Concordância Horizontal com Transição-2022 2

CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO Na mesma Figura: dy = senΘdL. Desenvolvendo senΘ em série de potência, tem-se: dy = senθdL (III) senθ = θ − \frac{θ^3}{3!} (IV) Sendo: Rc⋅Ls = R⋅L=K e θ = \frac{L^2}{2Rc⋅Ls} Substituindo Θ em (II) e depois senθ em (IV) e Integrando dy, tem-se: ∫^L_0 dy = ∫^L_0 \left [ θ − \frac{θ^3}{3!} \right ] dL = ∫^L_0 \left [ \frac{L^2}{2Rc⋅Ls} − \frac{(\frac{L^2}{2xRc⋅Ls})^3}{3!} \right ] CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO c) Coordenadas da espiral (X e Y) dx = cosΘdL (I) Desenvolvendo cosΘ em série de potência: cosΘ = 1 − \frac{θ^2}{2!} + \frac{θ^4}{4!} − … (II) Sendo: Rc⋅Ls = R⋅L=K e θ = \frac{L^2}{2Rc⋅Ls} Substituindo Θ em (II) e depois cosθ em (I) e Integrando de 0 a L, tem-se: ∫^L_0 dx = ∫^L_0 \left [ 1 − \frac{(\frac{L^2}{2k})^2}{2!} + (\frac{L^2}{2k})^4 − … \right ] dL = \left [ L − \frac{(\frac{L^5}{(2k)^2⋅5})}{2!} + \frac{(L^9/(2k)^4⋅9)}{4!} − … \right ] CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO A equação em x pode ser escrita como segue: x=L \left [ 1 − \frac{(L^2/(2k)^2⋅5.2!)} + \frac{(L^2/(2k)^4⋅9.4!)} − … \right ] reescrevendo os termos no colchete em função de Θ, tem-se: x=L \left ( 1 − \frac{θ^2}{10} + \frac{θ^4}{216} − … \right ) Para L=Ls, x=Xs e Θ=Θs, tem-se: X_s = L_s \left ( 1 − \frac{θ_s^2}{10} + \frac{θ_s^4}{216} \right ) O’ – centro da curva circular afastada PI – Ponto de interseção das tangentes A – ponto genérico da transição X – abscissa de um ponto genérico A Y – ordenada de um ponto genérico A Xs – abscissa do ponto SC ou CS Ys– ordenada dos pontos SC ou CS p – afastamento da curva circular k – abscissa do centro O’ TT – tangente total Θ – ângulo central de transição ϕ – ângulo central do trecho CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO Nomenclatura das curvas de transição AC= ∆ – ângulo de deflexão da poligonal D – desenvolvimento do trecho circular Rc – raio da curva circular Ls – comprimento do trecho de transição E – afastamento (distância do PI ao eixo) Pontos notáveis: TS – tangente-espiral (início do 1º ramo) SC – espiral-circular (fim do 1º ramo) CS – circular-espiral (fim do 2º ramo) ST – espiral-tangente (início do 2º ramo) CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO  Razão de ser das curvas de transição: evitar a descontinuidade da curvatura na passagem da tangente para a curva circular, no PC , e da curva para a tangente, no PT.  Tipos de transição  transição a centro conservado;  Transição a raio conservado; e  Transição a raio e centro conservado  Transição a centro conservado Mantém-se a posição do centro da curva circular e reduz-se o seu raio. Ocorre o afastamento da curva circular em relação às tangentes, até que os ramos da espiral estejam concordados com parte da curva circular que lhe deu orígem. CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO  Transição a raio e centro conservados. Neste caso, as tangentes terão de ser deslocadas para acomodação dos ramos da transição, o que implica em alterar as curvas vizinhas. Evitar esta situação CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO  Transição a raio conservado A transição é obtida por um deslocamento da curva circular original, em relação as tangentes de concordância, ao longo da bissetriz que passa pelo PI e pelo centro da curva circular, mas mantendo o raio. CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO  Funções da curva de transição:  Permitir uma variação contínua da superelevação;  Criar uma variação contínua da aceleração centrípeta na passagem do trecho reto para o trecho circular: Onde: Ac = aceleração centrípeta, em m/s2; V = Velocidade diretriz, em km/h; R = raio da curva circular, em m.  