construir um skate projetado de acordo com a figura abaixo onde todas as medidas estão em centímetros A sua seção intermediária tem a forma retangular enquanto ambas as suas pontas têm o formato da curva y x4 1000 Qual a área de material necessário para a construção deste skate