Gerar um traçado fluente, permitindo ao veículo manter-se no centro de sua faixa de rolamento;  Proporcionar um trecho fluente, sem descontinuidade da curvatura e esteticamente agradável. CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO V (Km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 R(m) 170 300 500 700 950 1200 1550 1900 2300 2800 Tabela 1 – Raios de curva que dispensam a transição Fonte: Manual de projeto geométrico de rodovias rurais (DNER, 1999), apud Lee(2005) CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO Tipos usuais de curvas de transição Clotóide ou Espiral de Cornu: RL = K CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO  Cálculo dos elementos da transição a) Comprimento da transição a.1) Comprimento mínimo (Critério dinâmico) Considera a taxa de variação da aceleração centrípeta, J, ao longo da curva de transição. Onde: Ls – Comprimento da espiral de transição, em m; V – velocidade diretriz, em Km/h; J – variação da aceleração centrípeta, em m/s Rc – raio da curva circular, em m. 𝒄 - aceleração centrípeta, 𝒎 𝒔𝟐 t - tempo gasto para percorrer a espiral de transição, seg. c s s c s c c J R V L R L V V L R V t a J . . 3 3 2      CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO Comprimento mínimo (cont): Para J = Jmáx = 0,6m/s3 e V = velocidade de projeto, em km/h, Ls = Lsmin, em m, tem-se o comprimento mínimo da transição:  a.2) Comprimento desejável da transição (Lsdes) Tomando J = 0,3 m/s3, tem-se Ls = Ls desejável, isto é, Lsdes. = 2.Lsmin Alguns autores adotam Lsdes = 3Lsmin. Na prática, o valor de Ls pode ser tomado múltiplo de 10m para facilitar os cálculos. OU 2 AC s  Para e Ls = Lsmáx.  ,0  Concordância horizontal com transição c s c s s c s s AC R L R L R L . . 2 2 max max max        Sendo: (Rc em metros e AC em rad). 180 . . max c s AC R L    a.3) Comprimento máximo da espiral (cont) CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO Sendo R.L = K, vem: ∫(0 to L) dy = ∫(0 to L) [θ - θ³/3!] dL = ∫(0 to L) (L²/2K - (L²/2K)³/3!) Integrando de 0 a L, tem-se: y = L³/(3×2K) - L⁷/((2K)³×7)³! = L(L²/(3×2K) - (L²/(2K))³/(7×3!)) ∴ y = L(θ/3 - θ³/42) Ys = Ls(θs/3 - θs³/42) d) Coordenadas do PC ou PT deslocados (p e q) q = Xs – a No ASCO’: Logo: , ( em rad) Ys = b + p; p = Ys - b; No mesmo triângulo: = b = Rc(1 - cos 𝒔 daí: CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO s c c s R sen a R a sen       A CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO e) Tangente longa (TT) No ΔBPIO’: Tg(AC/2) = (TT - q)/(Rc + p) ∴ TT = q + (p + R).tg(AC°/2) f) Afastamento (E) cos(AC/2) = (Rc + p)/(Rc + E) ∴ E = (Rc + p)/cos(AC°/2) - Rc g) Desenvolvimento do trecho circular No trecho circular remanescente o ângulo central é dado por: Logo, D =R. ( em rad) CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO s AC    2  180 . . º  Rc  D  CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO h) ângulo de deflexão da espiral Tg(i) = Y/X ∴ i = arctg(Y/X) No SC:: is = arctg(Ys/Xs) θs = is + Js ∴ Js = θs - is i = ângulos de deflexão de vante, na curva de transição; para o instrumento na origem da transição, TS ou ST, visando o final, SC ou CS, i = is . Corda Cs: Cs = Xs/cosis CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO h) ângulo de deflexão da espiral (continuação) j = ângulos de deflexão de ré, entre a tangente à curva onde está o instrumento e a visada num ponto qualquer, na direção da orígem; para o instrumento no SC ou CS e a visada na origem da transição, TS ou ST, tem-se J =Js. Atenção! Sempre que o instrumento for mudado de posição na curva, este ângulo j tem de ser calculado para se determinar a tangente à curva no novo ponto a fim de continuar a locação. Determinada a tangente no SC, a locação do trecho circular segue o mesmo procedimento de uma curva circular simples, como já visto no estudo de curvas circulares. CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO  Locação das curvas de transição Pode ser feita através das coordenadas X e Y ou pelas deflexões em relação à tangente, semelhantemente às curvas circulares. No caso das deflexões, constrói-se uma tabela de locação, conforme modelo a seguir: TABELA DE LOCAÇÃO Estaca Comp. do arco L (m) Ângulo (rad) Coordenadas Deflexão i (º, ‘, “) X (m) Y(m) 1 10 0,00508 0,07 10,00 0º23’20” 2 20 0.08142 0.54 19,99 1º33’18” 3 30 0,18319 1,83 29,90 3º29’52” 4(SC/CS ) 40 0,32568 4,31 39,58 6º12’52” Obs.: As deflexões em relação à tangente serão calculadas individualmente para cada ponto a ser locado, pois o raio da espiral é diferente em cada ponto, isto é, para cada L, calculam-se novos : , X , Y e i  Locação de curvas de transição com instrumento fora da origem Em algumas situações não se tem visibilidade para locar todo o ramo da transição com o instrumento na origem. Neste caso, desloca-se o instrumento para o último ponto locado e procede-se da seguinte forma CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO Seja: i = ângulo de visada à vante (no sentido de fechamento da curva); j = ângulo de visada à ré (no sentido da abertura da curva). Para o instrumento na origem, O, a visada num ponto A, qualquer, é dada por: CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO ) ( A A OA X arctg Y i  YA X A Mudando-se o instrumento para o ponto A, o ângulo entre a tangente neste ponto e a visada na origem é dado por : CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO Deslocando-se o sistema de eixos para o ponto A e destacando-se o arco AB, tem-se pelo triângulo AFB CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO A B A B OA AB X X Y Y Tg i     ) (  Onde: é o ângulo de visada num ponto B, a partir de um ponto A. No caso de uma nova mudança para um ponto B, a tangente em B seria dada por (ângulo de ré): JBA Uma nova visada num ponto C seria dada por: OB B C B C BC X X Y arctg Y i     ) ( Exemplo: Supondo uma espiral de transição com Ls = 40 m e raio de curva R = 61,41 m e com mudança de instrumento a 15 m e 30 m da origem, respectivamente, determinar as visadas para locar os pontos à 15, 30 e 40 m da origem (pontos A, B e C). Instrumento na origem, visando a 15 m (no ponto A): CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO Instrumento na origem, visando a 15 m, em A: X_{15}=L\left(1-\frac{\theta^2}{10}+\frac{\theta^4}{216}\right)=15\left(1-\frac{0,45799^2}{10}+\frac{0,45799^4}{216}\right)=15,00 \ m Y_{15}=L\left(\frac{\theta}{3}-\frac{\theta^3}{42}\right)=15\left(\frac{0,45799}{3}-\frac{0,45799^3}{42}\right)=0,23 \ m i_{15}=arctg\left(\frac{0,23}{15,00}\right)=0,878466^"=0^\circ52'42'' Para o instrumento a 15 m visando a origem: J_{AO}=\theta_{OA}-i_{OA}\Rightarrow J_{15}=\theta_{15}-i_{15} \theta_{OA}=\frac{L^2}{2\times R \times L_s}=\frac{15^2}{2\times 61,41 \times 40}=0,45799\ rad=2^\circ37'27'' J_{AO}=2^\circ37'27''-0^\circ52'42''=1^\circ44'45'' CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO Para o instrumento em A, visando B \ (L_{OB}=30 \ m): i_{AB}=arctg\left(\frac{Y_B-Y_A}{X_B-X_A}\right)-\theta_{OA} X_A=15,00 \ m; \ Y_A=0,23 \ m; \ X_{30}=30,00 \ m; \ Y_{30}=1,83 \ m \theta_{OA}=\frac{L^2}{2\times R \times L_s}=\frac{15^2}{2\times 61,41 \times 40}=2^\circ37'27'' I_{AB}=arctg\left(\frac{Y_{30}-Y_{15}}{X_{30}-X_{15}}\right)-\theta_{OA}=arctg\left(\frac{1,83-0,23}{30,00-15,00}\right)-2^\circ37'27''=3^\circ27'51'' CONCORDÂNCIA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO Instrumento em B, visando em C \ (L=L_s): i_{BC}=arctg\left(\frac{Y_{40}-Y_{30}}{X_{40}-X_{30}}\right)-\theta_{OB} \theta_s=\frac{L_s}{2R}=\frac{40}{2\times 61,41}=0,32568 \ rad=18^\circ39'36'' Y_{40}=4,31 \ m; \ X_{40}=39,58 \ m; \ \theta_{30}=10^\circ29'47'' \theta_{OB}=\theta_{30}=\frac{30^2}{2\times 61,41 \times 40}=0,183195\ rad=10^\circ29'47'' i_{BC}=arctg\left(\frac{4,31-1,83}{39,58-30,00}\right)-10^\circ29'47''=4^\circ01'31''